CHAOS_James Gleick 混沌 新しい科学を作る ジェームズ・グレイック インテグレイテッド・メディア ニューヨーク シンシアへ 人間は音楽であり、自然は静寂である… —ジョン・アップダイク 目次 序章 バタフライ効果 エドワード・ローレンツと彼の玩具の天気。コンピュータの不具合。長期予測は絶望的。無秩序を装った秩序。非線形の世界。「私たちは完全にポイントを見逃していた。」革命 見ることの革命。振り子時計、宇宙球、遊び場のブランコ。馬蹄の発明。解決された謎：木星の大赤斑。人生の浮き沈み 野生動物の個体群モデル。非線形科学、「象以外の動物の研究。」ピッチフォークの二分岐とシュプレー川の旅。混沌の映画とメシア的な訴え。自然の幾何学 綿花価格に関する発見。ブルバキからの亡命者。伝送エラーとギザギザの海岸。新しい次元。フラクタル幾何学の怪物。シュキゾスフィアの地震。雲から血管へ。科学のゴミ箱。「一粒の砂の中に世界を見る。」 奇妙なアトラクター 神のための問題。実験室での遷移。回転する円筒と転換点。デビッド・ルエルの乱流に関するアイデア。位相空間のループ。ミルフィーユとソーセージ。天文学者のマッピング。「花火か銀河か。」 普遍性 ロスアラモスでの新たなスタート。再正規化群。色の解読。数値実験の台頭。ミッチェル・ファイゲンバウムの突破口。普遍的理論。拒絶の手紙。コモでの会合。雲と絵画。実験者 小さな箱の中のヘリウム。「固体の中の不安定な膨張。」自然における流れと形。アルバート・リブチャバーの繊細な勝利。実験が理論と結びつく。一次元から多次元へ。混沌のイメージ 複素平面。ニュートンの方法における驚き。マンデルブロ集合：芽とつる。アートと商業が科学と出会う。フラクタルの盆地境界。混沌のゲーム。動的システム集団 サンタクルーズと60年代。アナログコンピュータ。これは科学だったのか？「長期的なビジョン。」予測不可能性の測定。情報理論。ミクロスケールからマクロスケールへ。水滴の漏れる蛇口。視聴覚教材。時代の終わり。内なるリズム モデルに関する誤解。複雑な身体。動的な心臓。生物時計のリセット。致命的な不整脈。ヒヨコの胚と異常な拍動。健康としての混沌。混沌とその先 新しい信念、新しい定義。第二法則、雪の結晶のパズル、そして仕込まれたサイコロ。機会と必然。あとがき 参考文献とさらなる読み物についてのノート 謝辞 索引 混沌 序章 ニューメキシコ州ロスアラモスの小さな町の警察は、1974年に暗闇の中をうろつく男について一時的に心配した。彼は夜ごとに現れ、赤い煙草の glow が裏通りを漂っていた。彼は星明かりの中で、どこにも行かずに何時間も歩き続けた。警察だけが疑問に思っていたわけではなかった。 国立研究所では、ある物理学者たちが新しい同僚が26時間の昼夜を実験していることを知りました。これは、彼の覚醒スケジュールが徐々に彼らのそれとずれていくことを意味していました。これは理論部門にとっても奇妙なことでした。J・ロバート・オッペンハイマーが原子爆弾プロジェクトのためにこの異世界のニューメキシコの風景を選んでからの30年間、ロスアラモス国立研究所は荒涼とした高原に広がり、粒子加速器やガスレーザー、化学工場、数千人の科学者や管理者、技術者、そして世界で最も優れたスパコンの集中地の一つをもたらしました。古い科学者たちは1940年代に急いで建てられた木造の建物を覚えていましたが、ロスアラモスのスタッフの大多数、大学スタイルのコーデュロイや作業服を着た若者たちにとって、最初の爆弾製造者たちはただの幽霊に過ぎませんでした。研究所の純粋な思考の中心は理論部門（T部門）であり、計算はC部門、武器はX部門として知られていました。T部門には100人以上の物理学者や数学者が働いており、良い報酬を得て、教えたり出版したりする学問的なプレッシャーから解放されていました。これらの科学者たちは、卓越した才能と風変わりさに慣れており、驚かされることはほとんどありませんでした。しかし、ミッチェル・ファイゲンバウムは特異な存在でした。彼はたった一つの論文しか発表しておらず、特に期待できるような研究には取り組んでいませんでした。彼の髪はぼさぼさで、広い額から後ろに流れるスタイルはドイツの作曲家の胸像を思わせました。彼の目は突然で情熱的でした。彼が話すときはいつも早口で、記事や代名詞を中欧風に省略する傾向がありましたが、彼はブルックリン出身でした。彼は仕事に没頭し、仕事ができないときは昼夜を問わず歩き回りながら考え、夜が一番良いと感じていました。24時間の昼夜はあまりにも制約が多いように思えました。それでも、彼の個人的な準周期性の実験は、数日ごとに沈む太陽を見て目覚めることに耐えられなくなったときに終わりを迎えました。29歳の時、彼はすでに天才たちの中の天才となり、特に難解な問題について科学者たちが相談に訪れるアドホックなコンサルタントとなっていました。ある晩、彼が仕事に到着したとき、研究所の所長ハロルド・アグニューがちょうど出て行くところでした。アグニューは強力な人物で、オッペンハイマーの最初の弟子の一人でした。彼はエノラ・ゲイに同行する計器飛行機で広島の上空を飛び、研究所の最初の製品の投下を撮影しました。「君は本当に賢いらしいね」とアグニューはファイゲンバウムに言いました。「そんなに賢いなら、レーザー核融合を解決してみたらどうだ？」ファイゲンバウムの友人たちでさえ、彼が自分自身の作品を生み出すことがあるのか疑問に思っていました。彼は彼らの質問に即興で魔法をかけることには積極的でしたが、自分の研究にはあまり興味がないようでした。 彼は、自身の研究を、実を結ぶ可能性のある問題に捧げていた。液体や気体の乱流について考え、時間についても考えた。それは滑らかに前進するのか、それとも宇宙のコマ送りのように不連続に跳ねるのか？彼は、物理学者たちが変化する量子の万華鏡であると知っている宇宙の中で、一貫した色や形を見分ける目の能力についても考えた。雲についても考え、飛行機の窓から（1975年には、過剰使用を理由に科学的な旅行の権利が正式に停止されるまで）や、研究所の上にあるハイキングコースからそれを眺めた。西部の山間の町では、雲は東部の空気を満たす煤けた不明瞭な低空の霞とはほとんど似ていなかった。ロスアラモスでは、大きな火山カルデラの影で、雲は空を横切り、無作為に形成されているように見えるが、同時に無作為ではなく、均一な尖りを持ったり、脳の組織のように規則的にうねるパターンを描いたりしていた。嵐の午後、空が輝き、これから来る電気のような緊張感で震えると、雲は30マイル先からも際立ち、光をフィルターし反射し、やがて空全体が物理学者たちへの微妙な非難として演出されたスペクタクルのように見えてくる。雲は、主流の物理学が見過ごしてきた自然の一面を表しており、それは同時にぼんやりとしていて詳細でもあり、構造的でありながら予測不可能でもあった。ファイゲンバウムは、そのようなことを静かに、しかし生産的ではなく考えていた。物理学者にとって、レーザー融合を作り出すことは正当な問題であり、小さな粒子のスピンや色、フレーバーを解明することも正当な問題であり、宇宙の起源を特定することも正当な問題だった。雲を理解することは気象学者の問題だった。他の物理学者たちと同様に、ファイゲンバウムはそのような問題を評価するために控えめでタフな言葉を使った。「それは明らかだ」と彼は言うかもしれないが、それは適切な考察と計算の後に熟練した物理学者が理解できる結果を意味していた。「明らかでない」というのは、尊敬とノーベル賞を必要とする仕事を指していた。最も難しい問題、宇宙の奥深くを長い間見つめなければ解決しない問題には、物理学者たちは「深い」という言葉を使った。しかし1974年、彼の同僚のほとんどが知らない中、ファイゲンバウムは「深い」問題、すなわちカオスに取り組んでいた。カオスが始まるところで、古典的な科学は止まる。物理学者たちが自然の法則を探求してきた限り、世界は大気中の無秩序、荒れ狂う海、野生動物の個体数の変動、心臓や脳の振動について特別な無知を抱えてきた。自然の不規則な側面、断続的で不安定な側面は、科学にとっては謎であり、あるいはそれ以上に怪物のような存在だった。しかし1970年代、アメリカとヨーロッパの数人の科学者たちは、無秩序を乗り越える方法を見出し始めた。彼らは数学者、物理学者、生物学者、化学者であり、さまざまな種類の不規則性の間のつながりを求めていた。 生理学者たちは、人間の心臓に発生する混沌の中に驚くべき秩序を見出しました。これは突然の理由のない死の主な原因です。生態学者たちは、グルの蛾の個体数の増減を探求しました。経済学者たちは古い株価データを掘り起こし、新たな分析手法を試みました。そこから得られた洞察は、自然界へと直接つながっていきました。雲の形、雷の道、血管の微細な絡み合い、星の銀河的な集まりなどです。 ミッチェル・ファイゲンバウムがロスアラモスで混沌について考え始めたとき、彼はほとんど互いに知らない散発的な科学者たちの中の一人でした。カリフォルニアのバークレーにいる数学者は、「動的システム」の新しい研究を創造するための小さなグループを結成していました。プリンストン大学の個体生物学者は、すべての科学者が単純なモデルの中に潜む驚くほど複雑な振る舞いに目を向けるべきだという情熱的な訴えを発表しようとしていました。IBMで働く幾何学者は、鋸のようにギザギザで絡み合い、割れ、ねじれた形状のファミリーを表現する新しい言葉を探していました。フランスの数学物理学者は、流体の乱流が彼が「奇妙なアトラクタ」と呼ぶ奇妙で無限に絡み合った抽象概念と関係があるかもしれないという議論を呼ぶ主張をしたばかりでした。 10年後、混沌は急成長する運動の略称となり、科学界の基盤を再形成しています。混沌に関する会議や専門誌が数多く存在します。軍事、中央情報局、エネルギー省の研究資金を担当する政府のプログラムマネージャーたちは、混沌研究にますます多くの資金を投入し、資金管理のための特別な官庁を設立しました。主要な大学や企業の研究センターでは、理論家たちがまず混沌に自らを結びつけ、次に自分の名目上の専門分野に結びつけています。ロスアラモスでは、混沌や関連問題に関する研究を調整するための非線形研究センターが設立され、全国の大学キャンパスにも同様の機関が現れました。 混沌は、コンピュータを使用する特別な技術や、複雑さの背後にある幻想的で繊細な構造を捉える特別な種類のグラフィック画像を生み出しました。この新しい科学は、自らの言語を生み出し、フラクタルや分岐、間欠性や周期性、折りたたまれたタオルの微分同相や滑らかなヌードルマップといった洗練された専門用語が生まれました。これらは運動の新しい要素であり、従来の物理学におけるクォークやグルーオンが物質の新しい要素であるのと同様です。一部の物理学者にとって、混沌は科学です。 今や混沌は至る所に存在しているようです。上昇する煙の柱が激しく渦を巻きます。旗が風に揺れ動きます。水道の蛇口からの水滴が、一定のパターンからランダムなものへと変わります。 天候の挙動、飛行中の飛行機の挙動、高速道路で集まる車の挙動、地下パイプを流れる石油の挙動など、混沌はさまざまな現象に現れます。媒体が何であれ、その挙動は新たに発見された同じ法則に従います。この認識は、ビジネスの経営者が保険に関する意思決定を行う方法、天文学者が太陽系を観察する方法、政治理論家が武力衝突を引き起こすストレスについて語る方法を変え始めています。混沌は、科学の分野を分ける境界を越えて広がります。システムの全体的な性質を扱う科学であるため、これまで広く分離されていた分野の思想家たちを結びつけてきました。「15年前、科学はますます専門化が進む危機に向かっていました」と、科学資金を担当する海軍の公式が数学者、生物学者、物理学者、医師の聴衆に語りました。「劇的に、その専門化は混沌のおかげで逆転しました。」混沌は、科学における受け入れられた作業方法に挑戦する問題を提起します。複雑性の普遍的な挙動について強い主張をします。最初の混沌理論家たち、つまりこの分野を動かし始めた科学者たちは、特定の感性を共有していました。彼らは、特に同時に異なるスケールで現れるパターンに目を向けていました。ランダム性や複雑性、鋭いエッジや突然の飛躍に対する嗜好を持っていました。混沌を信じる人々—彼らは時に自らを信者、改宗者、または伝道者と呼びます—は、決定論や自由意志、進化、意識的知性の本質について推測します。彼らは、科学における還元主義の傾向に逆らっていると感じています。還元主義とは、システムをその構成要素、すなわちクォーク、染色体、ニューロンなどの観点から分析することです。彼らは全体を探求していると信じています。この新しい科学の最も熱心な支持者たちは、20世紀の科学が次の三つのことによって記憶されるだろうとまで言います：相対性理論、量子力学、そして混沌です。彼らは、混沌が物理科学における20世紀の三番目の大革命になったと主張します。最初の二つの革命と同様に、混沌はニュートン物理学の教義を切り崩します。ある物理学者はこう述べました。「相対性理論はニュートンの三つを排除しましたが、混沌の革命は私たちが見て触れる宇宙、つまり人間のスケールの物体に適用されます。日常の経験や世界の実際の姿が、探求の正当な対象となりました。理論物理学が人間の直感から遠く離れているという感覚は、長い間存在していましたが、必ずしも公然と表現されることはありませんでした。これが果たして実を結ぶ異端となるのか、単なる異端に過ぎないのかは誰にもわかりません。しかし、物理学が行き詰まりつつあると考えていた人々の中には、混沌がその脱出の手段になると見ている者もいます。物理学の内部でも、混沌の研究はあまり注目されていなかった分野から生まれました。 20世紀の大半にわたって、主流となっていたのは粒子物理学であり、物質の構成要素をより高いエネルギー、より小さなスケール、より短い時間で探求してきました。粒子物理学からは、自然の根本的な力や宇宙の起源に関する理論が生まれました。しかし、一部の若い物理学者たちは、最も権威ある科学の方向性に不満を抱くようになりました。進展が遅く感じられ、新しい粒子の命名が無意味に思え、理論の体系が混乱しているように見えました。カオスの到来とともに、若い科学者たちは物理学全体の方向転換の始まりを見ていると信じました。彼らは、高エネルギー粒子や量子力学の華やかな抽象概念に支配されてきたこの分野が、十分に長い間そうであったと感じていました。ケンブリッジ大学のニュートンの椅子に座る宇宙論者スティーブン・ホーキングは、1980年の講演「理論物理学の終わりは近いのか？」で、自らの科学を振り返り、物理学の多くを代表する意見を述べました。 「私たちはすでに、日常生活で経験するすべてを支配する物理法則を知っています……。理論物理学がここまで進展したことの証として、私たちが予測できない結果を得るためには、膨大な機械と多くの資金が必要となる実験を行わなければならないのです。」 しかし、ホーキングは、粒子物理学の観点から自然の法則を理解することが、最も単純なシステム以外にそれらの法則をどのように適用するかという問いに答えられないことを認識していました。予測可能性は、加速器の周回を終えた2つの粒子が衝突する雲室の中では一つのことですが、渦巻く流体の最も単純な容器や地球の天候、人間の脳の中ではまったく別のことです。ホーキングの物理学は、ノーベル賞や実験のための巨額の資金を効率的に集めてきたため、しばしば革命と呼ばれてきました。時には、科学の聖杯である「大統一理論」や「すべての理論」に手が届くところまで来ているように思えました。物理学は、宇宙の歴史の最初の瞬き以外のすべてにおいて、エネルギーと物質の発展を追跡してきました。しかし、戦後の粒子物理学は本当に革命だったのでしょうか？それとも、アインシュタインやボーア、その他の相対性理論や量子力学の父たちが築いた枠組みを肉付けしただけだったのでしょうか？確かに、原子爆弾からトランジスタに至るまでの物理学の成果は、20世紀の風景を変えました。しかし、粒子物理学の範囲はむしろ狭まったように見えました。分野が新たに理論的なアイデアを生み出し、専門外の人々が世界を理解する方法を変えたのは、2世代前のことでした。ホーキングが描く物理学は、自然に関する最も根本的な問いに答えることなく、その使命を果たすことができるかもしれません。生命はどのように始まるのか？乱流とは何か？そして何よりも、エントロピーによって支配され、ますます大きな無秩序に向かって不可避に進む宇宙の中で、どのように秩序が生まれるのでしょうか？ 同時に、日常的な経験の対象である流体や機械システムは、あまりにも基本的で普通のものに思えたため、物理学者たちはそれらが十分に理解されていると自然に考える傾向がありました。しかし、実際はそうではありませんでした。カオスの革命が進む中で、優れた物理学者たちは恥じることなく人間のスケールの現象に戻ってきています。彼らは銀河だけでなく雲も研究し、クレイコンピュータだけでなくマッキントッシュでも有益なコンピュータ研究を行っています。主要な学術誌には、テーブルの上で跳ねるボールの奇妙なダイナミクスに関する記事と量子物理学に関する記事が並んで掲載されています。最も単純なシステムが、予測可能性に関する非常に難しい問題を引き起こすことが明らかになっています。それでも、これらのシステムの中には自発的に秩序が生まれます—カオスと秩序が共存しているのです。新しい種類の科学だけが、1つの水分子、1つの心筋細胞、1つのニューロンが何をするかという知識と、それらの数百万が何をするかという知識の間の大きな溝を越えることができるでしょう。 滝の底で並んで流れる2つの泡の塊を見てください。彼らが上でどれほど近かったか、あなたは何を推測できますか？何もわかりません。標準的な物理学の観点からは、神がすべての水分子をテーブルの下に持って行き、個人的にシャッフルしても良かったのです。伝統的に、物理学者たちは複雑な結果を見たとき、複雑な原因を探しました。システムに入るものと出てくるものとの間にランダムな関係が見られたとき、彼らは現実的な理論にはランダム性を組み込まなければならないと考え、人工的にノイズや誤差を加える必要があると仮定しました。カオスの現代的な研究は、1960年代に非常に単純な数学的方程式が滝のように激しいシステムをモデル化できることに気づくことから始まりました。入力のわずかな違いが、出力において圧倒的な違いに急速に変わることがあり、この現象は「初期条件への敏感な依存」と呼ばれています。例えば、天候においては、これは半分冗談で「バタフライ効果」として知られる概念に変わります。つまり、今日北京で空気をかき回す蝶が、来月ニューヨークでの嵐のシステムを変える可能性があるということです。 カオスの探求者たちが新しい科学の系譜を振り返ると、過去からの多くの知的な道筋が見つかりました。しかし、1つが特に際立っていました。革命を先導する若い物理学者や数学者たちにとって、出発点はバタフライ効果でした。 **バタフライ効果** 物理学者たちは、すべての条件を示した後、次に何が起こるかを考えるだけで済むと思いたがります。—リチャード・P・ファインマン 太陽は雲を一度も見たことのない空から照りつけていました。風はガラスのように滑らかな大地を吹き抜けました。夜は決して訪れず、秋は冬に移り変わることもありませんでした。雨は降りませんでした。エドワード・ローレンツの新しい電子コンピュータでシミュレーションされた天候は、確実にゆっくりと変化し、常に乾燥した真昼の季節を漂っていました。まるで世界がキャメロットに変わったか、特に平凡な南カリフォルニアのバージョンになったかのようでした。 ローレンツは窓の外で、本物の天気を観察することができた。マサチューセッツ工科大学のキャンパスに沿って忍び寄る早朝の霧や、大西洋から屋根の上を滑る低い雲を見ていた。彼のコンピュータで動いているモデルでは、霧や雲は決して現れなかった。その機械、ロイヤル・マクビーは、ローレンツのオフィスの一角を占める配線と真空管の密林で、驚くほど煩わしい音を立て、毎週のように故障した。地球の大気や海洋の現実的なシミュレーションを管理するための速度も記憶容量も持っていなかった。それでも、1960年にローレンツは同僚たちを魅了する「おもちゃの天気」を作り出した。毎分、機械はページに数字の列を印刷することで、一日が過ぎるのを示した。印刷物の読み方を知っていれば、優勢な西風が北に向かい、南に向かい、再び北に戻る様子が見えるだろう。デジタル化されたサイクロンが理想化された地球儀の周りをゆっくりと回っていた。部門内で噂が広まると、他の気象学者たちは大学院生たちと集まり、ローレンツの天気が次にどうなるか賭けをした。なぜか、同じことが二度と起こることはなかった。ローレンツは天気を楽しんでいたが、それは研究気象学者にとって必須の条件ではなかった。彼はその変化の多さを味わい、大気の中で現れたり消えたりするパターン、渦やサイクロンの家族を評価していた。それらは常に数学的な法則に従いながら、決して同じものを繰り返すことはなかった。雲を見上げると、彼はその中に一種の構造を見出しているように思った。かつては、天気の科学を学ぶことが、ジャック・イン・ザ・ボックスをドライバーで分解するようなものになるのではないかと恐れていた。しかし今、彼は科学がその魔法にどれだけ迫れるのか疑問に思っていた。天気には、平均について話すだけでは表現できない独特の風味があった。マサチューセッツ州ケンブリッジの6月の最高気温は平均75度であり、サウジアラビアのリヤドでは年間の雨の日数は平均10日である。これらは統計に過ぎなかった。本質は、大気中のパターンが時間とともにどのように変化するかであり、それがローレンツがロイヤル・マクビーで捉えたものであった。彼はこの機械の宇宙の神であり、自然の法則を自由に選ぶことができた。ある程度の神の試行錯誤の後、彼は12の法則を選んだ。それらは数値的なルールであり、温度と圧力、圧力と風速の関係を表す方程式であった。ローレンツは、彼がニュートンの法則を実践に移していることを理解していた。それは、世界を創造し、永遠に動かすことができる時計職人の神に適した道具だった。物理法則の決定論のおかげで、その後の介入は不要となる。こうしたモデルを作る者たちは、現在から未来にかけて運動の法則が数学的な確実性の架け橋を提供することを当然のこととして受け入れていた。法則を理解すれば、宇宙を理解することができる。それがコンピュータで天気をモデル化する背後にある哲学だった。 確かに、18世紀の哲学者たちが創造主を慈悲深い非介入者として想像し、舞台裏に留まることを好む存在として描いたとしたら、彼らはローレンツのような人物を思い描いたかもしれません。彼は奇妙な気象学者でした。彼の顔は疲れたヤンキー農夫のようで、驚くほど明るい目をしており、笑っているかのように見えました。彼は自分自身や自分の仕事についてあまり話さず、ただ聞くことが多かったのです。彼はしばしば計算や夢想の世界に没頭し、同僚たちには手の届かない存在と見なされていました。彼の親しい友人たちは、ローレンツがかなりの時間を遠い宇宙のような場所で過ごしていると感じていました。少年時代、彼は天気に興味を持っており、コネチカット州ウェストハートフォードの両親の家の外に設置された最高・最低温度計で日々の気温を注意深く記録していました。しかし、彼は温度計を見ているよりも、数学のパズル本で遊ぶ時間の方が多かったのです。時には父親と一緒にパズルを解くこともありました。ある時、特に難しい問題に直面し、それが解けないことが分かりました。それは受け入れられることだと父親は言いました：問題に解が存在しないことを証明することで、常に解決を試みることができるのです。ローレンツはそれを気に入りました。彼は数学の純粋さが好きだったからです。そして、1938年にダートマス大学を卒業した際、数学が自分の天職だと思っていました。しかし、状況は第二次世界大戦という形で干渉し、彼は陸軍航空隊の気象予報士として働くことになりました。戦後、ローレンツは気象学に留まることを決め、その理論を探求し、数学をさらに進めることにしました。彼は大気の一般循環などの伝統的な問題に関する研究を発表することで名を馳せました。その一方で、彼は予報についても考え続けました。真剣な気象学者たちにとって、予報は科学とは言えませんでした。それは、翌日の天気を器具や雲から読み取るために直感的な能力を必要とする技術者たちによって行われる、経験則に基づく仕事でした。それは推測に過ぎませんでした。M.I.T.のようなセンターでは、気象学は解決策のある問題を好みました。ローレンツは、軍のパイロットのために実際に気象予測を試みた経験から、天気予測の混沌を誰よりも理解していましたが、その問題に対して数学的な興味を抱いていました。気象学者たちは予報を軽蔑していましたが、1960年代にはほとんどすべての真剣な科学者がコンピュータを疑っていました。これらの強化された計算機は、理論科学の道具とは到底思えませんでした。したがって、数値的な気象モデルは一種の中途半端な問題でした。しかし、その時期は適していました。気象予報は、何千もの計算を繰り返し行うことができる機械を200年待っていたのです。ニュートンの約束を実現できるのはコンピュータだけでした。世界は決定論的な道筋に沿って展開し、惑星のように規則に従い、日食や潮のように予測可能であるということです。 理論的には、コンピュータが気象学者に、天文学者が鉛筆とスライドルールを使って行っていたことを可能にするかもしれません。それは、初期条件とその進化を導く物理法則から宇宙の未来を予測することです。空気や水の動きを記述する方程式は、惑星の動きを記述する方程式と同じくらいよく知られていました。天文学者たちは完璧には至らず、今後も至ることはないでしょう。九つの惑星、数十の衛星、そして数千の小惑星の重力に引っ張られる太陽系の中で、惑星の動きの計算は非常に正確であったため、人々はそれが予測であることを忘れてしまいました。天文学者が「ハレー彗星は76年後に戻ってくる」と言ったとき、それは予言ではなく事実のように思えました。決定論的な数値予測は、宇宙船やミサイルの正確な軌道を計算しました。では、風や雲はどうでしょうか？天気ははるかに複雑ですが、同じ法則に支配されています。おそらく、十分に強力なコンピュータが、18世紀の哲学者・数学者ラプラスが想像した最高の知性になることができるでしょう。ラプラスは、ニュートンの熱にかかっていた誰よりもその影響を受けていました。「そのような知性は、宇宙の最も大きな天体の動きと最も軽い原子の動きを同じ式で包含するだろう。そこでは、何も不確実なものはなく、未来は過去と同様にその目の前にある。」現代の科学の多くは、ラプラスの夢を追い求めてきました。暗黙のうちに、20世紀の多くの科学者—生物学者、神経科学者、経済学者—の使命は、彼らの宇宙を科学的法則に従う最も単純な原子に分解することでした。これらの科学のすべてにおいて、ある種のニュートン的決定論が適用されてきました。現代コンピュータの父たちは常にラプラスを念頭に置いており、コンピュータの歴史と予測の歴史は、1950年代にジョン・フォン・ノイマンがニュージャージー州プリンストンの高等研究所で最初の機械を設計して以来、交錯してきました。フォン・ノイマンは、気象モデルの構築がコンピュータにとって理想的な課題であることを認識しました。しかし、常に一つの小さな妥協がありました。それは非常に小さなもので、実際の科学者たちは通常それが存在することを忘れてしまい、彼らの哲学の隅に未払いの請求書のように潜んでいました。測定は決して完璧にはなり得ません。ニュートンの旗の下に行進する科学者たちは、実際には次のような別の旗を掲げていました。初期条件の大まかな知識と自然法則の理解があれば、システムの大まかな挙動を計算できるということです。この仮定は、科学の哲学的な核心に位置しています。ある理論家は学生たちにこう言っていました。「西洋科学の基本的な考え方は、地球のビリヤード台の上でのビリヤード球の動きを説明しようとする際に、他の銀河のある惑星での葉の落下を考慮する必要はないということです。非常に小さな影響は無視できるのです。」 物事の動きには収束があり、恣意的に小さな影響があっても、それが恣意的に大きな影響を引き起こすことはないという考え方があります。古典的には、近似と収束に対する信念は十分に裏付けられていました。それは機能していました。1910年にハレー彗星の位置をわずかに誤って修正しても、1986年の到着予測にはわずかな誤差しか生じず、その誤差は数百万年にわたって小さいままでした。コンピュータは宇宙船を誘導する際に同じ仮定に依存しています。おおよそ正確な入力はおおよそ正確な出力をもたらします。経済予測者もこの仮定に頼っていますが、彼らの成功はあまり明白ではありません。グローバルな天気予報の先駆者たちも同様でした。ローレンツは、原始的なコンピュータを使って天気を最も基本的な骨組みにまで簡略化しました。それでも、ローレンツの出力結果の風や温度は、地球上で認識できるような動きをしているように見えました。彼は天気に関する大切な直感、つまり天気が繰り返され、時間とともに馴染みのあるパターンを示すという感覚と一致していました。気圧が上昇したり下降したりし、気流が北と南に揺れ動く様子です。彼は、高いところから低いところに滑らかに移行するラインの後に、ダブルバンプが続くことを発見し、「これは予報士が使えるルールだ」と言いました。しかし、繰り返しは決して完全に正確ではありませんでした。パターンはありましたが、乱れもありました。秩序ある無秩序です。パターンを明確にするために、ローレンツは原始的なグラフィックスを作成しました。通常の数字の行を印刷する代わりに、彼は機械に一定数の空白を印刷させ、その後に「a」という文字を続けさせました。彼は一つの変数、たとえば気流の方向を選びました。徐々に「a」が紙のロールを下に進み、波のような線で揺れ動きながら、北と南に揺れる西風の様子を表す長い丘と谷の系列を作り出しました。その秩序、繰り返し現れる認識可能なサイクルは、決して同じ方法で二度と現れないという魅力的な催眠効果を持っていました。システムはゆっくりと予報士の目に秘密を明らかにしているように見えました。1961年の冬のある日、ローレンツは一つのシーケンスをより長く調べたいと思い、近道を取りました。全体の実行を最初からやり直すのではなく、中間から始めました。機械に初期条件を与えるために、彼は以前の出力から数字をそのまま入力しました。それから、騒音から離れるために廊下を歩いてコーヒーを飲みに行きました。1時間後に戻ると、彼は予想外のものを目にしました。それは新しい科学の種を植えるものでした。この新しい実行は、古いものと正確に重複するはずでした。ローレンツは自分で数字を機械にコピーしました。プログラムは変更されていませんでした。それでも、新しい出力を見つめると、ローレンツは天気が前回のパターンから急速に逸脱しているのを見ました。わずか数ヶ月のうちに、すべての類似性が消えてしまったのです。彼は一つの数字のセットを見て、次にもう一つを見ました。まるで帽子から二つのランダムな天気を選んだかのようでした。 彼の最初の考えは、別の真空管が故障したのだろうということだった。しかし、突然彼は真実に気づいた。故障はなかった。問題は、彼が入力した数字にあった。コンピュータのメモリには、6桁の小数点以下の数字が保存されていた：.506127。印刷物では、スペースを節約するために、わずか3桁が表示されていた：.506。ローレンツは、短く丸められた数字を入力しており、その違い—千分の1の差—は重要ではないと考えていた。それは合理的な仮定だった。気象衛星が海面温度を千分の1の精度で読み取れるなら、そのオペレーターたちは自分たちが運が良いと考える。ローレンツのロイヤル・マクビーは、古典的なプログラムを実行していた。それは純粋に決定論的な方程式のシステムを使用していた。特定の出発点が与えられれば、気象は毎回正確に同じように展開される。わずかに異なる出発点が与えられれば、気象はわずかに異なる形で展開される。小さな数値誤差は、小さな風のそよぎのようなものであり、重要な大規模な気象の特徴を変える前に、確かにそのそよぎは消えたり、お互いに打ち消し合ったりするだろう。しかし、ローレンツの特定の方程式のシステムでは、小さな誤差が壊滅的な結果をもたらすことが証明された。 ほぼ同じ出発点から、エドワード・ローレンツはコンピュータの気象がどのようにパターンを生み出し、次第にそれらが離れていくのかを見た。彼は、2つのほぼ同じ気象の流れがどのように分かれていくのかを詳しく調べることにした。彼は出力の波状の線の1つを透明フィルムにコピーし、もう1つの上に重ねて、どのように分岐していくのかを検査した。最初は、2つの山が詳細にわたって一致していた。しかし、1つの線がわずかに遅れ始めた。2つの流れが次の山に達する頃には、明らかに位相がずれていた。3つ目か4つ目の山に達する頃には、すべての類似点が消えていた。それは不器用なコンピュータからの揺れに過ぎなかった。ローレンツは、自分の特定の機械やモデルに何か問題があると考えることができたし、おそらくそう考えるべきだった。彼はナトリウムと塩素を混ぜて金を得たわけではなかった。しかし、彼の同僚たちが後になってようやく理解することになる数学的直感の理由から、ローレンツは衝撃を受けた：何かが哲学的におかしいと感じた。その実際的な意味は驚くべきものになる可能性があった。彼の方程式は地球の気象の粗いパロディに過ぎなかったが、彼はそれが本物の大気の本質を捉えていると信じていた。その初日、彼は長期的な気象予測は運命づけられているに違いないと決めた。「私たちはそれを成功させたことはなかったし、今や言い訳ができた」と彼は言った。「人々がそれほど先の予測が可能だと思った理由の1つは、日食のように、太陽、月、地球の動力学がかなり複雑で、優れた予測ができる実際の物理現象があるからだと思います。私は以前は潮の予測について考えたことがありませんでした。」 予測という観点から見ると、私はかつて潮の動きを事実の声明として考えていましたが、もちろん、予測を行っているのです。潮の動きは実際には大気と同じくらい複雑です。どちらも周期的な要素を持っており、次の夏がこの冬よりも暖かくなることは予測できます。しかし、天候に関しては、私たちは「それはすでに知っている」と考えます。一方、潮の動きでは、私たちが興味を持っているのは予測可能な部分であり、予測不可能な部分は小さく、嵐がない限りはそうです。「一般の人々は、私たちが数ヶ月先の潮の動きをかなり正確に予測できるのを見て、なぜ大気でも同じことができないのかと思うでしょう。それはただの異なる流体システムであり、法則も同じくらい複雑です。しかし、私は、非周期的に振る舞う物理システムは予測不可能であることに気づきました。」 1950年代と60年代は、天気予報に関する非現実的な楽観主義の時代でした。新聞や雑誌は、予測だけでなく、気象の修正や制御に対する希望で溢れていました。デジタルコンピュータと宇宙衛星という二つの技術が共に成熟していました。これらを活用するための国際的なプログラム、グローバル大気研究プログラムが準備されていました。人間社会が天候の混乱から解放され、その支配者となるという考えがありました。ジオデシックドームがトウモロコシ畑を覆い、飛行機が雲を種まきし、科学者たちは雨を降らせたり止めたりする方法を学ぶというビジョンが描かれていました。この人気のある概念の知的な父はフォン・ノイマンで、彼は天候を制御するために、他の目的とともに、初めてのコンピュータを正確に設計しました。彼は気象学者たちに囲まれ、物理学コミュニティに対して彼の計画について息を呑むような講演を行いました。彼は楽観主義の具体的な数学的理由を持っていました。彼は、複雑な動的システムが不安定点、つまり小さな押しが大きな結果をもたらす臨界点を持つ可能性があることを認識していました。コンピュータが稼働し始めると、フォン・ノイマンは科学者たちが数日間の流体運動の方程式を計算することを想像しました。そして、気象学者の中央委員会が飛行機を飛ばして煙幕を張ったり、雲を種まきして天候を望ましい状態に押し込むという計画を立てました。しかし、フォン・ノイマンは、すべての点で不安定性を持つカオスの可能性を見落としていました。 1980年代には、フォン・ノイマンの使命、少なくともその予測部分を実行するために膨大で高価な官僚機構が設立されました。アメリカの主要な予報士たちは、ワシントンの環状道路近くの郊外メリーランド州にある装飾のない立方体の建物から活動していました。その屋上にはスパイの巣のようなレーダーと無線アンテナが設置されていました。彼らのスーパーコンピュータは、ローレンツのモデルに基本的な精神では似ているものの、実際には異なるモデルを実行していました。ロイヤル・マクビーが1秒間に60回の乗算を行えるのに対し、コントロールデータサイバー205の速度はメガフロップ、すなわち1秒間に数百万の浮動小数点演算で測定されました。 ローレンツが12の方程式で満足していたのに対し、現代のグローバルモデルは50万の方程式からなるシステムを計算していた。このモデルは、湿気が空気中で熱を移動させる様子を理解しており、凝縮や蒸発の際にどのように熱が出入りするかを把握していた。デジタルの風はデジタルの山脈によって形作られ、世界中のあらゆる国から、航空機、衛星、船舶からのデータが毎時流れ込んでいた。国立気象センターは、世界で2番目に優れた予報を提供していた。1番の予報は、ロンドンから車で1時間の距離にある小さな大学町、イングランドのレディングから発信されていた。欧州中期気象予報センターは、一般的な国連スタイルのモダンなレンガとガラスの建物に位置し、多くの国からの贈り物で飾られていた。この建物は、ほとんどの西欧諸国が気象予測のために才能と資源を結集することを決定した、全欧州共通市場の精神の全盛期に建設された。ヨーロッパ人は、その成功を若く流動的なスタッフ—公務員ではなく—と、常にアメリカの同等機種より一世代先を行くクレイのスーパーコンピュータに帰していた。気象予測は始まりに過ぎず、複雑なシステムをモデル化するためにコンピュータを使用するビジネスの終わりではなかった。同じ手法は、プロペラ設計者が関心を持つ小規模な流体の流れから、経済学者が関心を持つ広大な金融の流れに至るまで、さまざまな物理科学者や社会科学者によって利用されていた。実際、70年代と80年代には、コンピュータによる経済予測はグローバルな気象予測に非常に似ていることが明らかになった。モデルは、初期条件—大気圧やマネーサプライ—の測定値を未来のトレンドのシミュレーションに変換するために、複雑でやや恣意的な方程式の網をかき回していた。プログラマーたちは、結果が多くの避けられない単純化の仮定によってあまりにも大きく歪められないことを願っていた。もしモデルがあまりにも明らかに奇妙な結果を出す—サハラ砂漠が洪水になったり、金利が3倍になったり—と、プログラマーたちは方程式を修正して出力を期待に沿うように戻していた。実際には、計量経済モデルは未来がもたらすものに対して非常に盲目的であることが証明されたが、もっと知識があるべき多くの人々は、その結果を信じているかのように振る舞っていた。経済成長や失業の予測は、2桁または3桁の精度を暗に示して提示されていた。政府や金融機関はそのような予測に対して支払い、必要に迫られて、あるいは他に良いものがないためにそれに基づいて行動していた。彼らは「消費者の楽観主義」などの変数が「湿度」のようにきれいに測定できるものではないことや、政治やファッションの動きに関する完璧な微分方程式はまだ書かれていないことを知っていたに違いない。しかし、データが合理的に信頼でき、法則が純粋に物理的である気象予測でさえ、コンピュータ上での流れをモデル化するプロセスがいかに脆弱であるかを理解している人は少なかった。 コンピューターモデリングは、確かに天気予報のビジネスを芸術から科学へと変えることに成功しました。ヨーロッパ気象センターの評価によれば、世界は統計的に「何もないよりはまし」な予測から毎年数十億ドルを節約しているとされています。しかし、2、3日を超えると、世界で最も優れた予測も推測に過ぎず、6、7日を超えると無価値になります。その理由がバタフライ効果です。小さな気象現象、たとえば雷雨や吹雪のようなものに関しては、予測は急速に悪化します。誤差や不確実性が累積し、砂嵐や突風から、衛星でしか見えない大陸サイズの渦に至るまで、乱流の連鎖を通じて広がっていきます。現代の気象モデルは、約60マイル間隔の格子状の点で動作しており、それでもなお、地上の観測所や衛星がすべての場所を見渡せないため、いくつかの初期データは推測しなければなりません。しかし、もし地球全体が1フィート間隔でセンサーで覆われ、上空まで1フィートごとに上昇していると仮定しましょう。すべてのセンサーが気温、気圧、湿度、そして気象学者が求める他の量を完璧に正確に測定するとします。正午に、無限の計算能力を持つコンピュータがすべてのデータを取り込み、12:01、12:02、12:03…と各地点で何が起こるかを計算します。それでも、コンピュータは1か月後のニュージャージー州プリンストンで晴れるか雨が降るかを予測することはできません。正午の時点で、センサー間の空間にはコンピュータが知らない変動が隠れており、平均からの微小な偏差が存在します。12:01には、その変動がすでに1フィート離れたところで小さな誤差を生み出しています。やがて、その誤差は10フィートのスケールにまで増幅され、さらには地球のサイズにまで達します。経験豊富な気象学者にとっても、これらは直感に反することです。ローレンツの古い友人の一人、ロバート・ホワイトは、M.I.T.の気象学者であり、後に国立海洋大気庁の長となりました。ローレンツは彼にバタフライ効果とそれが長期予測に与える意味について話しました。ホワイトはフォン・ノイマンの答えを返しました。「予測なんて無理だ」と彼は言いました。「これは天候制御だ。」彼の考えは、小さな修正が人間の能力の範囲内で行えるものであり、望ましい大規模な変化を引き起こす可能性があるというものでした。ローレンツは異なる見解を持っていました。確かに、天候を変えることはできる。元々の天候とは異なることをさせることも可能です。しかし、そうした場合、元々の天候がどうなっていたかは決してわからないのです。それは、すでによくシャッフルされたカードの束にさらにシャッフルを加えるようなものです。運が変わることはわかりますが、それが良い方向なのか悪い方向なのかはわからないのです。ローレンツの発見は偶然の産物であり、アルキメデスと彼の浴槽にまで遡る一連の出来事の一つでした。ローレンツは「ユリカ！」と叫ぶタイプの人ではありませんでした。セレンディピティ（偶然の発見）は、彼をずっと前からいた場所へと導いただけでした。 彼は、自身の発見が科学における流体の流れの理解にどのような影響を与えるのかを探求する準備が整っていました。もし彼がバタフライ効果のみに留まっていたなら、予測可能性が純粋なランダム性に変わるというイメージを提示するだけで、ローレンツは非常に悪いニュースを生み出すことになったでしょう。しかし、ローレンツは自らの気象モデルに埋め込まれたランダム性以上のものを見出しました。彼は、ランダム性の仮面をかぶった精緻な幾何学的構造、すなわち秩序を見ていたのです。結局、彼は気象学者の衣をまとった数学者であり、今や二重生活を始めることになりました。彼は純粋な気象学に関する論文を書きましたが、同時に気象に関する少し誤解を招くような前置きを添えた純粋な数学に関する論文も執筆しました。やがて、その前置きは完全に消えてしまいました。彼は、決して定常状態に達しないシステム、ほぼ自己を繰り返すが決して成功しないシステムの数学にますます注目するようになりました。誰もが天候がそのようなシステムであることを知っていました—非周期的です。自然界には他にも多くの例があります：ほぼ定期的に増減する動物の個体数や、魅惑的に近い規則的なスケジュールで出現する流行病などです。もし天候が以前に達した状態と全く同じ状態に達したなら、すべての突風や雲が同じであれば、推測されることには永遠に繰り返され、その予測問題は trivial（些細なもの）になるでしょう。ローレンツは、天候が自己を繰り返すことを拒むことと、予報士がそれを予測できないこととの間にリンクがあるに違いないと考えました—非周期性と予測不可能性の間のリンクです。彼が求めていた非周期性を生み出す単純な方程式を見つけるのは容易ではありませんでした。最初、彼のコンピュータは繰り返しのサイクルにロックされがちでした。しかし、ローレンツはさまざまな小さな複雑さを試み、最終的には東から西への加熱量を変化させる方程式を導入することで成功しました。これは、例えば北アメリカの東海岸が太陽によって温められる方法と、大西洋が温められる方法との実際の違いに対応しています。その結果、繰り返しは消えました。バタフライ効果は偶然の産物ではなく、必要なものでした。彼は、小さな摂動が小さく留まると仮定しました。つまり、システムを通じて上昇するのではなく、天候が以前通過した状態に恣意的に近づいたとき、それはその後のパターンに恣意的に近いままでいるだろうと考えました。実用的な目的のためには、サイクルは予測可能であり、最終的には興味を失うことになるでしょう。現実の地球の天候の豊かなレパートリー、美しい多様性を生み出すためには、バタフライ効果以上に望むものはないでしょう。バタフライ効果が初期条件に敏感に依存するという考えは、全く新しい概念ではありませんでした。それは民間伝承の中に位置を持っていました。 「釘がなければ、靴を失い； 靴がなければ、馬を失い； 馬がなければ、騎手を失い； 騎手がなければ、戦いを失い； 戦いがなければ、王国を失う！」 科学においても人生においても、出来事の連鎖には小さな変化を大きくする危機のポイントが存在することがよく知られています。しかし、カオスの性質は、そのようなポイントが至る所に存在することを意味します。それは広範囲にわたります。天候のようなシステムでは、初期条件に対する敏感な依存性は、小さなスケールと大きなスケールが絡み合うことから生じる避けられない結果です。彼の同僚たちは、ローレンツが彼の玩具のような天候モデルで、非周期性と初期条件への敏感な依存性の両方を模倣したことに驚きました。12の方程式を、容赦なく機械的に効率よく何度も計算していたのです。どうしてそんな豊かさ、予測不可能性、つまりカオスが、単純な決定論的システムから生まれることができるのでしょうか？ ローレンツは天候を脇に置き、この複雑な挙動を生み出すさらに単純な方法を探しました。彼は、たった3つの方程式からなるシステムの中にそれを見つけました。それらは非線形であり、つまり厳密に比例する関係を表していないということです。線形関係はグラフ上の直線で表現できます。線形関係は考えやすく、「多ければ多いほど良い」というものです。線形方程式は解くことができるため、教科書に適しています。線形システムには重要なモジュール性の美点があります：それらを分解して再構築することができ、部品が合計されるのです。一方、非線形システムは一般に解くことができず、加算することもできません。流体システムや機械システムでは、非線形項は人々が良いシンプルな理解を得ようとする際に省きたがる特徴です。例えば摩擦です。摩擦がなければ、単純な線形方程式はホッケーパックを加速させるために必要なエネルギーの量を表します。しかし摩擦があると、関係が複雑になります。なぜなら、エネルギーの量はパックがどれだけ速く動いているかによって変わるからです。非線形性は、ゲームをプレイする行為がルールを変える方法を持つことを意味します。摩擦に一定の重要性を割り当てることはできません。なぜなら、その重要性は速度に依存するからです。そして速度は摩擦に依存します。そのねじれた変動性は非線形性を計算するのを難しくしますが、同時に線形システムでは決して起こらない豊かな挙動を生み出します。 流体力学では、すべてが一つの標準的な方程式、ナビエ-ストークス方程式に集約されます。それは流体の速度、圧力、密度、粘度を関連付ける簡潔さの奇跡ですが、非線形であるため、その関係の性質を明確にすることはしばしば不可能になります。ナビエ-ストークス方程式のような非線形方程式の挙動を分析することは、あなたが一歩踏み出すごとに壁が再配置される迷路を歩くようなものです。フォン・ノイマン自身が言ったように、「方程式の性質は...すべての関連する側面で同時に変化します：秩序と次数の両方が変わります。」 したがって、悪い数学的な困難が予想されるべきだ。ナビエ-ストークス方程式に非線形性という悪魔が存在しなければ、世界はまったく異なる場所になり、科学は混沌を必要としなかっただろう。ローレンツの三つの方程式は、特定の種類の流体の動き、すなわち対流によってインスパイアされた。対流とは、熱せられたガスや液体が上昇する現象である。大気中では、対流が太陽に焼かれた地面によって温められた空気をかき混ぜ、熱いアスファルトやラジエーターの上に、幽霊のように揺らめく対流波が立ち上る。ローレンツは、熱いコーヒーのカップの中の対流について話すことにも同じくらい喜んでいた。彼が言うには、これは私たちの宇宙に存在する無数の流体力学的プロセスの一つであり、その未来の挙動を予測したいと思うものだ。コーヒーがどれくらい早く冷めるかを計算するにはどうすればよいのだろうか？もしコーヒーがただ温かいだけなら、その熱は流体の動きが全くないままに散逸していく。コーヒーは安定した状態に留まる。しかし、十分に熱い場合、対流によってカップの底から熱いコーヒーが上昇し、冷たい表面に達する。コーヒーに少しクリームを垂らすと、対流がはっきりと目に見えるようになる。その渦は複雑になることもある。しかし、そのようなシステムの長期的な運命は明らかだ。熱が散逸し、摩擦が流体の動きを遅くするため、動きは必然的に止まらなければならない。ローレンツは科学者たちの集まりでこう言った。「コーヒーの温度を1分先に予測するのは難しいかもしれませんが、1時間先を予測するのはそれほど難しくはないでしょう。」冷却中のコーヒーのカップを支配する運動方程式は、そのシステムの運命を反映しなければならない。それは散逸的でなければならず、温度は部屋の温度に向かい、速度はゼロに向かうべきだ。ローレンツは対流の方程式のセットを取り、それを骨のように剥ぎ取り、余分なものはすべて排除し、非現実的に単純にした。元のモデルのほとんどは残っていなかったが、彼は非線形性を残した。物理学者の目には、その方程式は簡単に見えた。彼らはそれをちらっと見て、将来多くの科学者がそうしたように、「これなら解ける」と言うだろう。「そうですね」とローレンツは静かに言った。「そう思う傾向があります。いくつかの非線形項が含まれていますが、それを回避する方法があると思ってしまう。しかし、そうはいかないのです。」 流体が加熱されると、液体や気体は円筒状のロールに自らを整理する傾向がある（左）。熱い流体は一方の側で上昇し、熱を失い、反対側で下降する—これが対流のプロセスである。さらに熱を加えると（右）、不安定性が生じ、ロールが揺れ動き、円筒の長さに沿って前後に動くようになる。さらに高温になると、流れは激しく乱流になる。教科書に載っている最も単純な対流は、流体のセル、すなわち底が滑らかで加熱可能な箱と、上部が滑らかで冷却可能な箱の中で起こる。熱い底と冷たい上部の温度差が流れを制御する。 もし差が小さい場合、システムは静止したままです。熱は、金属の棒を通るかのように、伝導によって上方に移動しますが、流体が静止しているという自然の傾向を克服することはありません。さらに、システムは安定しています。たとえば、大学院生が装置にぶつかったときに発生するかもしれないランダムな動きは、次第に消えていき、システムは安定した状態に戻ります。しかし、熱を上げると、新たな挙動が現れます。下の流体が熱くなると、それは膨張します。膨張することで、流体は密度が低くなり、軽くなります。軽くなった流体は摩擦を克服し、表面に向かって押し上げられます。慎重に設計された箱の中では、円筒状の渦が形成され、一方の側では熱い流体が上昇し、もう一方の側では冷たい流体が沈みます。横から見ると、その動きは連続した円を描きます。実験室の外でも、自然はしばしば独自の対流セルを作ります。たとえば、太陽が砂漠の地面を温めると、渦巻く空気が上空の雲や下の砂の中に影のパターンを形成することがあります。さらに熱を上げると、挙動はより複雑になります。渦は揺れ始めます。ローレンツの簡略化された方程式は、そのような複雑さをモデル化するにはあまりにも単純でした。彼らは、実際の対流の一つの特徴、すなわち熱い流体が上昇して円を描く動きを抽象化しました。方程式は、その動きの速度と熱の移動を考慮に入れました。これらの物理的プロセスは相互に作用します。特定の熱い流体の塊が円を描いて上昇する際、冷たい流体と接触し始め、熱を失い始めます。円が十分に速く動いている場合、流体の塊は頂点に達するまでにすべての余分な熱を失うことはなく、渦の反対側に降り始めるときに、後ろから上昇してくる他の熱い流体の運動量に対して押し返すことになります。ローレンツのシステムは対流を完全にモデル化してはいませんでしたが、実際のシステムにおいて正確な類似物を持つことが判明しました。たとえば、彼の方程式は、現代の発電機の祖先である古典的な電気ダイナモを正確に記述しています。このダイナモは、磁場を通って回転する円盤を通して電流が流れるものです。特定の条件下では、ダイナモは逆転することがあります。そして、ローレンツの方程式がより広く知られるようになると、いくつかの科学者は、そのようなダイナモの挙動が別の奇妙な逆転現象、すなわち地球の磁場の説明を提供するかもしれないと提案しました。「ジオダイナモ」は、地球の歴史の中で何度も反転したことが知られており、その間隔は不規則で説明がつかないように見えます。このような不規則性に直面した理論家は、通常、隕石の衝突など、システムの外部に原因を求めます。しかし、もしかするとジオダイナモ自体に混沌が含まれているのかもしれません。ローレンツの有名な最初のカオスシステムは、機械装置である水車に正確に対応しています。 このシンプルな装置は、驚くほど複雑な挙動を示すことができます。水車の回転は、対流過程における流体の回転するシリンダーの特性のいくつかを共有しています。水車はシリンダーを横切る断面のようなもので、どちらのシステムも水や熱によって安定的に駆動され、エネルギーを散逸させます。流体は熱を失い、バケツは水を失います。どちらのシステムにおいても、長期的な挙動は駆動エネルギーの強さに依存します。水は上から一定の速度で流れ込みます。もし水車の水の流れが遅ければ、上のバケツは摩擦を克服するほどには決して満たされず、車輪は回り始めません。（同様に、流体においても、熱が粘性を克服するには不十分であれば、流体は動き出しません。） 流れが速くなると、上のバケツの重さが車輪を回転させます（左）。水車は一定の速度で回転を続ける状態に落ち着くことができます（中央）。しかし、流れがさらに速くなると（右）、回転はカオス的になることがあります。これはシステムに組み込まれた非線形効果によるものです。バケツが流れる水の下を通過する際、どれだけ満たされるかは回転の速度に依存します。もし車輪が急速に回転していれば、バケツは満たされる時間がほとんどありません。（同様に、急速に回転する対流の渦の中の流体も熱を吸収する時間がほとんどありません。）また、車輪が急速に回転している場合、バケツは空になる前に反対側に移動し始めることがあります。その結果、上昇している側の重いバケツが回転を遅くし、最終的には逆転させることがあります。実際、ローレンツは長期間にわたって、回転が何度も逆転し、決して一定の速度に落ち着かず、予測可能なパターンを繰り返すことはないことを発見しました。 ローレンツアトラクタ（対面ページ）。この魔法のような画像は、フクロウのマスクや蝶の羽のように見え、カオスの初期探求者たちの象徴となりました。これは、無秩序なデータの流れの中に隠された微細な構造を明らかにしました。従来、任意の一つの変数の変化する値は、いわゆる時系列（上）で表示されていましたが、三つの変数の変化する関係を示すには異なる技術が必要でした。任意の瞬間において、三つの変数は三次元空間における点の位置を固定します。システムが変化するにつれて、その点の動きは連続的に変化する変数を表します。システムは決して正確に自分自身を繰り返さないため、軌道は自己交差することはありません。代わりに、永遠にぐるぐると回り続けます。アトラクタ上の動きは抽象的ですが、実際のシステムの動きの特徴を伝えています。たとえば、アトラクタの一方の翼からもう一方の翼への交差は、水車や対流流体の回転方向の逆転に対応しています。ローレンツ方程式によって正確に記述される別のシステムは、ある種の水車であり、対流の回転円の機械的アナロジーです。上部では、水が車輪の縁に吊るされた容器に一定の速度で滴り落ちます。各容器は小さな穴から一定の速度で漏れ出します。 水の流れが遅いと、上の容器は摩擦を克服するほど早くは満たされず、流れが速くなると重さが車輪を回し始めることがあります。その回転は連続的になるかもしれません。また、流れが非常に速くて重い容器が底を一周して反対側に向かうと、車輪は遅くなり、止まり、回転方向を逆転させることもあります。最初は一方向に回り、その後別の方向に回ることになります。物理学者はこのような単純な機械システムについての直感、いわゆる「カオス前の直感」により、長期的には水の流れが変わらなければ安定した状態に至ると考えます。つまり、車輪は一定の速度で回転するか、一定の間隔で前後に振動することになると予想されます。しかし、ローレンツはそうではないことを発見しました。三つの方程式と三つの変数がこのシステムの動きを完全に記述していました。ローレンツのコンピュータは、三つの変数の変化する値を印刷しました：0-100、4-12-0、9-20-0、16-36-2、30-667、54-115-24、93-192-74。これらの三つの数字は、想像上の時間間隔が経過するにつれて上昇し、次第に下降しました。五つの時間ステップ、百の時間ステップ、千の時間ステップを経て、データから絵を描くために、ローレンツはそれぞれの三つの数字を座標として使用し、三次元空間における点の位置を特定しました。こうして、数字の列は連続した経路を描く点の列を生み出し、システムの挙動の記録となりました。この経路は一つの場所に至って止まることもあり、それはシステムが速度と温度の変数がもはや変化しない安定した状態に落ち着いたことを意味します。また、経路がループを形成し、ぐるぐる回る場合は、システムが周期的に繰り返す行動パターンに落ち着いたことを示します。しかし、ローレンツのシステムはどちらでもありませんでした。代わりに、その地図は無限の複雑さを示しました。常に特定の範囲内に留まり、ページからは外れず、しかし決して自らを繰り返すこともありませんでした。それは奇妙で独特な形を描き、三次元のダブルスパイラルのようで、蝶の二つの羽のようでした。この形は純粋な無秩序を示しており、どの点や点のパターンも決して再現されることはありませんでした。しかし、それは同時に新しい種類の秩序も示していました。数年後、物理学者たちはローレンツの方程式に関する論文について語るとき、懐かしげな表情を浮かべるようになるでしょう。「あの美しい驚異の論文」と。すでにそれは古代の巻物のように語られ、永遠の秘密を保存しているかのようでした。カオスの技術文献を構成する数千の記事の中で、「決定論的非周期的流れ」は最も頻繁に引用されたものの一つです。何年もの間、ローレンツアトラクターとして知られる神秘的な曲線が、最も多くのイラストや映画をインスパイアすることになるでしょう。ローレンツの絵は初めて、「これは複雑だ」と言うことの意味を示しました。カオスの豊かさがそこにありました。しかし、その時点では、ほとんどの人がそれを理解することはできませんでした。 ローレンツは、M.I.T.の応用数学の教授ウィレム・マルカスにそのことを説明しました。マルカスは、同僚の仕事を高く評価する紳士的な科学者で、笑いながら言いました。「エド、私たちは知っていますよ。流体の対流がそんなことをするなんて、全くないことを。」マルカスは、複雑さは必ず抑えられ、システムは安定した規則的な動きに落ち着くと彼に伝えました。「もちろん、私たちはそのポイントを完全に見逃していました」と、マルカスは世代を超えて語りました。彼が自宅の地下実験室で本物のローレンツ型水車を作り、懐疑的な人々に示した数年後のことです。「エドは、私たちの物理学の枠組みで考えていたわけではありませんでした。彼は、外界のいくつかの側面に特徴的な振る舞いを示す、何らかの一般化されたまたは抽象化されたモデルの観点から考えていたのです。しかし、彼はそれを私たちにうまく伝えることができませんでした。事後になって、彼がそのような考えを持っていたに違いないと私たちは気づいたのです。」 一般の人々は、科学コミュニティがどれほど厳密に分化してしまったかを理解していませんでした。それは、漏れを防ぐために隔壁が閉じられた戦艦のようなものでした。生物学者たちは、数学の文献を追う余裕もなく、読むべきものがたくさんありました。分子生物学者たちも、集団生物学の文献を追う余裕はありませんでした。物理学者たちは、気象学のジャーナルを読み漁るよりも、もっと有意義な時間の使い方がありました。一部の数学者は、ローレンツの発見を見て興奮したかもしれません。10年以内に、物理学者、天文学者、生物学者たちは、まさにそれに似たものを求め始め、時には自ら再発見することもありました。しかし、ローレンツは気象学者であり、誰も『大気科学ジャーナル』の第20巻130ページでカオスを探そうとは思わなかったのです。 もちろん、全ての努力は、統計と呼ばれるものの普通の範囲の外に自分を置くことです。—スティーブン・スペンダー 科学史家のトーマス・S・クーンは、1940年代に心理学者のペアが行った不気味な実験を説明しています。被験者は、1枚ずつのトランプのカードをちらりと見せられ、それを名付けるよう求められました。もちろん、そこにはトリックがありました。いくつかのカードは異常でした。例えば、赤いスペードの6や黒いダイヤのクイーンなどです。高速度で、被験者たちはスムーズに進んでいきました。何も簡単なことはありませんでした。彼らは異常を全く見ていなかったのです。赤いスペードの6を見せられると、彼らは「ハートの6」または「スペードの6」と叫びました。しかし、カードが長い時間表示されると、被験者たちはためらい始めました。彼らは問題に気づきましたが、それが何であるかははっきりしませんでした。ある被験者は、黒いハートの周りに赤い縁が見えたような奇妙なものを見たと言いました。最終的に、ペースがさらに遅くなると、ほとんどの被験者は気づくようになりました。彼らは間違ったカードを見て、エラーなくゲームをプレイするために必要なメンタルシフトを行うことができました。しかし、全員がそうではありませんでした。中には、本当の痛みを伴う方向感覚の喪失を経験した人もいました。「それが何のスートか全く分からない」と言った人もいました。「その時は、カードにすら見えなかった。」 今それがどんな色なのか、スペードなのかハートなのかもわからない。スペードがどんな形をしているのかすら、私にはわからない。なんてこった！専門の科学者たちも、自然の働きをほんの少ししか見られない中で、矛盾に直面したときには苦悩や混乱にさらされることがある。そして、科学者の見方を変えるような矛盾が生じると、それが最も重要な進展を可能にする。クーンはそう主張し、混沌の物語もそれを示唆している。クーンが科学者の働き方や革命がどのように起こるかについての考えを発表した1962年当初、彼の理論は称賛と同時に多くの敵意を引き起こし、その論争は今も続いている。彼は、科学が知識の蓄積によって進展するという従来の見解に鋭い針を刺した。各発見が前の発見に加わり、新しい実験的事実が新しい理論を必要とすることで新たな理論が生まれるという考え方を否定した。彼は、科学を質問を投げかけてその答えを見つける秩序あるプロセスとして捉える見方を打ち砕いた。彼は、科学者たちが自分の専門分野で理解されている問題に取り組む大多数の活動と、革命を生み出す例外的で異端な仕事との対比を強調した。偶然ではなく、彼は科学者たちを完璧な合理主義者とは言えない存在に見せた。 クーンの理論では、通常の科学は主に問題解決の作業で構成されている。実験者たちは、以前に何度も行われた実験の修正版を実施する。理論家たちは、理論の壁に一つのレンガを加えたり、別の場所でコーニスを再形成したりする。そうでなければならない。もしすべての科学者が最初から始め、基本的な前提を問い直さなければならなかったら、有用な仕事をするために必要な技術的な洗練のレベルに達するのは難しいだろう。ベンジャミン・フランクリンの時代、電気を理解しようとする数少ない科学者たちは、自分たちの第一原理を選ぶことができた—実際、そうしなければならなかった。一人の研究者は、引力が最も重要な電気的効果だと考え、電気を物質から発生する「エフルビウム」のようなものと見なすかもしれない。別の研究者は、電気を導電性の物質によって運ばれる流体と考えるかもしれない。これらの科学者たちは、まだ共通の専門用語を前提とする段階に達していなかったため、一般の人々と話すのも互いに話すのもほぼ同じくらい容易だった。それに対して、20世紀の流体力学者は、まず専門用語や数学的技法の体系を採用しなければ、自分の分野で知識を進展させることはほぼ不可能だろう。その代わりに、無意識のうちに、彼は自分の科学の基礎を問い直す自由を多く放棄することになる。 クーンの考えの中心には、通常の科学が問題を解決するものであるというビジョンがある。学生が教科書を開いたときに初めて学ぶような問題だ。こうした問題は、大学院を通過し、論文作成を経て、学術的なキャリアを形成するための受け入れられた成果のスタイルを定義している。 「通常の条件下では、研究者は革新者ではなく、パズルを解く人であり、彼が集中するパズルは、既存の科学の伝統の中で表現され、解決できると信じるものに限られる」とクーンは書いています。次に革命が起こります。新しい科学は、行き詰まった科学から生まれます。しばしば革命は学際的な性質を持ち、その中心的な発見は、専門分野の枠を超えて活動する人々から生まれることが多いのです。これらの理論家が執着する問題は、正当な研究の線として認識されていません。提案された論文は却下され、記事は出版を拒否されます。理論家自身も、自分たちが答えを見たときにそれを認識できるかどうか確信が持てません。彼らはキャリアにリスクを受け入れます。自分が向かっている方向を説明できず、同僚に何をしているかさえ話すことを恐れる自由な発想を持つ少数の人々が、クーンの理論の核心にあるロマンチックなイメージです。これは、混沌の探求において何度も現実に起こりました。初期に混沌に目を向けた科学者たちは、落胆や公然の敵意の物語を持っていました。大学院生たちは、指導教員が専門知識を持たない未検証の分野で論文を書くとキャリアが危険にさらされると警告されました。粒子物理学者は、この新しい数学について耳にし、自分で遊び始めるかもしれません。それは美しいものであり、同時に難しいと感じるのですが、同僚にそれを話すことはできないと感じるでしょう。年配の教授たちは、多くの同僚が誤解したり反感を抱いたりする可能性のある研究分野に賭けることで、いわば中年の危機を感じていました。しかし、彼らは本当に新しいものに伴う知的な興奮も感じていました。外部の人々もそれを感じていました。そのことに敏感な人々にとって、1970年代にアドバンスドスタディ研究所のフリーマン・ダイソンにとって、混沌のニュースは「電撃のように」感じられました。他の人々は、プロとしての人生で初めて真のパラダイムシフト、思考の変革を目の当たりにしていると感じました。初期の頃に混沌を認識した人々は、自分の考えや発見を出版可能な形にまとめる方法に苦悩しました。研究は学際的な境界を越えました—例えば、物理学者には抽象的すぎ、数学者には実験的すぎるという具合です。一部の人々にとって、新しいアイデアを伝える難しさや、伝統的な立場からの激しい抵抗は、新しい科学がどれほど革命的であるかを示していました。ジョセフ・フォードは、ジョージア工科大学でトルストイの言葉を引用しました。「私は、ほとんどの人々が、糸を一つ一つ織り込んで、科学の布を作り上げていることを知っています。」多くの主流の科学者たちは、新興の科学についてぼんやりとしか認識していませんでした。特に伝統的な流体力学者たちは、それに対して積極的に反感を抱いていました。最初は、混沌に関する主張は荒唐無稽で非科学的に聞こえました。そして、混沌は、従来のものとは異なり、難解な数学に依存していました。 混沌の専門家が広がるにつれ、一部の学部はこれらのやや異端な学者に眉をひそめ、一方で他の学部はさらに多くの専門家を求めて広告を出した。いくつかの学術誌は混沌に関する投稿を禁じる暗黙のルールを設けたが、他の学術誌は混沌を専門に扱うことを打ち出した。混沌研究者やカオロジスト（こうした造語も耳にするようになった）は、重要な奨学金や賞の年次リストに不釣り合いに頻繁に登場するようになった。1980年代中頃には、学問の拡散の過程が混沌の専門家を大学の官僚機構内の影響力のある地位に引き上げた。「非線形ダイナミクス」や「複雑系」に特化したセンターや研究所が設立された。混沌は単なる理論ではなく、方法論となり、信念の体系だけでなく、科学を行う新たな手法となった。混沌はコンピュータを使う独自の技術を生み出し、クレイやサイバーのような膨大な速度を必要とせず、むしろ柔軟な対話を可能にする控えめな端末を好む。混沌研究者にとって、数学は実験科学となり、コンピュータが試験管や顕微鏡で満たされた実験室の代わりを果たすようになった。グラフィック画像が鍵となる。「数学者が絵なしでやるのはマゾヒズムだ」とある混沌専門家は言う。「どうやってその動きとこの動きの関係を見ることができるのか？どうやって直感を育むことができるのか？」中には、自らの研究が革命であることを明示的に否定する者もいれば、クーンのパラダイムシフトの言葉を使って自らの目撃する変化を描写する者もいる。スタイル的には、初期の混沌に関する論文は、基本原則に立ち返る点でベンジャミン・フランクリンの時代を思わせる。クーンが指摘するように、確立された科学は、調査の共通の出発点となる知識の体系を当然のこととして受け入れる。科学者たちは、同僚を退屈させないために、論文の始まりと終わりに難解な内容を盛り込むのが常だ。それに対して、1970年代後半以降の混沌に関する記事は、前置きから結論に至るまで福音的な響きを持っていた。新しい信条を宣言し、しばしば行動を求める呼びかけで締めくくられた。これらの結果は、私たちにとって刺激的であり、非常に挑発的に映る。乱流への移行の理論的なイメージがようやく浮かび上がり始めている。混沌の核心は数学的にアクセス可能であり、混沌は今や未来を予示していることは誰も否定できない。しかし、未来を受け入れるためには、過去の多くを放棄しなければならない。新しい希望、新しいスタイル、そして最も重要なのは、新しい見方だ。革命は断片的には起こらない。一つの自然観が別のものに取って代わる。古い問題は新たな視点で見られ、他の問題は初めて認識される。まるで全産業が新しい生産のために再装備されるかのような何かが起こる。クーンの言葉を借りれば、「まるで専門家のコミュニティが突然、馴染みのある世界から別の惑星に移動させられたかのようだ。」 物体は異なる視点で見られ、また見慣れないものと結びつくこともある。 新しい科学の「実験室のマウス」は振り子だった。古典力学の象徴であり、制約された動作の模範であり、時計のような規則性の典型である。振り子の先端で重りが自由に揺れ動く。乱流の野性からは、これ以上遠く離れたものはないだろう。アルキメデスには彼の浴槽があり、ニュートンには彼のリンゴがあったように、ガリレオには教会のランプがあったというのが一般的な伝説だ。そのランプは何度も前後に揺れ、そのメッセージを単調に彼の意識に送り続けた。クリスチャン・ホイヘンスは振り子の予測可能性を時間を測る手段に変え、西洋文明を戻れない道へと導いた。フーコーはパリのパンテオンで、二十階建ての振り子を使って地球の回転を示した。すべての時計や腕時計（振動する水晶の時代までは）は、何らかのサイズや形の振り子に依存していた。（ちなみに、水晶の振動もそれほど異なるものではない。）摩擦のない宇宙では、周期的な運動は天体の軌道から生じるが、地球上ではほぼすべての規則的な振動は振り子の親戚から来ている。基本的な電子回路は、揺れる重りを表す方程式と全く同じ方程式で説明される。電子の振動は何百万倍も速いが、物理学は同じである。しかし20世紀に入ると、古典力学は教室や日常的な工学プロジェクトのためのものとなった。振り子は科学博物館を飾り、空港の土産物店では回転するプラスチック製の「宇宙ボール」として活気を与えた。研究者たちは振り子に関心を持たなかった。それでも振り子は驚きを秘めていた。ガリレオの革命のように、それは試金石となった。アリストテレスが振り子を見たとき、彼は重りが地球に向かおうとしているのを見たが、ロープに制約されて激しく前後に揺れているのを見た。現代の耳にはこれは愚かに聞こえる。古典的な運動、慣性、重力の概念に縛られた人にとって、アリストテレスの振り子に対する理解に伴う自己一貫した世界観を理解するのは難しい。アリストテレスにとって、物理的な運動は量や力ではなく、むしろ変化の一種であり、人の成長もまた変化の一種である。落下する重りは、単に最も自然な状態を求めているだけであり、それは放っておけば到達する状態である。文脈の中で、アリストテレスの見解は理にかなっていた。一方、ガリレオが振り子を見たとき、彼は測定可能な規則性を見出した。それを説明するには、物体の運動を理解するための革命的な方法が必要だった。ガリレオが古代ギリシャ人に対して持っていた優位性は、より良いデータを持っていたからではなかった。むしろ、振り子の動きを正確に測定するために友人たちを集めて24時間の振動を数えるという、労力のかかる実験を行うという考え方だった。ガリレオは、すでにそれを予測する理論を持っていたからこそ、その規則性を見抜くことができたのだ。 彼は、アリストテレスが理解できなかったことを理解していた。それは、動いている物体は動き続ける傾向があり、速度や方向の変化は摩擦のような外部の力によってのみ説明できるということだ。実際、彼の理論は非常に強力で、存在しない規則性を見出していた。彼は、特定の長さの振り子が正確な時間を保つだけでなく、その振幅の角度がどれほど広くても狭くても同じ時間を保つと主張した。広く振れる振り子は移動距離が長くなるが、その分だけ速く移動するのだ。言い換えれば、その周期は振幅に依存しない。 「もし二人の友人が振動を数えることにしたら、一人は広い振れを、もう一人は狭い振れを数えることになるが、彼らは数十回どころか数百回数えても、一度も意見が食い違うことはないだろう。」ガリレオは実験の観点からこの主張を表現したが、その理論が説得力を持たせたため、今でもほとんどの高校の物理の授業で教えられている。しかし、それは間違っている。ガリレオが見た規則性はあくまで近似に過ぎない。振り子の動きの角度の変化は、方程式にわずかな非線形性を生じさせる。低い振幅では、その誤差はほとんど存在しない。しかし、それは存在し、ガリレオが説明するような粗雑な実験でも測定可能である。小さな非線形性は無視しやすかった。実験を行う人々は、すぐに不完全な世界に生きていることを学ぶ。ガリレオやニュートン以来の数世紀にわたり、実験における規則性の探求は根本的なものであった。どの実験者も、同じままである量やゼロの量を探し求める。しかし、それは整然とした図を妨げる雑然とした部分を無視することを意味する。もし化学者がある日、二つの物質が常に2.001の比率で存在し、次の日には2.003、さらにその次の日には1.998であることを発見したら、完璧な2対1の比率を説明する理論を探さないのは愚かだろう。ガリレオもまた、彼が知っていた非線形性、すなわち摩擦や空気抵抗を無視しなければならなかった。空気抵抗は悪名高い実験の厄介者であり、新しい力学の本質に到達するためには取り除かなければならない複雑さだった。羽毛は石と同じ速さで落ちるのだろうか？落下する物体に関するすべての経験は「いいえ」と言っている。ピサの塔からボールを落としたガリレオの話は神話の一部であり、経験の混沌から規則性を分離する理想的な科学の世界を創造することによって直感を変える物語である。特定の質量に対する重力の影響を空気抵抗の影響から分離することは、素晴らしい知的成果であった。それによって、ガリレオは慣性と運動量の本質に迫ることができた。それでも、現実の世界では、振り子は最終的にアリストテレスの古風なパラダイムが予測した通りに動く。つまり、止まるのだ。次のパラダイムシフトの基礎を築く中で、物理学者たちは振り子のような単純なシステムに関する教育に欠陥があると多くの人が信じていることに直面し始めた。 私たちの世紀に入ると、摩擦のような散逸過程が認識され、学生たちはそれらを方程式に含めることを学びました。また、学生たちは非線形システムが通常は解けないことを学びましたが、それは真実であり、例外であることが多いというのは誤りでした。古典力学は、振り子や二重振り子、巻きばねや曲がった棒、弦楽器の弦や弓で弾かれた弦など、さまざまな動く物体の挙動を説明しました。数学は流体システムや電気システムにも適用されました。しかし、古典時代のほとんどの人は、非線形性が正当に評価されれば、動的システムに潜むカオスを想像することはありませんでした。物理学者は、振り子を理解しなければ、乱流や複雑性を真に理解することはできませんでしたが、その理解は20世紀前半には不可能でした。カオスがさまざまなシステムの研究を統合し始めると、振り子のダイナミクスはレーザーから超伝導ジョセフソン接合に至るまでの高度な技術をカバーするように広がりました。一部の化学反応は振り子のような挙動を示し、鼓動する心臓も同様でした。予期しない可能性は、ある物理学者が書いたように、「生理学や精神医学、経済予測、さらには社会の進化」にまで及びました。 遊び場のブランコを考えてみましょう。ブランコは降りるときに加速し、上がるときに減速し、その間に摩擦によって少しずつ速度を失います。定期的に押されることもあります—例えば、時計仕掛けの機械からです。私たちの直感は、ブランコがどこから始まっても、動きは最終的に規則的な前後のパターンに落ち着き、毎回同じ高さに戻るだろうと教えています。それは確かに起こり得ます。しかし、奇妙なことに、動きは不規則になり、高くなったり低くなったりして、決して安定した状態に落ち着かず、以前のスイングパターンを正確に繰り返すことはありません。この驚くべき不規則な挙動は、この単純な振動子のエネルギーの流れにおける非線形のひねりから生じます。ブランコは減衰しており、駆動されています。減衰は摩擦がブランコを停止させようとするためであり、駆動は定期的に押されているためです。減衰された駆動システムが平衡にあるときでも、実際には平衡にはありません。そして、天候から始まり、動く空気や水の摩擦、宇宙への熱の散逸によって減衰され、太陽のエネルギーの絶え間ない押しによって駆動されるような、そうしたシステムは世界中に満ちています。しかし、予測不可能性が物理学者や数学者が1960年代や70年代に再び振り子を真剣に考え始めた理由ではありませんでした。予測不可能性はただの注目を集める要素でした。カオス的ダイナミクスを研究していた人々は、単純なシステムの無秩序な挙動が創造的なプロセスとして機能することを発見しました。それは複雑性を生み出しました：豊かに組織されたパターンは、時には安定し、時には不安定で、時には有限で、時には無限ですが、常に生き物の魅力を持っていました。それが科学者たちが玩具で遊ぶ理由でした。 「スペースボール」または「スペーストラペーズ」という名前で販売されているおもちゃは、棒の両端にボールが一対あり、ペンデュラムの上部にあるT字型の横棒のように配置されています。下のボールは前後に揺れ動き、上の棒は自由に回転します。3つのボールの中には小さな磁石が内蔵されており、一度動き出すと、ベースに埋め込まれたバッテリー駆動の電磁石によって装置は動き続けます。この装置は、最も下のボールが近づくのを感知し、通過するたびに小さな磁気のキックを与えます。時には、装置は安定したリズミカルな揺れに落ち着くこともありますが、他の時には、その動きは混沌としていて、常に変化し続け、驚きを与えます。 もう一つの一般的なペンデュラムおもちゃは、いわゆる球状ペンデュラムであり、前後だけでなくあらゆる方向に揺れることができるペンデュラムです。いくつかの小さな磁石がそのベースの周りに配置されています。磁石は金属製のボブを引き寄せ、ペンデュラムが止まると、ボブはそのうちの一つに捕まります。アイデアはペンデュラムを揺らし、どの磁石が勝つかを予測することです。三角形に配置された3つの磁石だけでも、ペンデュラムの動きは予測できません。しばらくの間AとBの間を揺れ動き、その後BとCに切り替わり、Cに落ち着きそうになると、再びAに跳ね返ります。 ある科学者がこのおもちゃの挙動を体系的に探求するために地図を作成すると仮定しましょう。スタート地点を選び、ボブをその位置に保持してから放します。その後、ボブがどの磁石に捕まるかに応じて、その点を赤、青、または緑に色付けします。地図はどのようになるでしょうか？予想通り、特定の磁石にボブが確実に揺れる領域として、赤、青、または緑の固体の領域が存在します。しかし、無限の複雑さで色が織り交ぜられた領域も存在します。赤い点の隣には、どれだけ近くを見ても、どれだけ地図を拡大しても、緑の点や青の点が存在します。したがって、実際的にはボブの運命を予測することは不可能です。 伝統的に、動力学者はシステムの方程式を書くことがシステムを理解することだと信じていました。基本的な特徴を捉えるための最良の方法です。遊び場のブランコやおもちゃの場合、方程式はペンデュラムの角度、速度、摩擦、駆動力を結びつけます。しかし、これらの方程式に含まれる小さな非線形性のために、動力学者はシステムの未来に関する最も簡単な実用的な質問に答えることができなくなります。コンピュータはシミュレーションによって問題に対処し、各サイクルを迅速に計算します。しかし、シミュレーションには独自の問題があります。各計算に組み込まれた微小な不正確さが急速に影響を及ぼし、このシステムは初期条件に敏感に依存しているため、すぐに信号は消え、残るのはノイズだけになります。あるいは、そうではないのでしょうか？ローレンツは予測不可能性を見出しましたが、同時にパターンも見出しました。 他の人々も、無作為に見える行動の中に構造の兆しを発見しました。振り子の例は無視するには簡単でしたが、それを無視しなかった人々は挑発的なメッセージを見出しました。ある意味で、彼らは物理学が振り子の動きの基本的なメカニズムを完璧に理解している一方で、その理解を長期的な視点に拡張することができないことに気づきました。微視的な部分は完全に明確でしたが、巨視的な振る舞いは謎のままでした。システムを局所的に見るという伝統—メカニズムを孤立させ、それを組み合わせる—は崩れ始めていました。振り子、流体、電子回路、レーザーにおいて、基本的な方程式の知識はもはや正しい種類の知識とは思えなくなっていました。1960年代が進むにつれ、個々の科学者たちはローレンツの発見に平行する発見をしました。例えば、銀河の軌道を研究するフランスの天文学者や、電子回路をモデル化する日本の電気技術者がいました。しかし、グローバルな振る舞いが局所的な振る舞いとどのように異なるかを理解しようとする最初の意図的で協調的な試みは数学者たちから生まれました。その中には、カリフォルニア大学バークレー校のスティーブン・スマレがいました。彼は多次元トポロジーの最も難解な問題を解明したことで既に有名でした。若い物理学者が雑談の中でスマレが何に取り組んでいるのか尋ねると、その答えに驚愕しました。「オシレーターです。」それはばかげていました。オシレーター—振り子、ばね、または電気回路—は物理学者が訓練の初期に終わらせるような問題でした。簡単でした。なぜ偉大な数学者が初歩的な物理学を研究しているのでしょうか？若者は数年後になって、スマレが非線形オシレーター、カオス的オシレーターを見ており、物理学者たちが見ないことを見ていることに気づきました。スマレは不適切な仮説を立てました。最も厳密な数学的な用語で、彼はほとんどすべての動的システムが大抵の時間、あまり奇妙でない振る舞いに落ち着く傾向があると提案しました。しかし、彼がすぐに学んだように、物事はそんなに単純ではありませんでした。スマレは問題を解くだけでなく、他の人が解くための問題のプログラムを構築する数学者でした。彼は歴史への理解と自然に対する直感を活かし、全く試されていない研究分野が数学者の時間に値することを静かに発表する能力を持っていました。成功したビジネスマンのように、彼はリスクを評価し、冷静に戦略を計画しました。そして、彼にはパイドパイパーのような魅力がありました。スマレが導くところには多くの人が続きました。彼の評判は数学にとどまらず、ベトナム戦争の初期には、彼とジェリー・ルービンが「国際抗議の日」を組織し、カリフォルニアを通る部隊を運ぶ列車を止めるための活動を支援しました。1966年、アメリカ合衆国下院非米活動委員会が彼を召喚しようとしていた時、彼はモスクワに向かい、国際数学者会議に出席していました。そこで彼は、彼の職業における最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞しました。 その夏、モスクワでの光景はスメールの伝説の中で忘れがたい一部となった。5,000人の動揺し、また動揺させる数学者たちが集まっていた。政治的緊張は高まり、請願書が回覧されていた。会議が終わりに近づく中、スメールは北ベトナムの記者からの要請に応じて、モスクワ大学の広い階段で記者会見を開いた。彼はまずアメリカのベトナム介入を非難し、ホストたちが笑顔を浮かべ始めたその瞬間、ソ連のハンガリー侵攻とソ連国内の政治的自由の欠如についても非難を加えた。彼の発言が終わると、すぐにソ連の当局者による尋問のために車で連れ去られた。カリフォルニアに戻ると、国立科学財団は彼の助成金を取り消した。 スメールのフィールズ賞は、20世紀に栄え、特に1950年代に全盛期を迎えたトポロジーという数学の一分野における有名な業績を称えるものであった。トポロジーは、形がねじれたり、引き伸ばされたり、圧縮されたりしても変わらない性質を研究する。形が四角であるか丸であるか、大きいか小さいかはトポロジーにとっては無関係であり、引き伸ばしによってそれらの性質は変わる可能性がある。トポロジストは、形が連結しているか、穴があるか、結び目があるかを問う。彼らは、ユークリッドの一、二、三次元の宇宙だけでなく、視覚化することが不可能な多次元の空間における表面を想像する。トポロジーはゴムシート上の幾何学であり、定量的な側面よりも定性的な側面に関心を持つ。測定値がわからない場合、全体の構造について何が言えるかを問うのである。 スメールは、五次元以上の空間におけるトポロジーの歴史的な未解決問題の一つであるポアンカレ予想を解決し、その結果、分野の偉大な人物の一人としての地位を確立した。しかし1960年代には、スメールはトポロジーを離れ、未踏の領域に足を踏み入れた。彼は動的システムの研究を始めた。トポロジーと動的システムの両方は、アンリ・ポアンカレに遡ることができ、彼はそれらを一つのコインの裏表と見なしていた。世紀の変わり目に、ポアンカレは物理世界の運動の法則に幾何学的な想像力を適用した最後の偉大な数学者であった。彼はカオスの可能性を理解した最初の人物であり、彼の著作はローレンツが発見したような厳しい予測不可能性をほのめかしていた。しかしポアンカレの死後、トポロジーが栄える一方で、動的システムは衰退した。名前すら使われなくなり、スメールが名目上向かった分野は微分方程式であった。微分方程式は、システムが時間とともにどのように連続的に変化するかを記述するものである。伝統的には、エンジニアや物理学者は一度に一つの可能性のセットを考慮するという局所的なアプローチを取っていた。しかし、ポアンカレと同様に、スメールはそれらをグローバルに理解したいと考え、全ての可能性の領域を一度に把握しようとしたのである。 動的システムを記述する任意の方程式群、例えばローレンツ方程式では、最初に特定のパラメータを設定することができます。熱対流の場合、1つのパラメータは流体の粘度に関係しています。パラメータに大きな変化を加えると、システムに大きな違いをもたらすことがあります。例えば、定常状態に達することと周期的に振動することの違いです。しかし、物理学者たちは、非常に小さな変化は数値においてごくわずかな違いしか引き起こさず、行動に質的な変化をもたらすことはないと考えていました。トポロジーと動的システムを結びつける可能性は、形状を用いてシステムの全範囲の行動を視覚化することです。単純なシステムの場合、その形状は何らかの曲面であるかもしれませんが、複雑なシステムの場合は多次元の多様体になります。そのような表面上の1点は、時間のある瞬間におけるシステムの状態を表します。システムが時間を経て進行するにつれて、その点は動き、この表面上を軌道を描きながら移動します。形状を少し曲げることは、システムのパラメータを変更することに相当し、流体をより粘性にしたり、振り子を少し強く動かしたりします。見た目がほぼ同じ形状は、ほぼ同じ種類の行動を示します。形状を視覚化できれば、システムを理解することができます。 スマイルが動的システムに目を向けたとき、トポロジーは、ほとんどの純粋数学と同様に、現実世界の応用に対する明確な軽蔑をもって行われていました。トポロジーの起源は物理学に近かったのですが、数学者たちにとって物理的な起源は忘れ去られ、形状はそのためだけに研究されていました。スマイルはその精神を完全に信じていました—彼は純粋なものの中の純粋な存在でした—しかし、彼はトポロジーの抽象的で難解な発展が、世紀の変わり目にポアンカレが意図したように、物理学に貢献できるかもしれないという考えを持っていました。スマイルの最初の貢献の1つは、彼の誤った予想でした。物理的な観点から彼は、次のような自然の法則を提案していました：システムは不規則に振る舞うことができるが、その不規則な振る舞いは安定してはならない。安定性—「スマイルの意味での安定性」と数学者たちが時折言うように—は重要な特性でした。システムにおける安定した振る舞いは、ある数値がわずかに変更されたからといって消えてしまうことのない振る舞いです。どんなシステムにも、安定した振る舞いと不安定な振る舞いの両方が存在する可能性があります。鉛筆がその先端で立っている状態を支配する方程式は、重心がその先端の真上にある場合に良い数学的解を持ちますが、鉛筆をその先端で立たせることはできません。なぜなら、その解は不安定だからです。わずかな摂動がシステムをその解から引き離します。一方、ボウルの底にあるビー玉は、わずかに摂動されても元の位置に戻ります。物理学者たちは、実際に観察できる行動はすべて安定している必要があると考えていました。なぜなら、現実のシステムでは小さな乱れや不確実性は避けられないからです。パラメータを正確に知ることはできません。 物理的に現実的で、小さな摂動に対しても頑健なモデルを求めるのであれば、物理学者たちは安定したモデルが必要だと考えました。しかし、1959年のクリスマスの後、スメールがリオデジャネイロのアパートで妻と二人の幼い子供、そして大量のオムツと共に生活していた頃、悪い知らせが届きました。彼の予想は、すべて構造的に安定な微分方程式のクラスを定義していました。彼は、どんなカオス的なシステムも彼のクラスのシステムによって好きなだけ近似できると主張しましたが、それは違っていました。同僚からの手紙が、彼が想像していたほど多くのシステムがうまく振る舞わないことを知らせ、カオスと安定性を併せ持つ反例を説明していました。このシステムは頑健でした。わずかに摂動を加えても、自然界のシステムが常にノイズによって摂動されるように、その奇妙さは消えませんでした。頑健でありながら奇妙—スメールはその手紙を信じられない思いで読みましたが、その思いは徐々に薄れていきました。カオスと不安定性という概念は、まだ正式な定義を持ち始めたばかりでしたが、全く異なるものでした。特定の不規則性が小さな摂動に対して持続する限り、カオス的なシステムは安定することがありましたが、スメールがローレンツのことを聞くまでには数年がかかりました。ローレンツが発見したカオスは、その予測不可能性にもかかわらず、まるでボウルの中の大理石のように安定していました。このシステムにノイズを加えたり、揺らしたり、かき混ぜたり、動きを妨げたりしても、すべてが落ち着いたとき、トランジェントが峡谷の中のエコーのように消えていくと、システムは以前と同じ特異な不規則性のパターンに戻りました。それは局所的には予測不可能でありながら、全体としては安定していました。実際の動的システムは、誰もが想像していたよりも複雑なルールに従っていました。スメールの同僚からの手紙に記載されていた例は、もう一つのシンプルなシステムで、世代を超えて発見され、ほとんど忘れ去られていました。それは、実は変装した振り子、すなわち振動する電子回路でした。それは非線形であり、周期的に強制されていました。まるで子供がブランコに乗っているように。実際には真空管であり、1920年代にオランダの電気技師バルタザール・バン・デル・ポルによって研究されました。現代の物理学の学生は、オシロスコープの画面に描かれる線を見て、そのようなオシレーターの挙動を探求するでしょう。しかし、バン・デル・ポルはオシロスコープを持っていなかったため、電話の受話器で変化する音を聞くことで回路を監視しなければなりませんでした。彼は、供給する電流を変えるときに挙動に規則性があることを発見し、喜びました。音は階段を上るように周波数から周波数へと飛び移り、一つの周波数を離れた後、次の周波数にしっかりとロックされました。しかし、時折バン・デル・ポルは奇妙なことに気づきました。その挙動は、彼が説明できない方法で不規則に聞こえました。彼はその状況において心配はしていませんでした。「周波数が次の低い値にジャンプする前に、電話の受話器で不規則な音がよく聞こえます」と、彼は『ネイチャー』への手紙に書きました。 「しかし、これは付随的な現象です。」彼は、混沌の一端を垣間見た多くの科学者の一人でしたが、それを理解するための言葉を持っていませんでした。真空管を作ろうとしている人々にとって、周波数ロックは重要でした。しかし、複雑性の本質を理解しようとしている人々にとって、本当に興味深い挙動は、高周波と低周波の対立する引力によって生じる「不規則なノイズ」だということがわかりました。間違っていたとはいえ、スマレの予想は、動的システムの全体的な複雑性を新たに考える道に彼を直接導きました。いくつかの数学者たちは、バン・デル・ポール振動子の可能性を再評価しており、スマレは彼らの研究を新たな領域に持ち込みました。彼の唯一のオシロスコープは彼の心でしたが、それは彼がトポロジーの宇宙を探求してきた年月によって形作られたものでした。スマレは、振動子の全ての可能性、物理学者が「位相空間」と呼ぶ全ての位相空間を考えました。ある瞬間におけるシステムの状態は、位相空間の一点として表され、その位置や速度に関する全ての情報はその点の座標に含まれていました。システムが何らかの形で変化すると、その点は位相空間の新しい位置に移動します。システムが連続的に変化するにつれて、その点は軌跡を描きます。振り子のような単純なシステムの場合、位相空間は単なる長方形かもしれません。特定の瞬間における振り子の角度は、点の東西の位置を決定し、振り子の速度は南北の位置を決定します。定期的に前後に揺れる振り子の場合、位相空間を通る軌跡はループになり、システムが同じ位置のシーケンスを何度も繰り返すことになります。スマレは、特定の軌跡を見るのではなく、システムが変化する際の全体の空間の挙動に集中しました。例えば、より多くの駆動エネルギーが加わるときです。彼の直感は、システムの物理的本質から新しい種類の幾何学的本質へと飛躍しました。彼の道具は、位相空間における形状のトポロジー的変換—伸ばしたり圧縮したりする変換—でした。時には、これらの変換には明確な物理的意味がありました。システム内のエネルギー損失、すなわち摩擦によるエネルギーの損失は、位相空間におけるシステムの形状が空気を失った風船のように収縮することを意味しました—システムが完全に停止する瞬間には、最終的に一点に縮小します。バン・デル・ポール振動子の全体的な複雑性を表現するために、彼は位相空間が複雑な新しい種類の変換の組み合わせを受けなければならないことに気付きました。彼は、全体的な挙動を視覚化するというアイデアを新しいモデルに素早く変換しました。彼の革新—その後の年月にわたって混沌の持続的なイメージとなったもの—は、馬蹄形として知られる構造でした。 位相空間におけるポートレートの作成。従来の時系列（上）と位相空間における軌跡（下）は、同じデータを表示し、システムの長期的な挙動を把握するための二つの方法です。 最初のシステム（左）は、位相空間の中で定常状態に収束します。二番目のシステムは周期的に繰り返し、循環軌道を形成します。三番目は、より複雑なワルツのリズムで繰り返し、「周期三」のサイクルを描きます。四番目はカオス的です。スメールの馬蹄形の簡略版を作るには、長方形を取り、上下から押しつぶして横長のバーにします。そのバーの一端を折りたたみ、もう一方の端の周りに伸ばしてCの形にします。馬蹄形が新しい長方形に埋め込まれていると想像し、同じ変形を繰り返します。縮めたり折りたたんだり伸ばしたりするのです。このプロセスは、タフィーを作る機械の作業を模倣しており、回転するアームがタフィーを伸ばし、折り返し、再び伸ばし続けることで、タフィーの表面が非常に長く、非常に薄く、複雑に自己埋め込まれるまで続きます。スメールは、馬蹄形をさまざまな位相的な操作にかけ、数学的な側面を別にしても、馬蹄形はローレンツが数年後に大気中で発見する初期条件への敏感な依存性の視覚的な類似物を提供しました。元の空間で近くにある二つの点を選ぶと、それらがどこに行き着くかを予測することはできません。すべての折りたたみや伸ばしによって、点は恣意的に遠く離れてしまいます。その後、偶然近くにある二つの点は、実際には非常に離れた位置から始まっていたことになります。 スメールの馬蹄形。この位相的変換は、動的システムのカオス的特性を理解するための基盤を提供しました。基本的な考え方はシンプルです：空間は一方向に伸ばされ、別の方向に押しつぶされ、そして折りたたまれます。このプロセスを繰り返すことで、層状のペストリー生地を何度も伸ばしたことがある人には馴染みのある、構造的な混合が生まれます。最終的に近くにある点のペアは、元々は遠く離れていた可能性があります。スメールは当初、すべての動的システムを伸ばしと押しつぶしで説明できることを期待していました—少なくとも、システムの安定性を著しく損なうような折りたたみはないと考えていました。しかし、折りたたみは必要であり、折りたたみは動的な振る舞いにおける急激な変化を可能にしました。スメールの馬蹄形は、数学者や物理学者に運動の可能性についての新しい直感を与える新しい幾何学的形状の最初の一つとして立ちました。ある意味では、物理学者にとってはあまりにも人工的で役に立たないものでしたが、それでも出発点として機能しました。60年代が進むにつれ、スメールはバークレーでこの動的システムに関する新しい研究に興奮を共有する若い数学者たちのグループを集めました。彼らの研究が純粋でない科学の関心を完全に引きつけるまでにはさらに10年がかかりましたが、その時が来ると、物理学者たちはスメールが数学の一分野を現実の世界に向けて戻したことを認識しました。「それは黄金時代だった」と彼らは言いました。「それはパラダイムシフトの中のパラダイムシフトだ」と、スメールの同僚でカリフォルニア大学サンタクルーズ校の数学教授となったラルフ・エイブラハムは言いました。 「1960年に数学の専門的な仕事を始めたとき、今から考えるとそれほど昔のことではありませんが、現代数学全体が物理学者たち、特に最も前衛的な数学物理学者たちによって拒絶されていました。微分可能ダイナミクス、全体解析、写像の多様体、微分幾何学—アインシュタインが使ったものからわずか1、2年先のものですら、すべて拒否されていたのです。数学者と物理学者のロマンスは1930年代に離婚に終わり、彼らはもはや会話を交わすこともなく、お互いを軽蔑していました。数学物理学者たちは、大学院生に数学の授業を数学者から受けることを許可しませんでした。「私たちから数学を学びなさい。必要なことを教えてあげます。数学者たちはひどいエゴに取り憑かれていて、あなたの思考を破壊するでしょう。」それが1960年の状況でした。しかし1968年には、この状況は完全に逆転しました。物理学者、天文学者、生物学者たちは、情報を得る必要があることを理解しました。控えめな宇宙の謎：木星の大赤斑、巨大で渦巻く楕円形、まるで決して動かず、決して衰えない巨大な嵐のようなものです。1978年にボイジャー2号から宇宙に送られた画像を見た人は、非常に異なるスケールでの乱流の馴染みのある姿を認識しました。それは太陽系の最も古くからあるランドマークの一つであり、ジョン・アップダイクが「煮えたぎる眉の乱流の中で、苦悶の目のように吠える赤い斑点」と表現したものです。しかし、それは一体何だったのでしょうか？ローレンツやスマレ、その他の科学者たちが自然の流れを理解する新しい方法を動かし始めてから20年後、木星の異世界的な天候は、カオスの科学と共に訪れた自然の可能性の変化した感覚が待ち受けている多くの問題の一つであることが証明されました。3世紀にわたり、「知れば知るほど知らないことが増える」という状況が続いていました。天文学者たちは、ガリレオが初めて望遠鏡を木星に向けた後まもなく、大きな惑星に傷を見つけました。ロバート・フックは1600年代にそれを見ました。ドナティ・クレティはバチカンの絵画ギャラリーにそれを描きました。その斑点は色彩の一部として、あまり説明を必要としませんでした。しかし、望遠鏡が進化するにつれて、知識は無知を生むことになりました。前世紀には、理論が次々と生まれました。例えば、溶岩流理論。19世紀後半の科学者たちは、火山から流れ出る巨大な楕円形の溶岩湖を想像しました。あるいは、溶岩は小惑星が薄い固体の地殻に衝突してできた穴から流れ出たのかもしれません。新月理論。対照的に、あるドイツの科学者は、その斑点が惑星の表面から出現しようとしている新しい月であると提案しました。卵理論。新たに発見された奇妙な事実：その斑点は惑星の背景に対してわずかに漂っていることが観察されました。そこで、1939年に提唱された考え方は、その斑点を卵が水に浮かぶように、雰囲気の中に浮かぶほぼ固体の物体と見なしました。この理論のバリエーション—漂流する水素やヘリウムの泡の概念を含む—は数十年にわたって現役でした。ガスの柱理論。」 新たな事実：スポットは漂流していたものの、なぜかそれほど遠くには漂流しなかった。そこで、1960年代に科学者たちは、このスポットが上昇するガスの柱の頂上であり、クレーターから出ている可能性があると提案しました。そして、ボイジャーが登場しました。ほとんどの天文学者は、十分に近くで観察すればこの謎が解けるだろうと考えていました。実際、ボイジャーのフライバイは新しいデータの素晴らしいアルバムを提供しましたが、結局、そのデータは不十分でした。1978年に撮影された宇宙船の画像は、強力な風とカラフルな渦を明らかにしました。天文学者たちは、スポット自体がハリケーンのような渦巻く流れのシステムであり、雲を押しのけ、惑星の周りに東西の風の帯を形成していることを詳細に観察しました。ハリケーンという表現が最も適切だと思われましたが、いくつかの理由からそれは不十分でした。地球のハリケーンは、湿気が雨に凝縮されるときに放出される熱によって動力を得ますが、赤いスポットには湿気のプロセスは存在しません。ハリケーンは赤道の上では反時計回り、下では時計回りに回転しますが、赤いスポットの回転は反サイクロン的です。そして最も重要なのは、ハリケーンは数日で消えてしまうことです。また、天文学者たちがボイジャーの画像を研究する中で、惑星がほぼすべて流体で動いていることに気づきました。彼らは、地球のように薄い大気に囲まれた固体の惑星を探すように訓練されていましたが、もし木星に固体の核が存在するなら、それは表面からは遠く離れた場所にあることが分かりました。惑星は突然、一つの大きな流体力学の実験のように見え、赤いスポットはその中心で安定して回転し、周囲の混沌に全く動じていませんでした。このスポットはゲシュタルトテストのようになりました。科学者たちは、自分たちの直感が許す範囲でしか見ることができませんでした。乱流をランダムで騒がしいものと考える流体力学者には、その中に安定した島を理解するための文脈がありませんでした。ボイジャーは、最も強力な地上の望遠鏡では見えないほど小さな流れの特徴を示すことで、この謎をさらにややこしくしました。その小さなスケールでは、急速な無秩序が見られ、渦が現れたり消えたりするのが1日以内に起こりました。それでも、スポットは影響を受けませんでした。何がそれを維持しているのか？何がそれをその場に留めているのか？アメリカ航空宇宙局（NASA）は、その画像を全国にある半ダースほどのアーカイブに保管しています。その一つはコーネル大学にあります。その近くで、1980年代初頭にフィリップ・マーカスという若い天文学者兼応用数学者がオフィスを構えていました。ボイジャーの後、マーカスはアメリカとイギリスの科学者の中で赤いスポットのモデル化を模索する半ダースの一人となりました。擬似ハリケーン理論から解放された彼らは、他の場所でより適切な類似物を見つけました。例えば、北大西洋を流れるメキシコ湾流は、微妙に似たような方法で曲がり、分岐します。小さな波を発生させ、それがくびれになり、リングになって主流から離れていく—ゆっくりと持続する反サイクロンの渦を形成します。 別の類似点は、気象学における「ブロッキング」と呼ばれる特異な現象から来ている。時には、高気圧のシステムが海岸の沖に留まり、通常の東西の流れに逆らって、数週間または数ヶ月にわたってゆっくりと回転することがある。このブロッキングは、全球的な予測モデルを混乱させたが、同時に予報士たちに希望をもたらした。なぜなら、それは異常な長寿命を持つ秩序ある特徴を生み出したからだ。マーカスは、NASAの月面にいる人々の美しいハッセルブラッドの写真や、木星の乱流の写真を何時間も研究した。ニュートンの法則はどこにでも適用されるため、マーカスは流体方程式のシステムを使ってコンピュータをプログラムした。木星の気象を捉えるためには、点灯していない星に似た、密度の高い水素とヘリウムの塊に対するルールを書く必要があった。この惑星は速く回転し、1日が地球の10時間で過ぎ去る。回転は強いコリオリ力を生み出し、これはメリーゴーラウンドを横切る人に押し寄せる力であり、コリオリ力がそのスポットを駆動する。ローレンツが地球の気象の小さなモデルを使って巻き紙に粗い線を印刷したのに対し、マーカスははるかに大きなコンピュータの力を使って印象的なカラー画像を組み立てた。まず彼は等高線プロットを作成したが、何が起こっているのかほとんど見えなかった。次にスライドを作り、最後に画像をアニメーション映画にまとめた。それは啓示だった。鮮やかな青、赤、黄色の中で、回転する渦のチェッカーボードパターンが、NASAの実際のもののアニメーション映画に似た不気味な形の楕円にまとまっていく。「この大規模なスポットが、小規模な混沌とした流れの中で幸せそうに存在していて、その混沌とした流れがスポンジのようにエネルギーを吸収しているのが見える」と彼は言った。「背景の混沌の海の中に、小さなフィラメント状の構造が見える。」 そのスポットは自己組織化されたものである。大学院生として、マーカスは標準的な物理学を学び、線形方程式を解き、線形解析に合わせた実験を行っていた。それは保護された生活だったが、結局のところ、非線形方程式は解決を拒むため、大学院生の時間を無駄にする理由はなかった。彼の訓練には満足感がプログラムされていた。実験を特定の範囲内に保っていれば、線形近似で十分であり、期待される答えで報われることができた。時折、避けられない現実が侵入し、マーカスは何年も後に混沌の兆候であったことを理解することになる。彼は立ち止まり、「この小さなフワフワは何だろう」と言った。そして、「ああ、それは実験誤差だから、心配しなくていいよ」と言われた。しかし、ほとんどの物理学者とは異なり、マーカスは最終的にローレンツの教訓を学んだ。決定論的なシステムは、単なる周期的な挙動以上のものを生み出すことができるということだ。彼は野生の無秩序を探し、無秩序の中に構造の島が現れることを知っていた。したがって、彼は大赤斑の問題に対して、複雑なシステムが同時に乱流とコヒーレンスを生み出すことができるという理解を持ち込んだ。 彼は、新たに生まれつつある分野の中で、コンピュータを実験ツールとして使う独自の伝統を築くことに取り組むことができました。そして、彼は自分自身を新しいタイプの科学者だと考えることに抵抗がありませんでした。彼は主に天文学者でも流体力学者でも応用数学者でもなく、カオスの専門家でした。 **人生の浮き沈み** 数学的な発展の結果は、合理的な生物学的行動とは何かについての自分自身の直感と常に照らし合わせて確認されるべきです。この確認で不一致が明らかになった場合、次の可能性を考慮しなければなりません： a. 正式な数学的発展において誤りがあった。 b. 出発点の仮定が間違っている、または過度に単純化されている。 c. 生物学の分野に関する自分の直感が十分に発展していない。 d. 鋭い新しい原理が発見された。 — ハーヴェイ・J・ゴールド『生物システムの数学的モデリング』 貪欲な魚と美味しいプランクトン。名前のない爬虫類が滴る熱帯雨林、葉の天蓋の下を滑空する鳥、加速器の中の電子のようにブンブンと飛び回る昆虫。フロストベルトでは、 voles（ミニネズミ）やlemmings（レミング）が繁栄し、自然の血みどろの戦いの中で整然とした4年周期で増減します。世界は生態学者にとって混沌とした実験室であり、500万種の相互作用する種のるつぼです。それとも5000万種でしょうか？生態学者たちは実際には知りません。20世紀の数学に興味を持つ生物学者たちは、現実の生活の雑音や色彩を取り除き、個体群を動的システムとして扱う生態学という学問を築きました。生態学者たちは、数学的物理学の基本的なツールを使って、生命の流れや変動を説明しました。食物が限られた場所で単一種が繁殖すること、複数の種が生存を競い合うこと、宿主集団を通じて広がる疫病—これらはすべて、実験室でなくとも生物学的理論家の頭の中で分離することができました。1970年代にカオスが新しい科学として浮上する中で、生態学者たちは特別な役割を果たす運命にありました。彼らは数学モデルを使用しましたが、それらのモデルが煮えたぎる現実世界の薄い近似であることを常に認識していました。皮肉なことに、彼らの限界に対する認識は、数学者たちが興味深い奇異なものと考えていたいくつかのアイデアの重要性を見出す助けとなりました。もし通常の方程式が不規則な振る舞いを生み出すことができるなら—それは生態学者にとって特別な意味を持つものでした。個体群生物学に適用される方程式は、物理学者が宇宙の一部を扱うために使用するモデルの基本的な対応物でした。しかし、生命科学で研究される現実の現象の複雑さは、物理学者の実験室で見られるものをはるかに超えていました。生物学者の数学モデルは、経済学者、人口統計学者、心理学者、都市計画者のモデルと同様に、現実の風刺画のようなものでした。これらの社会科学が時間とともに変化するシステムの研究に厳密さを持ち込もうとしたとき、基準は異なっていました。 物理学者にとって、ローレンツのような方程式のシステムは非常にシンプルで、ほとんど透明に見えるものでした。一方、生物学者にとっては、ローレンツの方程式でさえも手に負えないほど複雑に思えました。三次元で、連続的に変化し、解析的に扱うことが難しいからです。この必要性から、生物学者は異なる作業スタイルを生み出しました。数学的な記述を実際のシステムに適合させるには、異なるアプローチが必要でした。物理学者は、特定のシステム（例えば、ばねで結合された二つの振り子）を見たとき、まず適切な方程式を選びます。できれば、ハンドブックで調べ、そうでなければ基本原理から正しい方程式を見つけ出します。彼は振り子の動作を理解しており、ばねについても知識があります。そして、可能であれば方程式を解きます。 対照的に、生物学者は特定の動物集団について考えるだけでは適切な方程式を導き出すことはできません。データを集め、似たような出力を生み出す方程式を見つける必要があります。例えば、限られた食料供給の池に千匹の魚を入れたらどうなるか？二匹の魚を毎日食べるサメを五十匹追加したらどうなるか？特定の割合で死に、人口密度に応じて広がるウイルスはどうなるか？科学者たちはこれらの質問を理想化し、明確な公式を適用できるようにしました。多くの場合、これがうまくいきました。人口生物学は、生命の歴史や捕食者と獲物の相互作用、国の人口密度の変化が病気の広がりに与える影響について多くを学びました。 もし特定の数学モデルが急激に進展したり、平衡に達したり、消滅したりした場合、エコロジストは実際の集団や疫病が同じように振る舞う状況について何かを推測することができました。一つの有用な単純化は、世界を離散的な時間間隔でモデル化することでした。これは、時計の針が滑らかに動くのではなく、秒ごとに前に進むようなものです。微分方程式は時間とともに滑らかに変化するプロセスを記述しますが、計算が難しいです。より単純な方程式—「差分方程式」—は、状態から状態へとジャンプするプロセスに使用できます。幸運なことに、多くの動物集団は、きれいに一年ごとの間隔で行動します。年ごとの変化は、連続的な変化よりも重要であることが多いのです。例えば、多くの昆虫は単一の繁殖シーズンに固執するため、世代が重なりません。来春のグループモスの個体数や来冬のはしかの流行を予測するために、エコロジストは今年の対応する数字を知っているだけで済むかもしれません。年ごとの模倣は、システムの複雑さの影に過ぎませんが、多くの実際の応用において、その影は科学者が必要とするすべての情報を提供します。 生態学の数学は、スティーブ・スマイルの数学に対して、十戒がタルムードに対するようなものです。良い作業ルールのセットですが、特に複雑ではありません。毎年変化する集団を記述するために、生物学者は高校生でも簡単に理解できる形式を使用します。 来年のバッタの個体数は、今年の個体数に完全に依存すると仮定しましょう。具体的な可能性をリスト化した表を想像することもできます。たとえば、今年1,000匹のバッタがいると、来年は35,000匹になる、という具合です。また、今年のすべての数値と来年のすべての数値との関係をルール、つまり関数として捉えることもできます。今年の個体数（x）に対する来年の個体数は、関数（F）として表されます：Xnext = F(x)。特定の関数はグラフに描くことができ、その全体的な形状を瞬時に把握できます。このような単純なモデルでは、時間を通じて個体数を追跡するのは、初期の数値を取り、その関数を何度も適用することに他なりません。3年目の個体数を得るには、2年目の結果にその関数を適用するだけです。このようにして、個体数の全歴史が機能的反復のプロセスを通じて明らかになります。これはフィードバックループであり、毎年の出力が次の年の入力として機能します。フィードバックは手に負えなくなることもあります。たとえば、スピーカーからの音がマイクを通じてフィードバックし、急速に増幅されて耐え難い悲鳴になるように。また、フィードバックは安定性を生むこともあります。サーモスタットが家の温度を調整するように、ある固定点を超える温度は冷却を引き起こし、その下の温度は加熱を引き起こします。さまざまなタイプの関数が考えられます。人口生物学に対する単純なアプローチは、毎年一定の割合で個体数が増加する関数を提案するかもしれません。それは線形関数—xnext = rx—であり、食糧供給や道徳的制約に制限されない古典的なマルサス主義の人口増加モデルです。パラメータrは人口増加率を表します。たとえば、rが1.1であれば、今年の個体数が10なら、来年は11になります。入力が20,000であれば、出力は22,000です。個体数はますます増加し、複利の貯蓄口座に永遠に残されたお金のように増え続けます。生態学者たちは何世代も前に、より良い方法を見つけなければならないことに気づきました。実際の池にいる実際の魚を想像する生態学者は、生命の粗い現実に合った関数を見つける必要がありました。たとえば、飢餓や競争の現実です。魚が繁殖すると、食料が不足し始めます。小さな魚の個体数は急速に増加しますが、過剰な魚の個体数は減少します。また、日本のカブトムシを考えてみましょう。毎年8月1日に庭に出てカブトムシを数えます。簡単のために、鳥やカブトムシの病気を無視し、固定された食料供給のみを考慮します。少数のカブトムシは繁殖しますが、多くは庭を食い尽くして自ら飢え死にします。制約のない成長のマルサス主義シナリオでは、線形成長関数は永遠に上昇し続けます。より現実的なシナリオでは、生態学者は個体数が大きくなると成長を抑制する追加の項を持つ方程式が必要です。 最も自然な関数を選ぶとすれば、人口が少ないときには急激に増加し、中間の値では成長がほぼゼロに近づき、人口が非常に大きくなると急激に減少するようなものです。このプロセスを繰り返すことで、生態学者は人口が長期的な挙動に落ち着く様子を観察できるでしょう。おそらく、ある安定した状態に達することになるでしょう。生態学者が数学に成功裏に取り組むことができれば、次のように言えるでしょう。「ここに方程式がある。ここには繁殖率を表す変数がある。ここには自然死率を表す変数がある。ここには飢餓や捕食による追加の死亡率を表す変数がある。そして見てください、人口はこの速度で増加し、あの平衡点に達するでしょう。」では、どのようにしてそのような関数を見つけるのでしょうか？多くの異なる方程式が機能するかもしれませんが、おそらく最も単純なのは線形のマルサス型の修正です：Xnext = rx(1-x)。ここで、パラメータrは成長率を表し、高く設定したり低く設定したりできます。新しい項である1 - xは、xが上昇するにつれて1 - xが減少するため、成長を制限します。計算機を持っている人なら、いくつかの初期値を選び、成長率を選んで、算術を行って次年度の人口を導き出すことができます。1950年代には、いくつかの生態学者がこの特定の方程式のバリエーション、すなわちロジスティック差分方程式を検討していました。例えば、オーストラリアではW. E. リッカーが実際の漁業にこの方程式を適用しました。生態学者たちは、成長率パラメータrがモデルの重要な特徴を表していることを理解していました。これらの方程式が借用された物理システムでは、そのパラメータは加熱の量や摩擦の量、あるいは他の複雑な量に対応していました。要するに、非線形性の程度です。池の中では、それは魚の繁殖力や、人口が単に急増するだけでなく、急減する傾向（「生物的潜在力」というのが正式な用語です）に対応するかもしれません。問題は、これらの異なるパラメータが変化する人口の最終的な運命にどのように影響するかということです。明らかな答えは、パラメータが低いと理想化された人口は低いレベルに達するということです。パラメータが高いと、より高い安定状態に至ります。これは多くのパラメータに対して正しいことが分かりましたが、すべてではありません。時折、リッカーのような研究者はさらに高いパラメータを試みたに違いなく、その際には混沌とした状態を目にしたことでしょう。人口は上昇し、オーバーシュートし、再び下降することで平衡に達します。奇妙なことに、数の流れは不規則になり、手動で計算する人にとっては厄介なことです。もちろん、数は無限に増加するわけではありませんが、安定したレベルにも収束しません。おそらく、これらの初期の生態学者の中には、落ち着かない数値を出し続ける意欲や力がなかったのでしょう。とにかく、人口が上下に揺れ動き続ける場合、生態学者はそれが何らかの基盤となる平衡の周りで振動していると仮定しました。平衡が重要な要素だったのです。 生態学者たちは、平衡が存在しない可能性があることを考えもしなかった。ロジスティック方程式やそのより複雑な類似物を扱った参考書や教科書は、一般的にカオス的な振る舞いが予想されることすら認めていなかった。J. メイナード・スミスは、1968年の古典的著作『生物学における数学的アイデア』の中で、可能性についての標準的な見解を示した。彼によれば、個体群はしばしばほぼ一定に保たれるか、あるいは想定される平衡点の周りで「かなり規則的な周期性」を持って変動するという。彼が現実の個体群が決して不規則に振る舞わないと考えていたわけではなかった。彼は単に、不規則な振る舞いが彼が説明している数学モデルとは無関係であると仮定していた。いずれにせよ、生物学者たちはこれらのモデルを距離を置いて扱わなければならなかった。もしモデルが実際の個体群の振る舞いを裏切り始めた場合、常に何か欠けている要素がその不一致を説明できた。例えば、個体群の年齢分布、領域や地理に関する考慮、あるいは二つの性別を数えるという複雑さなどだ。最も重要なのは、生態学者たちの心の奥底には、不規則な数列はおそらく計算機の不具合か、単に精度が欠けていることを意味するという仮定が常にあったことだ。安定した解が興味深いものであり、秩序はそれ自体が報酬であった。結局、適切な方程式を見つけて計算を行う作業は難しいものであり、誰も安定性を生まない誤った方向に時間を無駄にしたくはなかった。そして、良い生態学者は誰もが、自分の方程式が現実の現象を大幅に単純化したものであることを忘れなかった。単純化の目的は、規則性をモデル化することだった。混沌を見るためにわざわざそんな手間をかける理由はなかった。 後に、人々はジェームズ・ヨークがローレンツを発見し、カオスの科学にその名前を与えたと言うようになる。後半の部分は実際に真実だった。ヨークは自分を哲学者だと考えることを好む数学者であり、これは職業上危険なことだった。彼は優れた頭脳を持ち、穏やかな口調で話す、少し乱れた服装のスティーブ・スメールの穏やかな崇拝者だった。彼も他の誰もがそうであるように、スメールを理解するのは難しいと感じていた。しかし、ほとんどの人とは異なり、彼はなぜスメールが理解しにくいのかを理解していた。ヨークは22歳のとき、メリーランド大学にある物理科学と技術のための学際的な研究所に参加し、後にその所長となった。彼は、自分の現実に関するアイデアを何らかの形で活かすことを強く望む数学者だった。彼は淋病の広がりに関する報告書を作成し、それが連邦政府に対してこの病気の制御に関する国家戦略を変更させる説得力を持っていた。彼は1970年代のガソリン危機の際、メリーランド州に対して公式の証言を行い、偶数奇数制限によるガソリン販売の制限が単に行列を長くするだけだと正しく（しかし説得力を持たずに）主張した。 反戦デモが盛んだった時代、政府がワシントン記念碑周辺の人混みがまばらであることを示すスパイ機の写真を公開した際、彼はその写真が実際にはデモが解散し始めた30分後に撮影されたものであることを証明するために、記念碑の影を分析しました。研究所では、ヨークは伝統的な領域を超えた問題に取り組む自由を享受し、さまざまな分野の専門家と頻繁に接触することができました。その中の一人、流体力学者は、1972年にローレンツの1963年の論文「決定論的非周期的流れ」に出会い、その魅力に取りつかれ、興味のある人には誰にでもコピーを配っていました。彼はヨークにも一部を渡しました。ローレンツの論文は、ヨークが無意識のうちに探し求めていた魔法のようなものでした。まず第一に、それは数学的な衝撃でした。カオス的なシステムであり、スマレの元々の楽観的な分類法を破っていました。しかし、それは単なる数学ではなく、流体の動きを描いた生き生きとした物理モデルでもあり、ヨークは瞬時に物理学者たちに見せたいものであると理解しました。スマレは数学を物理的な問題の方向に導いていましたが、ヨークはよく理解していたように、数学の言語はコミュニケーションの大きな障壁となっていました。もし学術界にハイブリッドな数学者/物理学者の居場所があればよかったのですが、実際にはそうではありませんでした。スマレの動的システムに関する研究がそのギャップを埋め始めていたにもかかわらず、数学者たちは一つの言語を話し、物理学者たちは別の言語を話していました。物理学者マレー・ゲルマンがかつて言ったように、「教員たちは、数学者には良い物理学者に見え、物理学者には良い数学者に見える特定のタイプの人間に慣れ親しんでいます。非常に適切に、彼らはそのような人間を周囲に置きたがりません。」二つの職業の基準は異なっていました。数学者は論理的推論によって定理を証明し、物理学者はより重い装置を使って証明を行いました。彼らの世界を構成する対象は異なり、例も異なっていました。スマレは、次のような例に満足していました：0と1の間の数、つまり分数を取り、それを2倍にします。そして、整数部分、すなわち小数点の左側の部分を捨てます。その後、プロセスを繰り返します。ほとんどの数は非有理数であり、その細部は予測不可能であるため、このプロセスは予測不可能な数の列を生み出すだけです。物理学者はそこに何も見出さず、単なる陳腐な数学的奇妙さとして、全く意味がなく、あまりにも単純で抽象的で役に立たないと考えるでしょう。しかし、スマレは直感的にこの数学的トリックが多くの物理システムの本質に現れることを知っていました。物理学者にとって、正当な例とは、簡単な形で書き下ろせる微分方程式でした。ヨークがローレンツの論文を見たとき、それが気象学のジャーナルに埋もれていたにもかかわらず、彼は物理学者が理解できる例であることを知っていました。彼はスマレにコピーを渡し、スマレが返却するように自分の住所ラベルを貼り付けました。 スマイルは驚いた。10年前にこの気象学者が、スマイル自身がかつて数学的に不可能だと考えていた一種のカオスを発見していたことを知ったからだ。彼は「決定論的非周期的流れ」の多くのコピーを作成し、その結果、ヨークがローレンツを発見したという伝説が生まれた。バークレーで出たすべての論文には、ヨークの住所ラベルが貼られていた。ヨークは、物理学者たちがカオスを見ないことを学んだと感じていた。日常生活の中で、初期条件に対する敏感な依存性を持つローレンツ的な特性は至る所に潜んでいる。ある男が朝、30秒遅れて家を出ると、花鉢が数ミリメートルのところで彼の頭をかすめ、その後トラックに轢かれることになる。あるいは、もっと劇的でない場合もある。彼は10分ごとに出発するバスを逃し、その結果、1時間ごとに出発する電車に乗り遅れてしまう。日常の軌道における小さな摂動が、大きな結果をもたらすことがある。ピッチされたボールに向かうバッターは、ほぼ同じスイングをしても、必ずしも同じ結果が得られないことを知っている。野球は数インチのゲームだからだ。 しかし、科学は違った。教育的に言えば、物理学や数学の多くは、黒板に微分方程式を書き、それを解く方法を学生に示すことにある。微分方程式は、現実を連続体として表現し、場所や時間によって滑らかに変化するものであり、離散的なグリッドポイントや時間ステップで途切れることはない。すべての科学学生が知っているように、微分方程式を解くことは難しい。しかし、250年以上の間に、科学者たちはそれに関する膨大な知識を蓄積してきた。微分方程式のハンドブックやカタログ、さまざまな解法、あるいは「閉じた形の積分を見つける」と科学者が言うような方法がある。微分積分学の広大な業務が、後中世の科学のほとんどの実用的な成功を可能にしたと言っても過言ではないし、変化し続ける世界をモデル化しようとする人間の最も巧妙な創造物の一つとして位置づけられることも間違いない。したがって、科学者が自然についてこの考え方を習得し、理論と厳しい実践に慣れる頃には、ある事実を見失っている可能性が高い。ほとんどの微分方程式は全く解けないのだ。 「もし微分方程式の解を記述できるなら、それは必然的にカオスではない」とヨークは言った。「解を書くためには、角運動量のような保存される規則的な不変量を見つけなければならない。これらのものを十分に見つけると、解を書くことができる。しかし、これはまさにカオスの可能性を排除する方法なのだ。」 解けるシステムは教科書に示されているものであり、彼らは安定している。非線形システムに直面した科学者たちは、線形近似を代入するか、他の不確かな裏口アプローチを見つけなければならなかった。教科書は、こうした技術に適応する稀な非線形システムだけを学生に示していた。初期条件に対する敏感な依存性は示されていなかった。 実際のカオスを持つ非線形システムは、ほとんど教えられず、ほとんど学ばれることもありませんでした。人々がそうしたものに出くわすことはありましたが、彼らの訓練はそれを異常なものとして無視するように教えていました。解決可能で秩序ある線形システムが異常であることを思い出せる人はごくわずかでした。つまり、非線形の本質を理解している人はほんの一握りだったのです。エンリコ・フェルミはかつて、「聖書には自然の法則がすべて線形で表現できるとは書いていない！」と叫びました。数学者スタニスワフ・ウラムは、カオスの研究を「非線形科学」と呼ぶことは、動物学を「象以外の動物の研究」と呼ぶようなものだと述べました。 ヨークは理解していました。「最初のメッセージは、無秩序が存在するということです。物理学者や数学者は規則性を発見したいと思っています。人々は無秩序に何の役に立つのかと言います。しかし、人々はそれに対処するためには無秩序について知っておく必要があります。バルブのスラッジについて知らない自動車整備士は、良い整備士ではありません。」ヨークは、科学者も非科学者も、複雑さに適切に調整されていなければ、自分自身を簡単に誤解させることができると信じていました。なぜ投資家は金や銀の価格に周期性が存在すると主張するのでしょうか？それは、周期性が彼らが想像できる最も複雑な秩序ある振る舞いだからです。彼らが複雑な価格パターンを見ると、少しのランダムなノイズに包まれた周期性を探し求めます。そして、物理学や化学、生物学の科学実験者も同様です。「過去には、無数の状況でカオス的な振る舞いが見られました」とヨークは言いました。「彼らは物理実験を行っていて、その実験が不規則な方法で振る舞います。彼らはそれを修正しようとするか、諦めてしまいます。不規則な振る舞いをノイズがあるからだとか、単に実験が悪いからだと説明します。」 ヨークは、ローレンツとスメールの研究には物理学者が聞いていないメッセージがあると決めました。そこで、彼はアメリカ数学月刊誌という、彼が発表できると思った最も広く配布されているジャーナルに論文を書きました。（数学者として、彼は物理学のジャーナルが受け入れる形でアイデアを表現することができず、物理学者と協力するという手法を思いつくのは数年後のことでした。）ヨークの論文はその内容自体が重要でしたが、最終的にはその神秘的でいたずらっぽいタイトル「周期三はカオスを意味する」が最も影響力のある特徴となりました。彼の同僚たちはもっと真面目なタイトルを選ぶようアドバイスしましたが、ヨークは決してその言葉を変えず、決定論的な無秩序の成長するビジネス全体を象徴するものとなりました。彼はまた、友人の生物学者ロバート・メイとも話をしました。メイは、実は裏口から生物学に入ったのです。彼はオーストラリアのシドニーで理論物理学者としてスタートし、優れた弁護士の息子であり、ハーバードで応用数学のポスドク研究を行いました。1971年には、プリンストンの高等研究所に1年間行きましたが、彼がすべきだった仕事をする代わりに、プリンストン大学に漂って生物学者たちと話をすることになりました。 現在でも、生物学者は微積分を超えた数学をあまり持っていないことが多い。数学が好きで、その才能を持つ人々は、生命科学よりも数学や物理学に進む傾向がある。しかし、メイは例外だった。彼の興味は当初、安定性や複雑性の抽象的な問題、競争者が共存できる理由を数学的に説明することに向いていた。しかし、彼はすぐに、単一の生物集団が時間とともにどのように振る舞うかという最も単純な生態学的な問いに焦点を当て始めた。必然的に単純なモデルは、妥協のようには思えなかった。プリンストン大学の教員として正式に参加する頃には（最終的には大学の研究学部長になることになる）、彼はすでにロジスティック差分方程式の一種を多くの時間をかけて研究しており、数学的分析と原始的なハンド計算機を使っていた。実際、シドニーの廊下の黒板に、彼は大学院生のための問題としてその方程式を書いたことがある。それは彼を苛立たせ始めていた。「ラムダが蓄積点を超えたとき、いったい何が起こるんだ？」つまり、人口の成長率、すなわちブームとバストの傾向が臨界点を超えたときに何が起こるのか。メイはこの非線形パラメータの異なる値を試すことで、システムの特性を劇的に変えることができることを発見した。パラメータを上げることは非線形性の度合いを上げることを意味し、それは結果の量だけでなく質にも影響を与えた。それは、平衡状態での最終的な人口だけでなく、人口が平衡状態に達するかどうかにも影響を与えた。パラメータが低いと、メイの単純なモデルは安定した状態に収束した。パラメータが高いと、安定した状態は崩れ、人口は二つの交互の値の間で振動した。パラメータが非常に高いと、そのシステム—まさに同じシステム—は予測不可能に振る舞うように見えた。なぜだろう？異なる振る舞いの境界で何が正確に起こったのか、メイには理解できなかった。（大学院生たちも同様だった。）メイは、この最も単純な方程式の振る舞いについて集中的な数値探査のプログラムを実施した。彼のプログラムはスメールのものに類似しており、彼はこの一つの単純な方程式を局所的ではなく全体的に理解しようとしていた。この方程式は、スメールが研究したものよりもはるかに単純だった。その秩序と混沌を生み出す可能性が、すでに尽きてしまっているとは信じがたいことだった。しかし、実際にはそうではなかった。実際、メイのプログラムは始まりに過ぎなかった。彼はパラメータの異なる数百の値を調査し、フィードバックループを動かし、数の列がどこで、そして果たして固定点に収束するのかを観察した。彼は安定性と振動の間の重要な境界にますます注目した。まるで彼自身の魚の池を持っているかのように、魚の「ブームとバスト」を巧みに操ることができた。ロジスティック方程式 Xnext = rx(1-x) を使用しながら、メイはできるだけゆっくりとパラメータを上げていった。 もしパラメータが2.7であれば、人口は0.6292になります。パラメータが上昇するにつれて、最終的な人口もわずかに増加し、グラフ上で左から右に向かってわずかに上昇する線を描きました。しかし、パラメータが3を超えると、線は二つに分かれました。メイの想像上の魚の人口は、単一の値に落ち着くことを拒み、交互の年で二つのポイントの間を振動しました。低い数値から始まり、人口は上昇し、その後変動を繰り返しながら、安定して行き来するようになりました。さらにノブを少し回すことで、パラメータをもう少し上げると、振動が再び分かれ、四つの異なる値に収束する数列が生成され、それぞれが四年ごとに戻ってきました。 これにより、人口は定期的な四年ごとのスケジュールで増減するようになりました。サイクルは再び倍増し、最初は毎年から二年ごと、そして今度は四年ごとになりました。結果として生じた周期的な挙動は安定しており、人口の異なる初期値は同じ四年周期に収束しました。周期の二、四、混沌。周期の倍増と混沌。ロバート・メイや他の科学者たちは、異なる繁殖能力を持つ集団の挙動を示すために個別の図を使うのではなく、「分岐図」を用いてすべての情報を一つの図にまとめました。この図は、あるパラメータの変化（この場合は野生動物の「繁栄と衰退」）が、この単純なシステムの最終的な挙動をどのように変えるかを示しています。パラメータの値は左から右に表され、最終的な人口は縦軸にプロットされます。ある意味で、パラメータの値を上げることは、システムをより強く駆動し、その非線形性を増加させることを意味します。パラメータが低い（左側）とき、人口は絶滅します。パラメータが上昇すると（中央）、人口の平衡レベルも上昇します。そして、パラメータがさらに上昇すると、平衡が二つに分かれ、対流する流体の温度を上げると不安定性が生じるように、人口は二つの異なるレベルの間を交互に変動し始めます。分岐はますます速く起こり、システムは混沌と化します（右側）、人口は無限に多くの異なる値を訪れるようになります。ローレンツが十年前に発見したように、そのような数値を理解し、視力を保つ唯一の方法はグラフを作成することです。メイは、異なるパラメータにおけるそのようなシステムの挙動に関するすべての知識を要約するためのざっくりとしたアウトラインを描きました。パラメータのレベルは横にプロットされ、左から右に向かって増加します。人口は縦に表されます。各パラメータについて、メイはシステムが平衡に達した後の最終的な結果を表す点をプロットしました。左側では、パラメータが低いため、この結果は単なる点となり、異なるパラメータは左から右にわずかに上昇する線を生成しました。 パラメータが最初の臨界点を超えると、メイは二つの集団をプロットしなければならなくなる。グラフは二つに分かれ、横にYの字やフォークのような形になる。この分岐は、集団が1年周期から2年周期に移行することを示していた。さらにパラメータが上昇すると、点の数は再び倍増し、また倍増し、また倍増した。その様子は驚くべきもので、非常に複雑な挙動でありながら、驚くほど規則的でもあった。メイはこれを「数学の草むらに潜む蛇」と表現した。倍増そのものが分岐であり、各分岐は繰り返しのパターンがさらに一歩崩れていくことを意味していた。安定していた集団は、毎年異なるレベルを交互に行き来するようになる。2年周期で交互に変動していた集団は、今度は3年目と4年目に変動し、周期4に切り替わることになる。これらの分岐はますます速く訪れ、4、8、16、32…と続き、突然途切れる。あるポイント、すなわち「蓄積点」を超えると、周期性は混沌に取って代わり、全く落ち着かない変動が続く。グラフの全体の領域が完全に黒く塗りつぶされる。もしこの最も単純な非線形方程式に支配された動物の集団を追っていたなら、年ごとの変化は完全にランダムで、環境ノイズに吹き飛ばされているかのように思えるだろう。しかし、この複雑さの中で、安定した周期が突然戻ってくる。パラメータが上昇しているにもかかわらず、非線形性がシステムをますます強く駆動しているにもかかわらず、突然、3や7のような奇数周期の規則的なウィンドウが現れる。集団の変化のパターンは、3年周期や7年周期で繰り返される。その後、周期倍増の分岐が再び始まり、より速いペースで進行し、3、6、12…あるいは7、14、28…の周期を急速に通過し、再び混沌に戻る。最初、メイはこの全体像を把握することができなかった。しかし、彼が計算できた断片は十分に不安を引き起こすものであった。実際のシステムでは、観察者は一度に一つのパラメータに対応する垂直のスライスしか見ることができない。彼は一種類の挙動しか見ることができない—安定状態か、7年周期か、あるいは明らかなランダム性か。彼は、同じシステムがわずかなパラメータの変化によって全く異なる種類のパターンを示す可能性があることを知る術がなかった。ジェームズ・ヨークは、彼の論文「周期3は混沌を意味する」において、この挙動を数学的に厳密に分析した。彼は、任意の一次元システムにおいて、周期3の規則的なサイクルが現れると、そのシステムは他のすべての長さの規則的なサイクルや完全に混沌としたサイクルも示すことを証明した。この発見は、フリーマン・ダイソンのような物理学者にとって「電撃」のような衝撃をもたらした。それは直感に反するものであった。周期3の振動を繰り返し、混沌を生じさせないシステムを構築するのは簡単だと思われるかもしれないが、ヨークはそれが不可能であることを示した。 驚くべきことではあったが、ヨークは自分の論文の公的な関係の価値が数学的な内容を上回ると信じていた。それは部分的には正しかった。数年後、東ベルリンでの国際会議に出席した際、観光の時間を取り、シュプレー川でボートに乗った。突然、ロシア人が急いで何かを伝えようと近づいてきた。ポーランドの友人の助けを借りて、ヨークはようやくそのロシア人が同じ結果を証明したと主張していることを理解した。ロシア人は詳細を教えようとはせず、論文を送ると言うだけだった。4か月後、彼の論文が届いた。A.N. サルコフスキーが「自己への連続写像の周期の共存」というタイトルの論文で、確かに彼が先に発表していた。しかし、ヨークは単なる数学的な結果以上のものを提供していた。彼は物理学者たちにメッセージを送ったのだ：カオスは至る所に存在し、それは安定しており、構造を持っている。さらに、従来は難解な連続微分方程式でモデル化されていた複雑なシステムが、簡単な離散写像で理解できる可能性があることを示唆した。カオスの中の秩序の窓。最も単純な方程式でさえ、分岐図におけるカオスの領域は複雑な構造を持っており、ロバート・メイが最初に想像したよりもはるかに秩序だった。まず、分岐が2、4、8、16の周期を生み出す。その後、カオスが始まり、規則的な周期は存在しなくなる。しかし、システムがより強く駆動されると、奇数の周期を持つ窓が現れる。安定した周期3が現れ、その後再び周期倍増が始まり、6、12、24と続く。この構造は無限に深い。部分を拡大すると、それらは全体の図に似ていることがわかる。これらのフラストレーションを抱えた、身振り手振りで話す数学者たちの観光中の出会いは、ソビエトと西側の科学の間に続くコミュニケーションのギャップの症状であった。言語の問題やソビエト側の旅行制限のために、洗練された西側の科学者たちはしばしばソビエト文献にすでに存在している研究を繰り返してきた。アメリカとヨーロッパにおけるカオスの花開きは、ソビエト連邦においても並行する膨大な研究を刺激した。一方で、それはかなりの困惑も引き起こした。なぜなら、新しい科学の多くはモスクワではそれほど新しくなかったからだ。ソビエトの数学者や物理学者は、1950年代のA.N. コルモゴロフの研究に遡るカオス研究の強い伝統を持っていた。さらに、彼らは他の場所での数学と物理の分岐を乗り越えて共に働く伝統を持っていた。したがって、ソビエトの科学者たちはスメールに対して受容的であり、彼のホースシューは1960年代にかなりの反響を呼んだ。優れた数学物理学者であるヤシャ・シナイは、同様のシステムを熱力学的な用語に迅速に翻訳した。同様に、ローレンツの研究が1970年代に西側の物理学に届くと、それは同時にソビエト連邦でも広がった。 1975年、ヨークとメイが同僚たちの注意を引こうと奮闘している間に、シナイや他の研究者たちはゴルキを中心に強力な物理学者の作業グループを急速に結成しました。近年、一部の西洋のカオス専門家は、最新の情報を得るために定期的にソビエト連邦を訪れることを重視していますが、ほとんどの人は自分たちの科学の西洋版に満足せざるを得ませんでした。西洋では、ヨークとメイが周期倍化の衝撃を最初に体験し、その衝撃を科学者コミュニティに伝えました。この現象に気づいた数少ない数学者たちは、それを技術的な問題、数値的な奇異性として扱い、ほとんどゲーム感覚で捉えていました。彼らはそれが些細なことだとは考えていませんでしたが、自分たちの特別な宇宙の一部だと見なしていました。生物学者たちは、数学的な洗練さが欠けていたため、また無秩序な振る舞いを探求する動機が不足していたため、カオスへの道の途中で分岐を見逃していました。数学者たちは分岐を見たものの、次のステップに進んでしまいました。メイは、両方の世界に足を踏み入れた男として、驚くべき深遠な領域に足を踏み入れていることを理解しました。この最も単純なシステムをより深く理解するためには、科学者たちはより強力な計算能力を必要としていました。ニューヨーク大学のコーラン数学科学研究所にいるフランク・ホッペンシュタットは、非常に強力なコンピュータを持っていたため、映画を作ることに決めました。ホッペンシュタットは、後に生物学的問題に強い関心を持つようになる数学者で、ロジスティック非線形方程式を数億回にわたってコントロールデータ6600に通しました。彼は、パラメータの千の異なる値、千の異なる調整ごとにコンピュータのディスプレイ画面から写真を撮りました。分岐が現れ、次にカオスが現れ、そのカオスの中に不安定な小さな秩序のスパイクが見えました。瞬間的な周期的振る舞いの断片です。自分の映画を見つめながら、ホッペンシュタットは異星の風景を飛んでいるような気分になりました。一瞬は全くカオスに見えないこともあれば、次の瞬間には予測不可能な混乱で満ちていることもありました。驚きの感覚は、ホッペンシュタットが決して忘れられないものでした。メイはホッペンシュタットの映画を見ました。彼もまた、遺伝学、経済学、流体力学など他の分野から類似の事例を集め始めました。カオスの伝道者として、彼は純粋な数学者たちに対して二つの利点を持っていました。一つは、彼にとって単純な方程式が現実を完全に表現できないことでした。彼はそれが単なる比喩であることを知っていたため、比喩がどれほど広く適用できるのかを考え始めました。もう一つは、カオスの啓示が彼の選んだ分野の激しい論争に直接つながっていたことです。メイが最初に見た分岐図の輪郭は、より強力な計算がその豊かな構造を明らかにする前のものでした。人口生物学は、もともと論争の的となることが多い分野でした。例えば、生物学部内では分子生物学者と生態学者の間に緊張がありました。 分子生物学者たちは、自分たちが真の科学を行っていると考えていました。それは明確で硬い問題に取り組むものであり、一方で生態学者の仕事は曖昧だと見なされていました。生態学者たちは、分子生物学の技術的な傑作は、よく定義された問題の巧妙な展開に過ぎないと信じていました。メイが見たところによれば、1970年代初頭の生態学の中心的な論争は、個体群の変化の性質に関するものでした。生態学者たちは、ほぼ性格によって分かれていました。一部は、世界のメッセージを秩序あるものと読み取り、個体群は規制され安定していると考えました—例外はあるものの。別の一派は、逆のメッセージを読み取り、個体群は不規則に変動すると主張しました—こちらにも例外があります。偶然ではなく、これらの対立する陣営は、複雑な生物学的問題に対する厳密な数学の適用についても分かれていました。個体群が安定していると信じる人々は、それが何らかの決定論的なメカニズムによって規制されているに違いないと主張しました。一方、個体群が不規則であると信じる人々は、それが予測不可能な環境要因によって揺さぶられ、存在するかもしれない決定論的な信号を消し去ると主張しました。決定論的な数学が安定した振る舞いを生み出すか、ランダムな外部ノイズがランダムな振る舞いを生み出すか、どちらかの選択肢でした。この議論の文脈の中で、カオスは驚くべきメッセージをもたらしました：単純な決定論的モデルが、ランダムな振る舞いのように見えるものを生み出すことができるということです。その振る舞いには精緻な細かな構造がありましたが、そのどの部分もノイズと区別がつかないように見えました。この発見は論争の核心を突きました。メイは、単純なカオスモデルのプリズムを通してますます多くの生物学的システムを観察する中で、実践者の標準的な直感に反する結果を次々と見出しました。例えば、疫学においては、疫病は周期的に、規則的または不規則に発生することがよく知られていました。麻疹、ポリオ、風疹—すべてが頻度の上昇と下降を繰り返します。メイは、これらの振動が非線形モデルによって再現できることに気づき、もしそのようなシステムが突然の刺激—接種プログラムに相当するような摂動を受けたらどうなるかを考えました。素朴な直感は、システムが望ましい方向に滑らかに変化すると示唆します。しかし実際には、メイが発見したのは、大きな振動が始まる可能性が高いということでした。たとえ長期的な傾向が確実に下降していても、新たな平衡に至る道は驚くべきピークによって妨げられるのです。実際、イギリスでの風疹撲滅キャンペーンなどの実際のプログラムのデータでは、医師たちはメイのモデルが予測したような振動を目の当たりにしていました。しかし、風疹や淋病の短期的な急上昇を見た健康当局者は、接種プログラムが失敗したと考えるでしょう。数年のうちに、カオスの研究は理論生物学に強い推進力を与え、生物学者と物理学者が数年前には考えられなかった学術的なパートナーシップを結ぶことになりました。生態学者や疫学者は、以前の科学者たちが扱いきれないと捨てた古いデータを掘り起こしました。 決定論的カオスは、ニューヨーク市の麻疹流行の記録や、ハドソン湾会社の罠猟師によって記録されたカナダリンクスの200年にわたる個体数の変動の中に見出されました。分子生物学者たちは、タンパク質を動いているシステムとして捉え始めました。生理学者たちは、臓器を静的な構造としてではなく、規則的なものや不規則なものを含む振動の複合体として見ました。メイは、科学のあらゆる分野で専門家たちがシステムの複雑な挙動を見て議論してきたことを知っていました。各分野は、自分たちの特有のカオスを特別なものだと考えていました。この考えは絶望感をもたらしました。しかし、もし見かけのランダム性が単純なモデルから生じるとしたらどうでしょう？そして、もし同じ単純なモデルが異なる分野の複雑性にも適用できるとしたら？メイは、自分がほとんど探求を始めたばかりの驚くべき構造が生物学とは本質的なつながりを持たないことに気づきました。彼は、他のどのような科学者が自分と同じように驚くのだろうかと考えました。彼は、最終的に「メシア的」な論文と考えるようになった1976年の『ネイチャー』のレビュー記事に取り組み始めました。メイは、すべての若い学生にポケット計算機を与え、ロジスティック差分方程式で遊ぶことを奨励すれば、世界はより良い場所になると主張しました。その単純な計算は、彼が『ネイチャー』の記事で詳細に説明したもので、標準的な科学教育から生じる世界の可能性に対する歪んだ感覚を打ち消すことができるものでした。それは、ビジネスサイクルの理論から噂の広がりに至るまで、人々の考え方を変えることになるでしょう。メイは、カオスを教えるべきだと主張しました。科学者の標準的な教育が誤った印象を与えていることを認識する時が来たのです。どれほど複雑な線形数学がフーリエ変換や直交関数、回帰手法を用いても、メイはそれが科学者を圧倒的に非線形な世界について誤解させることになると主張しました。「そのように発展した数学的直感は、最も単純な離散非線形システムが示す奇妙な挙動に直面するために学生を十分に備えさせない」と彼は書きました。「研究だけでなく、政治や経済の日常の世界においても、もっと多くの人々が単純な非線形システムが必ずしも単純な動的特性を持たないことを理解すれば、私たちは皆もっと良い状況になるでしょう。」 * 便宜上、この非常に抽象的なモデルでは、「個体数」は0から1の間の分数で表現され、0は絶滅を、1は池の最大限の個体数を表します。では始めましょう：rの任意の値を選びます。例えば、2.7とし、初期の個体数を0.02とします。1から0.02を引くと0.98になります。これに0.02を掛けると0.0196になります。それに2.7を掛けると0.0529になります。非常に小さな初期個体数が2倍以上になりました。このプロセスを繰り返し、新しい個体数を種として使用すると0.1353になります。安価なプログラム可能な計算機を使えば、この反復はボタンを何度も押すだけの作業です。 人口は-3159から始まり、次に0.5835、0.6562と増加していくが、増加率は次第に鈍化している。そして、飢餓が繁殖を上回ると0.6092に落ち着く。その後、0.6428、0.6199、0.6362、0.6249と続く。数字は上下に揺れ動いているように見えるが、最終的には一定の数値に収束していく。6328、0.6273、6312、0.6285、0.6304、0.6291、0.6300、0.6294、0.6299、0.6295、0.6297、0.6296、0.6297、6296、0.6296、6296、0.6296、0.6296、-6296、0.6296。成功だ！鉛筆と紙の計算や、手動クランク式の機械式計算機の時代には、数値の探求はこれ以上進むことはなかった。たとえば、パラメータを3.5、初期値を0.4に設定すると、次のような数列が得られるだろう： 0.4000、0.8400、0.4704、0.8719、 0.3908、0.8332、0.4862、0.8743、 0.3846、0.8284、0.4976、0.8750、 0.3829、0.8270、0.4976、0.8750、 0.3829、0.8270、0.5008、0.8750、 0.3828、0.8269、0.5009、0.8750、 0.3828、0.8269、0.5009、0.8750、などなど。 自然の幾何学 そして、関係性が現れる。 小さな関係が、砂の上に雲の影のように広がり、丘の側面に形を成す。 —ウォレス・スティーヴンス 「混沌の愛好家」現実のイメージは、ベノワ・マンデルブロの心の中で年々築かれていった。1960年には、それはアイデアの幽霊であり、ぼんやりとした焦点のないイメージだった。しかし、マンデルブロはそれを見たときに認識し、ヘンドリック・ハウタッカーのオフィスの黒板にそれが描かれているのを見つけた。マンデルブロは数学の多才な専門家であり、国際ビジネスマシーンズ社の純粋研究部門に受け入れられ、保護されていた。彼は経済学に手を出し、経済における大きな所得と小さな所得の分布を研究していた。ハウタッカーはハーバード大学の経済学教授で、マンデルブロに講演を依頼した。若い数学者がハーバードヤードのすぐ北にある立派な経済学の建物リタウアーセンターに到着すると、彼は自分の発見がすでに年配の教授の黒板に描かれているのを見て驚いた。マンデルブロは不満げな冗談を言った—「私の図が講演の前に現れるなんてどういうことだ？」—が、ハウタッカーにはマンデルブロが何を言っているのか分からなかった。その図は所得分布とは関係がなく、8年間の綿花価格を示していた。ハウタッカーの視点から見ても、このチャートには何か奇妙な点があった。経済学者は一般的に、綿花のような商品の価格は、秩序ある動きとランダムな動きの2つの異なるビートに従っていると考えていた。長期的には、価格は経済の実際の力によって安定して推進される—ニューイングランドの繊維産業の興亡や国際貿易路の開放などによって。短期的には、価格はほぼランダムに上下する。しかし、残念ながら、ハウタッカーのデータは彼の期待に合致しなかった。大きな変動が多すぎた。もちろん、ほとんどの価格変動は小さいが、小さな変動と大きな変動の比率は彼が予想していたほど高くはなかった。分布は急速に減少せず、長い尾を持っていた。変動をプロットするための標準モデルは、ベル型曲線である。 中央部、つまりベル型の山が高くなるところでは、ほとんどのデータが平均値の周りに集まっています。一方、両端の低い極端値と高い極端値は急速に減少します。統計学者は、内科医が聴診器を使うのと同じように、ベル型曲線を最初に使う道具として利用します。これは、いわゆるガウス分布、つまり通常分布を表しています。これは、ランダム性の本質についての声明を意味します。要するに、物事が変動する際には、平均値の近くに留まろうとし、平均値の周りに比較的滑らかに散らばるということです。しかし、経済の荒野を切り開く手段としては、従来の概念には物足りなさがありました。ノーベル賞受賞者のワシリー・レオンティエフが言ったように、「実証的な探求のどの分野においても、これほど大規模で洗練された統計的手法が、これほど無関心な結果をもたらしたことはありません。」 ハウタッカーは、どのようにプロットしても、綿花価格の変動をベル型モデルに当てはめることができませんでした。しかし、それはマンデルブロが驚くほど異なる場所で見始めていたシルエットの絵を作り出しました。ほとんどの数学者とは異なり、彼はパターンや形状に関する直感に依存して問題に立ち向かいました。彼は分析を信用せず、しかし自分の心の中のイメージを信じていました。そして、彼はすでに、異なる振る舞いを持つ他の法則がランダムで確率的な現象を支配できるという考えを持っていました。ニューヨーク州ヨークタウンハイツの巨大なIBM研究センターに戻ると、彼はハウタッカーの綿花データをコンピュータカードの箱に入れて持ち帰りました。そして、1900年まで遡るデータを得るために、ワシントンの農務省に送信しました。 「誤差の正規法則」は、人類の経験の中で自然哲学の最も広範な一般化の一つとして際立っています。これは、物理学や社会科学、医学、農業、工学の研究における指導的な道具として機能します。観察や実験によって得られた基本データの分析と解釈に不可欠なツールです。 ベル型曲線。 他の分野の科学者たちと同様に、経済学者たちもコンピュータ時代の幕を開けつつあり、かつては想像もできなかった規模で情報を収集、整理、操作する力を持つことに徐々に気づき始めていました。しかし、すべての種類の情報が利用可能だったわけではなく、集められた情報は依然として使える形に変換する必要がありました。キーパンチの時代も始まったばかりでした。ハードサイエンスの分野では、研究者たちは数千、数百万のデータポイントを集めるのが容易でしたが、経済学者たちは生きた存在の意志を持つ世界に対処していました。経済学者は、最も捉えどころのない生き物を研究していました。しかし、少なくとも経済学者の環境は常に数値を供給していました。マンデルブロの視点から見ると、綿花価格は理想的なデータソースでした。記録は完全で、100年以上にわたって継続的に古いものでした。 綿は、中央集権的な市場を持つ売買の宇宙の一部であり、そのために中央集権的な記録管理が行われていました。19世紀の初めには、南部のすべての綿花がニューヨークの取引所を通じてニューイングランドに流れ込み、リバプールの価格もニューヨークの価格に連動していました。経済学者たちは商品価格や株価を分析するための情報がほとんどなかったものの、価格変動のメカニズムについての基本的な見解を欠いていたわけではありませんでした。むしろ、彼らは特定の信念を共有していました。その一つは、小さな一時的な変化は大きな長期的な変化とは何の共通点もないという確信です。短期的な急激な変動はランダムに発生します。日々の取引における小規模な上下動は、単なるノイズであり、予測不可能で興味を引かないものです。しかし、長期的な変化はまったく異なる種類のものです。数ヶ月、数年、あるいは数十年にわたる価格の大きな変動は、深いマクロ経済的な力、戦争や不況のトレンドによって決定されるものであり、理論的には理解をもたらすはずの力です。一方には短期的な変動のざわめきがあり、もう一方には長期的な変化の信号があります。しかし、実際には、その二分法はマンデルブロが描こうとしていた現実の絵には存在しませんでした。彼は小さな変化と大きな変化を分けるのではなく、それらを結びつける絵を求めていました。彼が考えていた絵を描く方法は明らかではありませんでしたが、大きなスケールと小さなスケールの間に対称性が必要であることを彼は知っていました。左右や上下の非対称性ではなく、大きなスケールと小さなスケールの対称性です。実際、マンデルブロがIBMのコンピュータを使って綿花価格データを分析したとき、彼が求めていた驚くべき結果を見つけました。通常の分布から見ると異常を示す数字が、スケーリングの観点から見ると対称性を示していました。各特定の価格変動はランダムで予測不可能でしたが、変動の連続はスケールに依存しませんでした。日々の価格変動と月々の価格変動の曲線は完全に一致しました。驚くべきことに、マンデルブロの方法で分析された結果、変動の度合いは、二度の世界大戦と大恐慌を経た激動の60年間にわたって一定のままでした。最も混沌としたデータの中に、予想外の秩序が存在していました。彼が検討していた数字の恣意性を考えると、マンデルブロは自問しました。なぜ何らかの法則が存在するべきなのか？そして、なぜそれが個人の収入と綿花の価格に同じように適用されるべきなのか？実のところ、マンデルブロの経済学のバックグラウンドは乏しく、経済学者とのコミュニケーション能力も同様に限られていました。彼が自らの発見についての記事を発表した際には、彼の学生の一人が経済学者向けの英語でマンデルブロの内容を繰り返す説明記事を先に発表しました。マンデルブロは他の興味に移りましたが、スケーリングの現象を探求する決意を高めていきました。それは独自の生命を持つ特質のように思えました—一種の署名のように。 講演のために紹介された 数年後（「…ハーバードで経済学を教え、イェールで工学を教え、アインシュタイン医科大学で生理学を教えた…」）、彼は誇らしげにこう述べました。「自分の過去の職業のリストを聞くたびに、自分が存在しているのか疑問に思うことがよくあります。これほど異なる分野の交差点は、確かに空っぽです。」実際、マンデルブロはIBMでの初期の頃から、さまざまな分野で存在感を示すことができませんでした。彼は常に外部者であり、流行に逆らったアプローチで数学のあまり注目されない一角を探求し、歓迎されることの少ない学問に足を踏み入れ、論文を発表するための努力の中で彼の壮大なアイデアを隠していました。彼は主にヨークタウンハイツの雇用主の信頼に支えられて生き延びていました。経済学のような分野に進出し、また引き下がる中で、魅力的なアイデアを残しましたが、しっかりとした研究成果を残すことは稀でした。混沌の歴史の中で、マンデルブロは自らの道を切り開きました。それでも、1960年に彼の心の中に形成されていた現実のイメージは、奇妙なものから本格的な幾何学へと進化しました。ローレンツ、スメール、ヨーク、メイなどの人々の研究を発展させる物理学者たちにとって、このとげとげしい数学者は脇役に過ぎませんでしたが、彼の技術と彼の言語は彼らの新しい科学の不可分の一部となりました。後年の彼を知る人々には、この描写は適切に思えなかったかもしれません。彼は高い額と数々の称号や栄誉を持っていましたが、ブノワ・マンデルブロは難民として理解されるべきです。彼は1924年にワルシャワでリトアニア系ユダヤ人の家庭に生まれ、父は衣料品の卸売業者、母は歯科医でした。地政学的な現実に敏感だった家族は、1936年にパリに移住しました。その理由の一部には、マンデルブロの叔父であるショレム・マンデルブロイトという数学者の存在がありました。戦争が始まると、家族は再びナチスの手を逃れ、数個のスーツケースだけを持ってパリから南へ向かう難民の流れに加わりました。彼らは最終的にチュールという町にたどり着きました。しばらくの間、ブノワは工具職人の見習いとして働きましたが、その背の高さと教育を受けた背景から危険にさらされていました。忘れられない光景と恐怖の時代でしたが、後に彼は個人的な苦難をほとんど思い出さず、むしろチュールや他の場所で、戦争に取り残された優れた学者たちの学校の教師たちに友好を受けたことを思い出しました。彼の教育は不規則で途切れ途切れでした。彼はアルファベットや、より重要なことに、5の段を超える掛け算の表を学んだことはないと主張しました。それでも、彼には才能がありました。パリが解放されたとき、彼は準備不足にもかかわらず、エコール・ノルマルとエコール・ポリテクニークの1か月にわたる口頭および筆記の入学試験を受け、合格しました。試験には、わずかに残った描画の試験があり、マンデルブロは「ミロのヴィーナス」を模写する潜在的な才能を発見しました。数学のセクションでは、形式的な代数や統合解析の演習において、彼は幾何学的直感を駆使して訓練不足を隠すことに成功しました。 彼は、解析的な問題に直面したとき、ほとんど常にそれを心の中のある形として考えることができることに気づいていました。形が与えられれば、彼はそれを変形させたり、対称性を変えたり、より調和のとれたものにする方法を見つけることができました。しばしば、彼の変形は類似の問題の解決に直接つながりました。物理学や化学では、幾何学を適用できなかったために成績は振るわなかったのですが、数学では、適切な技術を使っては決して答えられなかった問題が、彼の形の操作によって解けてしまいました。エコール・ノルマルとエコール・ポリテクニークは、アメリカの教育には類を見ないエリート校であり、各クラスで300人未満の学生をフランスの大学や公務員としてのキャリアに備えさせていました。マンデルブロは、より小さくて名声のあるノルマルから始めましたが、数日でポリテクニークに移りました。彼はすでにブルバキからの亡命者でした。おそらく、権威主義的なアカデミーや学びのための既成のルールを愛するフランス以外では、ブルバキは生まれなかったでしょう。ブルバキは、第一次世界大戦の不安定な余波の中で、ソレム・マンデルブロと数人の無頓着な若手数学者たちによって設立されたクラブとして始まりました。戦争の厳しい人口動態は、大学教授と学生の間に年齢差を生じさせ、学問の継続性の伝統を乱しました。これらの優れた若者たちは、数学の実践のための新しい基盤を築くことを目指しました。彼らのグループの名前は、その奇妙で魅力的な響きから借りた内部ジョークであり、後に推測されるように、19世紀のギリシャ系フランス人将軍に由来しています。ブルバキは、すぐに消えてしまう遊び心を持って誕生しました。メンバーたちは秘密裏に集まりました。実際、彼らの名前のすべては知られていません。メンバーの数は固定されており、50歳で退会することが求められた際には、残りのグループから新たなメンバーが選ばれました。彼らは数学者の中でも最も優れた人々であり、その影響はすぐに大陸全体に広がりました。 部分的には、ブルバキは19世紀末の偉人ポアンカレに対する反応として始まりました。ポアンカレは、驚異的に多作な思想家であり作家で、厳密さをあまり重視しない人物でした。ポアンカレは「正しいに違いないから、なぜ証明する必要があるのか？」と言っていました。ブルバキは、ポアンカレが数学の不安定な基盤を残したと信じており、グループはこの分野を正すための巨大な論文を書くことに着手しました。そのスタイルはますます狂信的になっていきました。論理的分析が中心であり、数学者は堅固な第一原理から始め、すべてをそこから導き出さなければなりませんでした。グループは、数学が科学の中での優位性を強調し、他の科学からの切り離しを主張しました。数学は数学であり、実際の物理現象への応用によって評価されるべきではありませんでした。そして何よりも、ブルバキは図の使用を拒否しました。数学者は常に視覚的な装置に騙される可能性があるからです。幾何学は信頼できません。数学は純粋で、形式的で、厳格であるべきだとされました。 これは厳密にはフランスの発展だけではなかった。アメリカでも、数学者たちは物理科学の要求からしっかりと距離を置いており、芸術家や作家たちが大衆の好みから離れていくのと同様だった。彼らの間には、閉じられた感性が支配していた。数学者たちの研究テーマは自己完結的になり、彼らの方法論は形式的な公理主義へと変わっていった。数学者は、自らの仕事が世界や科学の何も説明しないと誇りを持って言うことができた。この態度から多くの良いことが生まれ、数学者たちはそれを大切にしていた。スティーブ・スマレは、数学と自然科学を再び結びつけようとしながらも、数学は独立したものであるべきだと深く信じていた。自己完結性には明晰さが伴い、明晰さは公理的手法の厳密さとともにあった。真剣な数学者は誰でも、厳密さがこの学問の定義的な強さであり、すべてが崩壊することのない鋼の骨組みであることを理解している。厳密さこそが、数学者が数世代にわたる思考の流れを引き継ぎ、確固たる保証のもとでそれを続けることを可能にする。しかし、それでも厳密さの要求は20世紀の数学に意図しない結果をもたらした。この分野は特別な進化の仕方で発展していく。研究者は問題を拾い上げ、どの方向に進むかを決定することから始めることが多かった。その決定はしばしば、数学的に実現可能な道と自然を理解する上で興味深い道との選択を伴った。数学者にとって、その選択は明確だった。彼はしばらくの間、自然との明白な関係を放棄することになる。最終的に彼の学生たちも同様の選択に直面し、同じような決定を下すことになる。これらの価値観が厳格に規定されていたのはフランスにおいてであり、そこでブルバキはその創設者たちが想像もできなかった成功を収めた。その原則、スタイル、記法は義務化され、すべての優秀な学生を掌握し、安定した成功した数学の流れを生み出すことで、揺るぎない確実性を達成した。エコール・ノルマルに対するその支配は完全であり、マンデルブロには耐え難いものだった。彼はブルバキの影響から逃れるためにノルマルを去り、10年後には同じ理由でフランスを離れ、アメリカに住むことになった。数十年のうちに、ブルバキの relentless abstraction（容赦ない抽象化）は、目の新しい数学を生み出す力を持つコンピュータによって引き起こされた衝撃で衰退し始めることになる。しかし、それはマンデルブロにとっては手遅れだった。彼はブルバキの形式主義に従って生きることができず、幾何学的直感を捨てることもできなかった。自らの神話を創造することを常に信じていたマンデルブロは、Who’s Whoへの自らの記載に次の言葉を添えた。「科学は（スポーツのように）競争をすべての上に置くことになったら台無しになってしまうだろうし、狭く定義された専門分野に完全に閉じ込めることで競争のルールを明確にすることになったら、さらに悪いことになる。」 「選択した遊牧民」と呼ばれる稀な学者たちは、定住した学問分野の知的福祉にとって不可欠です。この選択した遊牧民は、自らを「必要に迫られた先駆者」とも呼び、フランスを離れる際に学界からも身を引き、IBMのトーマス・J・ワトソン研究所の庇護を受けました。彼は、無名から著名へと至る30年の旅の中で、自らが向けた多くの学問分野において、自身の仕事が受け入れられるのを一度も目にしませんでした。数学者たちでさえ、悪意なく、「マンデルブロットは何者かというと、彼は私たちの仲間ではない」と言うでしょう。彼はゆっくりと道を見つけていきましたが、常に科学史の忘れ去られた道に関する豊富な知識に助けられていました。彼は数学的言語学に踏み込み、言葉の分布に関する法則を説明しました。（象徴的な表現について謝罪しながら、彼はこの問題が純粋数学者のゴミ箱から拾った書評から彼の注意を引いたものであると主張しました。パリの地下鉄で読むものが必要だったからです。）彼はゲーム理論を調査し、経済学の中に出入りしました。大都市と小都市の分布におけるスケーリングの規則について執筆しました。彼の仕事を結びつける一般的な枠組みは背景にあり、不完全に形成されていました。IBMでの初期の頃、商品価格の研究を終えた直後、彼は企業の後援者にとって非常に重要な実務的問題に直面しました。エンジニアたちは、コンピュータ間で情報を伝送するために使用される電話回線のノイズの問題に困惑していました。電流は情報を離散的なパケットで運び、エンジニアたちは電流を強くすればするほどノイズをかき消すのに効果的であることを知っていました。しかし、彼らは一部の自発的なノイズは決して排除できないことを発見しました。時折、そのノイズは信号の一部を消し去り、エラーを引き起こしました。伝送ノイズはその性質上ランダムでしたが、クラスター状に発生することはよく知られていました。エラーのない通信の期間の後には、エラーが発生する期間が続くのです。エンジニアたちと話すうちに、マンデルブロットは、エラーに関する伝承のようなものが存在し、それは標準的な考え方には合致しないため、書き留められたことがないことをすぐに知りました。クラスターを詳しく調べれば調べるほど、エラーのパターンはより複雑に見えるのです。マンデルブロットは、観察されたパターンを正確に予測するエラーの分布を記述する方法を提供しました。しかし、それは非常に奇妙でした。なぜなら、それによってエラーの平均発生率—時間あたり、分あたり、または秒あたりの平均エラー数—を計算することが不可能になったからです。マンデルブロットの理論では、エラーは無限に希薄に近づくのです。彼の記述は、クリーンな伝送の期間とエラーの期間の間に、より深い分離を作ることによって機能しました。例えば、1日を時間に分けたとしましょう。1時間は全くエラーがないかもしれません。その後の1時間にはエラーが含まれるかもしれません。そしてまた、エラーのない1時間が経過するかもしれません。しかし、エラーのある1時間を20分の小さな期間に分けたとしましょう。 ここでも、ある期間は完全にクリーンである一方、別の期間にはエラーのバーストが含まれることがあることがわかるでしょう。実際、マンデルブロは直感に反して、エラーが連続的に散発する時間を見つけることは決してできないと主張しました。エラーのバーストの中には、どんなに短いものであっても、常に完全にエラーのない伝送期間が存在するのです。さらに、彼はエラーのバーストとクリーンな伝送の間に一貫した幾何学的関係があることを発見しました。1時間や1秒のスケールで、エラーのない期間とエラーの多い期間の比率は一定のままでした。（かつて、マンデルブロは恐怖を感じましたが、データの一部が彼の理論に矛盾しているように見えたのです。しかし、エンジニアたちが最も極端なケースを記録しなかったため、彼らはそれが無関係だと考えていたことが判明しました。） エンジニアたちはマンデルブロの説明を理解するための枠組みを持っていませんでしたが、数学者たちは理解していました。実際、マンデルブロは19世紀の数学者ゲオルク・カントールにちなんで名付けられたカントール集合という抽象的な構造を再現していたのです。カントール集合を作るには、まず0から1までの数の区間を直線のセグメントで表現します。次に、その中間の三分の一を取り除きます。そうすると、2つのセグメントが残り、それぞれの中間の三分の一を取り除きます（1/9から2/9、7/9から8/9まで）。これで4つのセグメントが残り、それぞれの中間の三分の一を取り除く—これを無限に続けます。残るのは何でしょうか？ クラスタに配置された奇妙な「塵」のような点の集合で、無限に存在しながらも無限に希薄です。マンデルブロは、伝送エラーを時間に沿って配置されたカントール集合として考えていました。この非常に抽象的な説明は、エラーを制御するための異なる戦略を決定しようとする科学者たちにとって実際的な意味を持っていました。特に、信号の強度を増やしてノイズをかき消そうとするのではなく、エンジニアたちは控えめな信号に落ち着き、エラーの避けられないことを受け入れ、冗長性を用いてそれらを捕捉し修正する戦略を採用すべきだということを意味していました。マンデルブロはまた、IBMのエンジニアたちがノイズの原因について考える方法を変えました。エラーのバーストは常にエンジニアたちをどこかにドライバーを差し込んでいる人を探させていました。しかし、マンデルブロのスケーリングパターンは、ノイズは特定の局所的な出来事に基づいて説明されることは決してないことを示唆していました。 マンデルブロは、世界の河川から得られた他のデータに目を向けました。エジプト人は何千年にもわたってナイル川の水位を記録してきました。それは単なる通り過ぎる関心事ではありません。ナイル川は異常に大きな変動を受け、ある年には大洪水を引き起こし、別の年には水位が下がります。マンデルブロは、この変動を経済学でも一般的な2種類の効果に分類し、ノア効果とヨセフ効果と名付けました。ノア効果は不連続性を意味します：ある量が変化するとき、それはほぼ恣意的に速く変化する可能性があります。経済学者たちは伝統的に、価格は滑らかに変化すると考えていました—速く変わる場合もあれば遅く変わる場合もありますが、滑らかに変化するという意味で。 彼らはある点から別の点へ移動する際に、すべての中間的なレベルを通過します。この動きのイメージは、物理学から借用されたものであり、経済学に応用される数学の多くも同様です。しかし、それは間違っていました。価格は瞬時にジャンプすることがあり、ニュースがテレタイプワイヤーを駆け抜けるように素早く、千人のブローカーが考えを変えることもあります。マンデルブロットは、株が60ドルから10ドルに下がる過程で、どこかで50ドルで売れる必要があると仮定する株式市場の戦略は失敗する運命にあると主張しました。 カントールの塵。まずは一本の線を引き、その中間の三分の一を取り除きます。次に、残った部分の中間の三分の一を取り除き、これを繰り返します。カントール集合は、残った点の塵です。それは無限に多く存在しますが、その総長は0です。このような構造の逆説的な特性は19世紀の数学者たちを悩ませましたが、マンデルブロットはカントール集合を電子伝送線におけるエラーの発生モデルとして見ました。エンジニアたちは、エラーのない伝送期間と、エラーがバースト的に発生する期間が混在しているのを観察しました。さらに詳しく見ると、そのバーストの中にもエラーのない期間が含まれていました。これはフラクタル時間の一例です。マンデルブロットは、時間のスケールが数時間から数秒にわたる中で、エラーとクリーンな伝送の関係が一定であることを発見しました。このような塵は、間欠性をモデル化する上で不可欠であると彼は主張しました。 ヨセフ効果は持続性を意味します。エジプトの地には七年間の豊作があり、その後に七年間の飢饉が訪れるでしょう。もしこの聖書の伝説が周期性を暗示しているのなら、もちろん単純化されすぎています。しかし、洪水や干ばつは持続します。根底にランダム性があるにもかかわらず、ある場所が干ばつに苦しむ期間が長くなるほど、さらなる干ばつに見舞われる可能性が高くなります。さらに、ナイル川の水位の数学的分析は、持続性が数世代にわたって適用されることを示しました。ノアの効果とヨセフの効果は異なる方向に働きますが、自然のトレンドは実在するものであり、現れると同時に消えることもあるという点で合算されます。不連続性、ノイズのバースト、カントールの塵—このような現象は、過去2000年の幾何学には存在しませんでした。古典幾何学の形状は、線や平面、円や球、三角形や円錐です。これらは現実の強力な抽象を表し、プラトン的調和の強力な哲学を生み出しました。ユークリッドは、これらを用いて二千年続く幾何学を作り上げましたが、これはほとんどの人が学ぶ唯一の幾何学です。芸術家たちはその中に理想的な美を見出し、プトレマイオスの天文学者たちはそれを基に宇宙の理論を構築しました。しかし、複雑さを理解するためには、これらは間違った種類の抽象であることがわかります。マンデルブロットは「雲は球体ではない」と言うのが好きです。山は円錐ではありません。 雷は直線的に進むわけではありません。新しい幾何学は、滑らかではなく粗い宇宙を反映しています。それは、凹凸があり、傷だらけで、ねじれ、絡まり、交差しているものの幾何学です。自然の複雑さの理解は、その複雑さが単なる偶然や無作為ではないという疑念を待っていました。それには、たとえば雷の道筋の興味深い特徴はその方向ではなく、ジグザグの分布であるという信念が必要でした。マンデルブロの研究は、世界についての主張を行い、その主張は、こうした奇妙な形が意味を持つというものでした。凹みや絡まりは、ユークリッド幾何学の古典的な形を歪める単なる欠陥以上のものであり、しばしば物の本質を理解するための鍵となります。たとえば、海岸線の本質とは何でしょうか？マンデルブロは、「イギリスの海岸線はどれくらい長いのか？」という論文でこの問いを投げかけ、彼の思考における転機となりました。 マンデルブロは、イギリスの科学者ルイス・F・リチャードソンの不明瞭な死後の論文で海岸線の問題に出くわしました。リチャードソンは、後にカオスの一部となる驚くべき数の問題に取り組んでいました。彼は1920年代に数値的な天気予報について書き、ケープコッド運河に白いパースニップの袋を投げ入れて流体の乱流を研究し、1926年の論文で「風には速度があるのか？」と問いかけました（「一見愚かな質問だが、知り合いになると改善される」と彼は書いています）。海岸線や曲がりくねった国境について考えたリチャードソンは、スペインやポルトガル、ベルギーやオランダの百科事典を調べ、彼らの共通の国境の推定長さに20パーセントの差異があることを発見しました。 マンデルブロのこの問題に対する分析は、聞き手にとって痛々しいほど明白か、あるいはばかげたものとして受け取られました。彼はほとんどの人がこの質問に対して二つの方法のいずれかで答えることを見出しました。「わからない、それは私の専門ではない」または「わからないが、百科事典で調べてみる」。 実際、彼は主張しました、どんな海岸線も—ある意味では—無限に長いのです。別の意味では、答えは定規の長さに依存します。測定の一つの妥当な方法を考えてみましょう。測量士は一組のコンパスを取り、それを1ヤードの長さに開き、海岸線に沿って歩きます。その結果得られるヤード数は真の長さの近似に過ぎません。なぜなら、コンパスは1ヤードより小さな曲がりやターンを飛ばしてしまうからですが、測量士はそれでもその数を書き留めます。そして、彼はコンパスをより小さな長さ—たとえば1フィート—に設定し、プロセスを繰り返します。彼はやや大きな長さに到達します。なぜなら、コンパスはより多くの詳細を捉え、1ヤードのステップでカバーした距離をカバーするには3歩以上の1フィートのステップが必要になるからです。彼はこの新しい数を書き留め、コンパスを4インチに設定して再び始めます。この思考実験は、想像上のコンパスを使って、異なる距離や異なるスケールから物体を観察することの効果を定量化する方法です。 衛星からイギリスの海岸線の長さを推定しようとする観察者は、海岸の入り江やビーチを歩こうとする観察者よりも小さな推測をするでしょう。そして、さらにその観察者よりも、すべての小石を乗り越えながら進むカタツムリは、より小さな推測をすることになります。これは「フラクタルな海岸」です。コンピュータ生成の海岸線は、細部はランダムですが、フラクタル次元は一定であるため、画像をどれだけ拡大しても粗さや不規則さの度合いは同じに見えます。常識的には、これらの推定値は大きくなり続けるものの、最終的には海岸線の真の長さという特定の値に近づくと考えられます。つまり、測定値は収束するはずです。実際、もし海岸線が円のようなユークリッド的な形状であれば、より細かい直線距離を合計するこの方法は確かに収束します。しかし、マンデルブロは、測定のスケールが小さくなるにつれて、海岸線の測定された長さが限界なく増加し、入り江や半島がますます小さなサブ入り江やサブ半島を明らかにすることを発見しました—少なくとも原子スケールまで、そこでこのプロセスは最終的に終わりを迎えます。おそらく。 ユークリッド的な測定—長さ、深さ、厚さ—が不規則な形状の本質を捉えることに失敗したため、マンデルブロは次元という異なるアイデアに目を向けました。次元は、科学者にとっては非科学者よりもはるかに豊かな意味を持つ特性です。私たちは三次元の世界に生きており、点を指定するためには三つの数が必要です：例えば、経度、緯度、高度です。この三次元は、互いに直交する方向として想像されます。これは依然としてユークリッド幾何学の遺産であり、空間は三次元、平面は二次元、直線は一次元、点はゼロ次元です。ユークリッドが一次元または二次元の物体を考え出すことを可能にした抽象化のプロセスは、私たちの日常の物体の使用にも容易に波及します。実用的な観点から見ると、道路地図は本質的に二次元のものであり、平面の一部です。二次元を使って、正確に二次元の情報を伝えます。もちろん、実際には道路地図も他のすべてのものと同様に三次元ですが、その厚さは非常にわずかで（目的に対して無関係なため）、忘れ去られることができます。実質的に、道路地図は折りたたまれていても二次元のままです。同様に、糸は実質的に一次元であり、粒子は実質的に次元を持たないと言えます。それでは、糸玉の次元は何でしょうか？マンデルブロは「それはあなたの視点によります」と答えました。遠くから見ると、糸玉はただの点に過ぎず、ゼロ次元です。近づくと、糸玉は球状の空間を満たしているのが見え、三次元を占めています。さらに近づくと、糸が見え、物体は実質的に一次元になりますが、その一次元は確かに三次元空間を利用して自らに絡まっています。点を指定するために必要な数の概念は、依然として有用です。 遠くから見ると、必要なものは何もない—その点が全てである。近くから見ると、三つ必要になる。さらに近づくと、一つで足りる—糸の長さに沿った任意の位置は独自のものであり、糸が伸びていても、絡まってボール状になっていても同様である。そして、顕微鏡的な視点に向かうと、糸は三次元の柱に変わり、その柱は一次元の繊維に解消され、固体の物質はゼロ次元の点に溶け込む。マンデルブロは、数学的ではない形で相対性に訴えた。「数値結果が物体と観察者の関係に依存すべきだという考えは、今世紀の物理学の精神に合致しており、その典型的な例でもある。」 しかし、哲学を脇に置くと、物体の有効次元は日常的な三次元とは異なることが明らかになる。マンデルブロの言葉の議論には、「遠くから」と「少し近く」という曖昧な概念に依存しているという弱点があるように思えた。では、その間はどうなるのか？糸のボールが三次元から一次元の物体に変わる明確な境界は確かに存在しない。しかし、これらの移行の曖昧な性質は、次元の問題に関する新しいアイデアへとつながった。マンデルブロは、次元0、1、2、3を超えて、見かけ上不可能なもの、すなわち分数次元に進んだ。この概念は、概念的な高所作業である。非数学者にとっては、信じることを一時的に保留することが必要である。しかし、それは非常に強力であることが証明される。分数次元は、そうでなければ明確な定義を持たない特性を測定する方法となる：物体の粗さや壊れ具合、不規則さの程度など。たとえば、ねじれた海岸線は、その長さに関しては測定不可能であるにもかかわらず、特定の粗さの程度を持っている。マンデルブロは、形を構築するための技術やデータが与えられた場合に、実際の物体の分数次元を計算する方法を特定し、彼の幾何学が自然界で研究した不規則なパターンについて主張を行うことを許可した。その主張は、不規則性の程度が異なるスケールで一定であるというものである。驚くべきことに、この主張はしばしば真実である。世界は何度も、規則的な不規則性を示す。1975年のある冬の午後、物理学における並行する流れに気づき、彼の最初の主要な著作を出版する準備をしていたマンデルブロは、彼の形状、次元、幾何学に名前が必要だと感じた。息子が学校から帰ってきており、マンデルブロは少年のラテン語辞典をめくっていた。そこで彼は、動詞「frangere」（壊す）から派生した形容詞「fractu」を見つけた。主要な英語の同義語—fracture（破損）やfraction（分数）—の響きが適切に思えた。マンデルブロは、「フラクタル」という言葉（名詞と形容詞、英語とフランス語）を創造した。心の目で見るフラクタルは、無限を視覚化する方法である。1フィートの長さの三角形を想像してみてほしい。次に、特定の変換—明確に定義され、簡単に繰り返せる一連のルール—を想像してみてほしい。 各辺の中央の三分の一を取り、新たに同じ形の三角形を一つ、サイズを三分の一にして付け加えます。これにより、ダビデの星が完成します。もともと三つの一フィートの辺だったものが、今では十二の四インチの辺になっています。三つの頂点の代わりに、六つの頂点があります。 コッホの雪片。「マンデルブロの言葉を借りれば、海岸線の粗いが力強いモデル」です。コッホ曲線を作成するには、まず辺の長さが1の三角形から始めます。各辺の中央に、サイズが三分の一の新しい三角形を追加し、これを繰り返します。境界の長さは3 × (4/3) × (4/3) × (4/3)...と無限大になります。しかし、面積は元の三角形の周りに描かれた円の面積よりも小さいままです。こうして、無限に長い線が有限の面積を囲むことになります。次に、十二の辺それぞれに対して同じ変換を繰り返し、中央の三分の一に小さな三角形を付け加えます。これを再度行い、無限に続けます。アウトラインはますます詳細になり、カントール集合がますますまばらになるのと同様です。それは理想的な雪片のような形をしています。コッホ曲線として知られ、1904年に最初にこの曲線を記述したスウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホにちなんで名付けられました。 考えてみると、コッホ曲線には興味深い特徴があります。一つには、それは自己交差することのない連続したループであり、各辺の新しい三角形は常に小さすぎて互いにぶつかることがないからです。各変換は曲線の内部に少し面積を加えますが、総面積は有限であり、実際には元の三角形よりもあまり大きくはなりません。元の三角形の周りに円を描くと、コッホ曲線はそれを超えることはありません。しかし、曲線自体は無限に長く、無限の宇宙の端まで伸びるユークリッドの直線と同じくらい長いのです。最初の変換が一フィートの辺を四つの四インチの辺に置き換えるのと同様に、すべての変換は総長を四分の三倍にします。この矛盾した結果、有限の空間における無限の長さは、世紀の変わり目の数学者たちを困惑させました。コッホ曲線は恐ろしいものであり、形に関する合理的な直感に対して無礼であり、言うまでもなく、自然界に存在するものとは病的に異なるものでした。そのため、当時の彼らの研究はあまり影響を与えませんでしたが、同じように奇妙な数学者たちがコッホ曲線のいくつかの奇妙な特性を持つ他の形を想像しました。ペアノ曲線があり、シェルピンスキーのカーペットやシェルピンスキーのガスケットがありました。カーペットを作るには、正方形から始め、三分の三に分割して九つの等しい正方形を作り、中央の一つを取り除きます。次に、残りの八つの正方形に対して同じ操作を繰り返し、それぞれの中央に正方形の穴を開けます。ガスケットは同様ですが、正方形の代わりに等辺三角形を使用します。これは、任意の点が分岐点、構造の分かれ道であるという想像しにくい特性を持っています。 想像するのは難しいが、エッフェル塔を考えてみれば、その三次元的な近似が見えてくる。エッフェル塔の梁やトラス、ガーダーは、ますます細くなる部材の格子状のネットワークへと枝分かれし、繊細なディテールのきらめく網を形成している。もちろん、エッフェルはこの設計を無限に拡張することはできなかったが、重量を減らしながらも構造的な強度を保つための微妙な工学的ポイントを理解していた。心は、全体の無限に自己埋め込まれた複雑さを視覚化することはできない。しかし、形を考える幾何学者の視点を持つ人にとっては、構造のこのような繰り返しが、より細かいスケールで行われることで、まったく新しい世界を開くことができる。これらの形を探求し、その可能性のゴムのようなエッジに心の指を押し込むことは、遊びの一種であり、マンデルブロは誰も見たことがなく、理解したことがない変化を目にすることに子供のような喜びを感じていた。名前がないとき、彼はそれに名前を付けた：ロープやシート、スポンジやフォーム、カードやガスケット。分数次元は、まさに適切な尺度であることが証明された。ある意味で、不規則性の度合いは、物体が空間を占める効率に対応していた。単純なユークリッドの一次元の線は、全く空間を占めない。しかし、コッホ曲線の輪郭は、無限の長さが有限の面積に押し込まれることで、空間を占める。これは単なる線以上のものであり、平面未満である。一次元よりも大きく、二次元の形よりも小さい。20世紀初頭の数学者たちが考案し、その後ほとんど忘れ去られた技法を用いて、マンデルブロは分数次元を正確に特徴づけることができた。コッホ曲線の場合、無限に延長された4/3の乗算は、1.2618の次元を与える。 穴を持つ構築物。20世紀初頭の数人の数学者は、無限に多くの部分を加えたり取り除いたりする技術によって、怪物のような形状を考案した。その一例がシェルピンスキーのカーペットで、正方形の中心の1/9を切り取り、残った8つの小さな正方形の中心を切り抜き、さらにその繰り返しを行うことで構成される。三次元の類似物はメンガーのスポンジで、見た目は固体の格子状でありながら、無限の表面積を持ちながら体積はゼロである。この道を追求する中で、マンデルブロは、こうした形状について考えた他の数少ない数学者たちに対して二つの大きな利点を持っていた。一つは、IBMという名のコンピュータ資源へのアクセスである。ここには、コンピュータの特有の高速な計算能力に理想的に適した別の作業があった。気象学者が大気中の数百万の隣接点で同じ数少ない計算を行う必要があるのと同様に、マンデルブロも簡単にプログラムできる変換を何度も何度も繰り返す必要があった。独創性は変換を考案できたが、コンピュータはそれを描くことができた—時には予期しない結果を伴って。20世紀初頭の数学者たちは、顕微鏡のない初期の原生物学者が直面したのと同様の、厳しい計算の壁にすぐにぶつかった。 より細かな詳細の宇宙を探求する中で、想像力には限界があります。マンデルブロットの言葉を借りれば、「手と鉛筆、定規が疲れ果ててしまったため、数学において描画が果たす役割は、100年もの長い間、存在しませんでした。それらは十分に理解されており、もはや最前線にはいなかった。そして、コンピュータも存在しなかったのです。私がこの世界に入ったとき、直感はまったく欠如していました。直感をゼロから創造しなければなりませんでした。通常の道具、つまり手、鉛筆、定規によって訓練された直感は、これらの形を非常に怪物じみていて病的だと感じました。古い直感は誤解を招くものでした。最初の画像は私にとって驚きでした。その後、以前の画像からいくつかの画像を認識するようになり、次第にそうなっていきました。『直感は与えられるものではありません。私は、最初は不条理だと拒絶された形を明白なものとして受け入れるように、自分の直感を訓練しました。そして、他の誰もが同じことができると感じています。』」 マンデルブロットのもう一つの利点は、彼が綿花の価格、電子伝送ノイズ、河川の洪水との出会いを通じて形成し始めた現実のイメージでした。そのイメージは今、焦点を結び始めていました。自然のプロセスにおける不規則なパターンの研究と、無限に複雑な形の探求には知的な交差点がありました。それは自己相似性という特質です。何よりも、フラクタルは自己相似を意味しました。自己相似性は、チャートや河川チャートにおける対称性であり、これらはより細かなスケールで詳細を生み出すだけでなく、特定の一定の測定値を持つ詳細も生み出しました。コッホ曲線のような怪物じみた形は、拡大しても全く同じに見えるため、自己相似性を示しています。自己相似性は、曲線を構築する技術に組み込まれており、同じ変換がより小さなスケールで繰り返されます。自己相似性は容易に認識できる特質です。そのイメージは文化の至る所に存在します。例えば、二つの鏡の間に立つ人の無限に深い反射や、小さな魚がさらに小さな魚を食べ、その小さな魚がまたさらに小さな魚を食べるという漫画的な概念などです。マンデルブロットはジョナサン・スウィフトの言葉を引用するのが好きです。「自然主義者は観察する、ノミは/ 彼に寄生する小さなノミを持ち、/ そしてそれらは彼らを噛む小さなノミを持ち、/ そうして無限に続く。」 アメリカ北東部では、地震を研究するのに最適な場所は、ニューヨーク州南部の森の中に隠れた地味な建物群であるラモント・ドハティ地球物理学観測所です。ラモント・ドハティは、コロンビア大学の教授で、固体地球の形と構造を専門とするクリストファー・ショルツが、フラクタルについて考え始めた場所です。数学者や理論物理学者がマンデルブロットの研究を無視していた一方で、ショルツはフラクタル幾何学の道具を手に取る準備が最も整った、実践的な科学者の一人でした。 彼は1960年代にベノワ・マンデルブロの名前を偶然見つけた。当時、マンデルブロは経済学の分野で働いており、ショルツは地震に関する難解な問題に多くの時間を費やしていたM.I.T.の大学院生だった。大きな地震と小さな地震の分布が特定の数学的パターンに従っていることは、20年前から広く知られていた。そのパターンは、自由市場経済における個人所得の分布を支配しているように見える、まさに同じスケーリングパターンだった。この分布は、地震が計測される場所であればどこでも観察されていた。地震がそれ以外は不規則で予測不可能であることを考えると、この規則性を説明する物理的プロセスは何かを問う価値があるように思えた。ショルツにはそう思えた。ほとんどの地震学者は、その事実を認識して満足し、次に進んでいた。ショルツはマンデルブロの名前を覚えており、1978年に『フラクタル：形、偶然、次元』という、豊富なイラストと奇妙に教養のある数式が散りばめられた本を購入した。それは、マンデルブロが宇宙について知っていることや疑っていることをすべて集めた、長大な一冊のようだった。数年のうちに、この本とその拡張版である『自然のフラクタル幾何学』は、高度な数学の書籍の中で最も多くの部数を売り上げた。そのスタイルは難解で苛立たしく、時には機知に富み、文学的で、また時には不明瞭だった。マンデルブロ自身はこれを「マニフェストであり、ケースブックである」と呼んだ。特に自然の物質的な部分に取り組む科学者たちの中で、ショルツは数年をかけてこの本をどう活用するかを考え続けた。それは明らかではなかった。フラクタルは、ショルツが言うように「使い方を教える本ではなく、驚きを与える本」だった。しかし、ショルツは表面に深い関心を持っており、この本には表面が至る所に存在していた。彼はマンデルブロのアイデアの可能性について考え続けることをやめられないことに気づいた。彼はフラクタルを使って、自分の科学的世界の断片を記述し、分類し、測定する方法を考え始めた。彼はすぐに自分だけではないことに気づいたが、フラクタルに関する会議やセミナーが増え始めるまでにはさらに数年かかった。フラクタル幾何学の統一的なアイデアは、自分の観察が特異であると考えている科学者たちを結びつけ、彼らにはそれを理解する体系的な方法がなかった。フラクタル幾何学の洞察は、物事がどのように融合し、どのように分岐し、またどのように崩壊するかを研究する科学者たちを助けた。それは、材料を見るための方法であり、金属の微細にギザギザした表面、孔の開いた油を含む岩石の小さな穴やチャンネル、地震帯の断片化した風景を含む。ショルツの見解では、地球物理学者の仕事は地球の表面を記述することであり、その表面は平坦な海洋と交わり、海岸線を形成する。固体地球の上部には、別の種類の表面、すなわち亀裂の表面が存在する。断層やひび割れは、地球の表面の構造を支配している。 彼らは良い描写の鍵となり、流れる物質よりもバランスの上で重要です。亀裂は地球の表面を三次元で交差し、シュルツが気まぐれに「シュチゾスフィア」と呼んだものを作り出します。これらの亀裂は、地中の流体の流れ—水の流れ、石油の流れ、天然ガスの流れ—を制御します。また、地震の挙動も制御します。表面を理解することは極めて重要でしたが、シュルツは自分の職業が困難な状況にあると考えていました。実際には、明確な枠組みが存在しませんでした。地球物理学者たちは、表面を誰もが見るように、形として捉えていました。表面は平らかもしれませんし、特定の形を持っているかもしれません。たとえば、フォルクスワーゲン・ビートルの輪郭を見て、その表面を曲線として描くことができます。その曲線は、馴染みのあるユークリッド的な方法で測定可能です。方程式を当てはめることもできます。しかし、シュルツの説明では、あなたはその表面を狭いスペクトルバンドを通してしか見ていないことになります。それは、赤いフィルターを通して宇宙を見るようなもので、特定の波長の光で何が起こっているかは見えますが、他の色の波長で起こっているすべてのことは見逃してしまいます。赤外線や電波に対応するスペクトルの部分での広範な活動は言うまでもありません。このアナロジーにおいて、スペクトルはスケールに対応します。フォルクスワーゲンの表面をユークリッド的な形状で考えることは、10メートルまたは100メートル離れた観察者のスケールでしか見ることができないということです。1キロメートル離れた観察者はどうでしょうか？あるいは100キロメートル離れた観察者は？1ミリメートル離れた観察者や1マイクロメートル離れた観察者はどうでしょうか？宇宙から100キロメートル離れたところから地球の表面をトレースすることを想像してみてください。その線は、木々や小山、建物、そしてどこかの駐車場にあるフォルクスワーゲンの上を上下します。そのスケールでは、表面は多くの他の隆起の中の一つの隆起に過ぎず、少しのランダムさを持っています。また、フォルクスワーゲンをより近くから、拡大鏡や顕微鏡でズームインして見ることを想像してみてください。最初は表面が滑らかになっていくように見えますが、バンパーやボンネットの丸みが視界から外れると、鋼の微細な表面は実際にはランダムに見える凹凸を持っていることがわかります。それは混沌としているように見えます。シュルツは、フラクタル幾何学が地球の表面の特有の凹凸を記述する強力な方法を提供することを発見し、冶金学者たちもさまざまな種類の鋼の表面に対して同じことを見出しました。たとえば、金属の表面のフラクタル次元は、その金属の強度に対応する情報を提供することがよくあります。そして、地球の表面のフラクタル次元も、その重要な特性に関する手がかりを提供します。シュルツは、古典的な地質構造である山の斜面の礫岩斜面について考えました。遠くから見ると、それはユークリッド的な形状、すなわち次元2です。しかし、地質学者が近づくと、彼はそれを歩くのではなく、その中を歩いていることに気づきます—礫岩は車のサイズの岩に解消されているのです。 その効果的な次元は約2.7になりました。なぜなら、岩の表面がフックのように引っかかり、巻きついて、三次元空間をほぼ満たすからです。これはスポンジの表面のようです。フラクタルの記述は、互いに接触する表面の特性に関連する一連の問題に即座に応用されました。タイヤのトレッドとコンクリートの接触はその一例です。機械のジョイントや電気接触も同様です。表面間の接触は、関与する材料とは独立した特性を持っています。それらは、突起が重なり合うフラクタルの特性に依存することがわかります。表面のフラクタル幾何学の一つのシンプルでありながら強力な結果は、接触している表面がどこでも触れ合っているわけではないということです。あらゆるスケールでの凹凸がそれを妨げます。巨大な圧力下にある岩でも、十分に小さなスケールでは隙間が残っており、流体が流れることが明らかになります。ショルツにとって、それは「ハンプティ・ダンプティ効果」と呼ばれるものです。壊れたティーカップの二つの破片が、粗いスケールでは合うように見えても、再び結合することができない理由です。小さなスケールでは、不規則な突起が一致しないのです。ショルツは、自分の分野でフラクタル技術を取り入れた数少ない人物の一人として知られるようになりました。彼は、同僚の中にはこの小さなグループを奇異な存在と見なす者もいることを知っていました。論文のタイトルに「フラクタル」という言葉を使うと、彼は自分が賞賛されるべき最新の研究者として見られるか、あるいはあまり賞賛されない流行に乗っていると見なされるのではないかと感じていました。論文を書くことさえも、フラクタル愛好者の小さな聴衆のために書くか、基本的な概念の説明が必要なより広い地球物理学の聴衆のために書くかという難しい決断を強いられました。それでも、ショルツはフラクタル幾何学のツールを不可欠だと考えていました。「これは、地球の変化する次元の範囲に対処するための単一のモデルです」と彼は言いました。「数学的および幾何学的なツールを提供し、予測を行うことができます。一度ハードルを越えて、パラダイムを理解すれば、実際に物事を測定したり、新しい視点で考えたりすることができるようになります。物事が異なって見えるようになります。新しいビジョンを持つことができるのです。それは古いビジョンとはまったく異なり、はるかに広いのです。」「それはどれくらい大きいのか？どれくらい持続するのか？」これらは科学者が物事について尋ねる最も基本的な質問です。人々が世界を概念化する方法にとって非常に基本的であるため、これらの質問が特定のバイアスを含んでいることに気づくのは容易ではありません。これらは、サイズや持続時間、スケールに依存する特性が意味を持ち、物体を説明したり分類したりするのに役立つ特性であることを示唆しています。生物学者が人間を説明したり、物理学者がクォークを説明したりする際に、「どれくらい大きいか」「どれくらい長いか」という質問は確かに適切です。動物はその粗い物理構造において特定のスケールに非常に密接に結びついています。人間をそのサイズの2倍に拡大し、すべての比率を同じに保つと、骨がその重さに耐えられず崩壊する構造を想像します。スケールは重要です。 地震の挙動に関する物理学は、スケールにほとんど依存しません。大きな地震は、小さな地震のスケールアップ版に過ぎません。これは、動物とは異なる点です。たとえば、10インチの動物は1インチの動物とはかなり異なる構造を持たなければならず、100インチの動物はさらに異なる構造が必要です。そうしないと、増加した質量によって骨が折れてしまいます。一方、雲は地震のようにスケーリング現象です。雲の特徴的な不規則性は、フラクタル次元で表現でき、異なるスケールで観察しても全く変わりません。これが、空の旅をする人々が雲との距離感を失う理由です。ぼんやりとした視覚的手がかりがなければ、20フィート離れた雲は2000フィート離れた雲と区別がつかないことがあります。実際、衛星写真の分析では、数百マイル離れた場所から観察された雲において不変のフラクタル次元が示されています。物事をその大きさや持続時間で考える習慣を捨てるのは難しいですが、フラクタル幾何学の主張は、自然の一部の要素においては、特定のスケールを探すことが気を散らす要因になるということです。 ハリケーンは、定義上、特定のサイズの嵐です。しかし、その定義は人間が自然に対して課したものです。実際、気象学者たちは、大気中の乱れが、都市の街角でのごみの渦巻きから、宇宙から見える広大なサイクロンシステムまでの連続体を形成していることに気づき始めています。カテゴリーは誤解を招きます。連続体の両端は中央と一体です。流体の流れの方程式は、多くの文脈において無次元であり、スケールに関係なく適用されることがあります。縮小された飛行機の翼や船のプロペラは、風洞や実験室の水槽でテストできます。また、いくつかの制限はあるものの、小さな嵐は大きな嵐のように振る舞います。 血管は、大動脈から毛細血管まで、別の種類の連続体を形成しています。血管は分岐し、再び分岐し、さらに分岐していき、最終的には血液細胞が一列に並んで通過しなければならないほど狭くなります。その分岐の性質はフラクタルです。彼らの構造は、マンデルブロの世紀の変わり目の数学者たちが考案した巨大な想像上の物体の一つに似ています。生理学的な必要性から、血管は少しの次元の魔法を行わなければなりません。たとえば、コッホ曲線が無限の長さの線を小さな面積に押し込むように、循環系は限られた体積に巨大な表面積を押し込まなければなりません。体の資源に関して言えば、血液は高価であり、スペースは貴重です。自然が考案したフラクタル構造は非常に効率的に機能しており、ほとんどの組織では、細胞は血管から3～4細胞以上離れていることはありません。それでも、血管と血液はわずか5％程度のスペースしか占めていません。マンデルブロが言ったように、それは「ヴェニスの商人症候群」です。肉1ポンドを取ることは血を流さずにはできませんし、1ミリグラムを取ることもできません。 この精緻な構造は、実際には血管と動脈の二本の絡み合った樹木のようなものであり、特別なものではありません。体はこのような複雑さに満ちています。消化管では、組織がうねりを持つ層を形成しています。肺もまた、できるだけ小さな空間に最大限の表面積を詰め込む必要があります。動物が酸素を吸収する能力は、肺の表面積にほぼ比例します。典型的な人間の肺は、テニスコートよりも大きな表面積を持っています。さらに複雑なことに、気管の迷路は動脈や静脈と効率的に合流しなければなりません。すべての医学生は、肺が巨大な表面積を持つように設計されていることを知っています。しかし、解剖学者は一度に一つのスケールを見るように訓練されています。たとえば、分岐した管の末端にある数百万の肺胞という微小な袋を観察します。解剖学の言語は、スケール間の統一性を曖昧にする傾向があります。それに対して、フラクタルアプローチは、構造全体をそれを生み出す分岐の観点から捉え、大きなスケールから小さなスケールまで一貫して振る舞う分岐を受け入れます。解剖学者は血管系を、サイズに基づいて動脈や細動脈、静脈や細静脈に分類して研究します。ある目的には、その分類が有用ですが、他の目的には誤解を招くことがあります。時には教科書的なアプローチが真実を回避しているように思えることもあります。「あるタイプの動脈から別のタイプへの徐々の移行において、中間領域を分類するのが難しいことがあります。中間の口径の動脈の中には、大きな動脈を示唆する壁を持つものもあれば、中くらいの動脈の壁のようなものを持つ大きな動脈もあります。移行領域は...しばしば混合型の動脈と呼ばれます。」 すぐには起こりませんでしたが、マンデルブロが生理学的な考察を発表してから10年後、いくつかの理論生物学者たちが体全体の構造を制御するフラクタルの組織を発見し始めました。気管支の分岐に関する標準的な「指数関数的」な説明は、実際にはかなり間違っていることが判明しました。フラクタルの説明がデータに適合することが分かりました。尿路の集合系もフラクタルでした。肝臓の胆管もそうです。心臓の収縮する筋肉に電流のパルスを送る特別な繊維のネットワークもフラクタルです。この最後の構造は、心臓専門医によってヒス・プルキンエネットワークとして知られ、特に重要な研究の方向性を刺激しました。健康な心臓と異常な心臓に関するかなりの研究は、左心室と右心室の筋肉細胞がどのようにタイミングを調整しているかの詳細に依存していることが分かりました。いくつかのカオス理論に関心を持つ心臓病専門医たちは、心拍のタイミングの周波数スペクトルが地震や経済現象のようにフラクタルの法則に従っていることを発見し、心拍のタイミングを理解するための鍵はヒス・プルキンエネットワークのフラクタル組織にあると主張しました。このネットワークは、より小さなスケールで自己相似的に構成された分岐した経路の迷路です。自然はどのようにしてこんなに複雑な構造を進化させることができたのでしょうか？ マンデルブロの指摘は、複雑さが伝統的なユークリッド幾何学の文脈においてのみ存在するということです。フラクタルとして、分岐構造はわずかな情報で透明な簡潔さで説明できます。コッホ、ペアノ、シェルピンスキーによって考案された形状を生み出す単純な変換は、生物の遺伝子のコーディングされた指示に類似しているかもしれません。DNAは、気管支、細気管支、肺胞の膨大な数や、結果として得られる樹木の特定の空間構造を指定することはできませんが、分岐と発展の繰り返しのプロセスを指定することはできます。このようなプロセスは自然の目的に適しています。E.I.デュポン・ド・ネムール社とアメリカ陸軍がついに合成のダウンに匹敵する製品を生産し始めたのは、自然の製品が持つ驚異的な空気捕獲能力が、ダウンの重要なタンパク質であるケラチンのフラクタルノードと枝から来ていることをようやく理解したからです。マンデルブロは、肺や血管の樹木から、太陽を捕らえ風に耐える必要がある実際の植物の樹木、フラクタルの枝とフラクタルの葉を持つ樹木へと、あっさりと移行しました。そして理論生物学者たちは、フラクタルスケーリングが形態形成において一般的であるだけでなく普遍的であると推測し始めました。彼らは、そのようなパターンがどのようにコーディングされ、処理されるかを理解することが生物学にとって大きな課題になっていると主張しました。「私は科学のゴミ箱の中でそのような現象を探し始めました。なぜなら、私が観察しているものは例外ではなく、非常に広範囲にわたるのではないかと疑っていたからです。私は講義に参加し、あまり注目されていない雑誌を探しましたが、ほとんどは成果がほとんどないものでした。しかし時折、興味深いものを見つけることができました。ある意味では、それは自然主義者のアプローチであり、理論家のアプローチではありませんでした。しかし、私の賭けは成功しました。」 自然と数学の歴史に関するアイデアを一冊の本にまとめたマンデルブロは、思いがけない学問的成功を収めました。彼は科学講演のサーキットの常連となり、欠かせないカラー・スライドのトレイとふわふわした白髪で知られるようになりました。彼は賞やその他の専門的な栄誉を受け始め、彼の名前は一般の人々にとっても数学者の中で最もよく知られるものとなりました。その一因は、彼のフラクタル画像の美的魅力にあり、また一因は、数千人のマイクロコンピュータを持つ趣味人たちが自ら彼の世界を探求し始めたことにあります。そして、彼自身が前面に出たことも一因です。彼の名前は、ハーバード大学の科学史家I.バーナード・コーエンによって編纂された小さなリストに載りました。コーエンは、科学者たちが自らの研究を「革命」と宣言した事例を探し続け、数年にわたり発見の記録を調べてきました。彼が見つけたのは、合計でたったの16人でした。ベンジャミン・フランクリンの同時代人で、電気に関するアイデアが確かに過激だったスコットランドのロバート・シンマー。フランス革命における彼の血なまぐさい貢献でのみ知られるジャン＝ポール・マラ。フォン・リービッヒ、ハミルトン、もちろんチャールズ・ダーウィン、ビルヒョー、カントール、アインシュタイン、ミンコフスキー、フォン・ラウエ。 アルフレッド・ウェゲナー—大陸移動説。コンプトン。ジャスト。ジェームズ・ワトソン—DNAの構造。そしてブノワ・マンデルブロ。純粋数学者にとって、マンデルブロは依然として外部者であり、科学の政治に対して激しく対立していた。彼の成功の絶頂期には、歴史における自らの位置に異常なまでに執着していると考える同僚たちから非難されることもあった。彼らは、彼が適切な評価を与えるようにと彼らを責め立てていると言った。間違いなく、彼はプロの異端者としての年月の中で、科学的成果の本質だけでなく、その戦術に対する理解を深めていった。時には、フラクタル幾何学のアイデアを使用した記事が発表されると、彼は著者に電話をかけたり手紙を書いたりして、自分や自著への言及がなかったことに不満を述べた。彼の支持者たちは、彼が自らの業績を認められるために克服してきた困難を考慮し、彼のエゴを許しやすいと感じていた。「もちろん、彼は少し自己中心的で、驚くべきエゴを持っているが、彼が作り出すものは素晴らしいので、多くの人は彼を許している」と一人が言った。別の人の言葉を借りれば、「彼は同僚の数学者たちとの間で多くの困難を抱えていたので、生き残るためには自分のエゴを高める戦略を発展させなければならなかった。もし彼がそうしなかったら、自分が正しいビジョンを持っていると確信していなかったら、彼は決して成功しなかっただろう。」 科学における評価の取り合いは、時に執着的になることがある。マンデルブロはその両方を行っていた。彼の著書は一人称で響いている。「私は主張する...私は考案し、発展させ...実施し...確認した...私は示す...私は造語した...」新たに開かれた、あるいは新たに定住した領域を旅する中で、私はその地の名所に名前を付ける権利を行使することにしばしば感動した。このようなスタイルを評価しない科学者も多かった。また、彼が前任者たちへの言及も豊富であったことに対しても、彼らは納得しなかった（そして、彼の批判者たちが指摘したように、すべての前任者はすでに安全に故人となっていた）。彼らは、彼が自らを中心に位置づけようとしているだけだと考え、教皇のようにフィールドの片側からもう片側に祝福を投げかけていると感じた。彼らは反撃した。科学者たちは「フラクタル」という言葉を避けることはできなかったが、マンデルブロの名前を避けたい場合は、分数次元をハウスドルフ・ベジコビッチ次元として語ることができた。また、特に数学者たちは、彼が異なる分野に出入りし、自らの主張や推測を行い、それを証明する実際の作業を他者に任せるやり方に対して不満を抱いていた。それは正当な疑問だった。一人の科学者がある事柄が恐らく真実であると発表し、別の科学者がそれを厳密に証明した場合、どちらが科学の進展により貢献したのか？推測を立てることは発見の行為なのか？それとも単なる冷酷な権利の主張に過ぎないのか？数学者たちは常にこのような問題に直面してきたが、コンピュータが新たな役割を果たし始めるにつれて、その議論はより激化した。 コンピュータを使って実験を行った人々は、従来の数学論文の定理と証明に従うことなく発見を可能にするルールのもとで、まるで実験室の科学者のようになっていきました。マンデルブロの著書は幅広い内容で、数学の歴史に関する細かい情報が詰まっていました。混沌が導く先々で、マンデルブロは自分が最初にそこにいたと主張する根拠を持っていました。多くの読者が彼の引用を難解または無用だと感じたとしても、それはあまり重要ではありませんでした。彼は、実際には学んだことのない分野、地震学から生理学に至るまでの進展の方向性に対する驚異的な直感を認めざるを得ませんでした。それは時に不気味で、時に苛立たしいものでした。彼を称賛する者でさえ、「マンデルブロはみんなの考えを彼らが考える前に持っていたわけではない」と苛立ちをあらわにしました。 それはあまり重要ではありません。天才の顔は常にアインシュタインのような聖人の表情をしている必要はありません。しかし、マンデルブロは数十年にわたり、自身の仕事においてゲームをしなければならなかったと信じています。彼は独自のアイデアを攻撃的でない言葉で表現しなければならず、記事を発表するためにビジョナリーな前書きを削除しなければなりませんでした。彼が1975年にフランス語で出版した本の初版を書いたとき、彼はあまり驚くべき内容を含んでいないふりを強いられていると感じました。そのため、彼は最新の版を「マニフェストとケースブック」として明示的に書いたのです。彼は科学の政治に対処していました。 ニュートン法の複雑な境界。四つの暗い穴に引き寄せられる四つの点が「引力の盆地」を作り出し、それぞれ異なる色を持ち、複雑なフラクタルの境界を形成します。この画像は、ニュートン法が異なる出発点から四つの可能な解の一つ（この場合の方程式はx^4-1=0）に導く様子を表しています。 フラクタルクラスター。コンピュータによって生成された粒子のランダムな集まりは「浸透ネットワーク」を生み出し、フラクタル幾何学に触発された多くの視覚モデルの一つです。応用物理学者たちは、このようなモデルがポリマーの形成や、破砕岩を通る油の拡散など、さまざまな現実のプロセスを模倣することを発見しました。浸透ネットワークの各色は、全体に接続されたグループを表しています。 大赤斑：実際とシミュレーション。ボイジャー衛星は、木星の表面がうねり、激しい流体であることを明らかにし、東西の流れの横バンドを持っています。大赤斑は、惑星の赤道上からも、南極を見下ろす視点からも見ることができます。フィリップ・マーカスのシミュレーションによるコンピュータグラフィックスは、南極の視点を示しています。色は特定の流体の回転方向を示しており、反時計回りに回転している部分は赤、時計回りに回転している部分は青です。どんな出発構成であっても、青い塊は崩れやすく、赤は周囲の混乱の中で安定して一つのスポットに合体する傾向があります。「その政治は、私が後に後悔することになるスタイルに影響を与えました。」 私は「自然に...」「興味深い観察として...」と言っていました。しかし実際には、それは全く自然なことではなく、興味深い観察も非常に長い調査や証拠の探求、自己批判の結果でした。私はそれを受け入れてもらうために、哲学的で距離を置いた態度が必要だと感じました。政治的な側面としては、「私は根本的な変化を提案しています」と言ったら、読者の関心が途絶えてしまうだろうということがありました。「後になって、私は『自然に観察することができる』というような反応を受け取りましたが、それは私が期待していたものではありませんでした。」 振り返ってみると、マンデルブロはさまざまな分野の科学者たちが彼のアプローチに対して悲しいほど予測可能な段階で反応したことに気づきました。最初の段階はいつも同じでした。「あなたは誰で、なぜ私たちの分野に興味があるのですか？」次に、「それは私たちがやっていることとどう関係があるのですか？なぜ私たちが知っていることに基づいて説明しないのですか？」第三に、「それは標準的な数学ですか？」（はい、確かです。）「それなら、なぜ私たちはそれを知らないのですか？」（それは標準的ですが非常に難解だからです。） 数学は物理学や他の応用科学とはこの点で異なります。物理学の一分野は、一度時代遅れや非生産的になると、永遠に過去の一部となる傾向があります。それは歴史的な好奇心かもしれませんし、現代の科学者にとってのインスピレーションの源かもしれませんが、死んだ物理学は通常、良い理由があって死んでいます。それに対して数学は、ある時代には行き止まりに見える道や小道が、別の時代には主要な研究分野になることがあるのです。純粋な思考の一片の潜在的な応用は予測できません。だからこそ、数学者たちは作品を美的な観点から評価し、芸術家のように優雅さや美しさを求めるのです。また、マンデルブロが古典的な視点で多くの良い数学を発見したのも、そのためです。 そして第四の段階はこうでした。「これらの数学の分野の人々はあなたの仕事についてどう思っていますか？」（彼らは気にしません、なぜならそれは数学に貢献しないからです。実際、彼らは自分たちのアイデアが自然を表していることに驚いています。） 最終的に、フラクタルという言葉は、不規則で断片的、ギザギザで壊れた形状を記述し、計算し、考える方法を表すようになりました。雪の結晶の曲線から銀河の不連続な塵まで、フラクタル曲線はそのような形状の中に隠れた組織構造を示唆しています。高校生でもフラクタルを理解し、遊ぶことができました。それはユークリッドの要素と同じくらい基本的なものでした。フラクタルの画像を描くためのシンプルなコンピュータプログラムは、パーソナルコンピュータの愛好者の間で広まりました。マンデルブロは、特に企業の研究センターで石油や岩、金属を扱う応用科学者たちの間で最も熱心に受け入れられました。1980年代の中頃には、例えばエクソンの巨大な研究施設で、多くの科学者がフラクタルの問題に取り組んでいました。 ゼネラル・エレクトリックでは、フラクタルがポリマーの研究における組織原理となり、また秘密裏に行われた作業では原子炉の安全性に関する問題にも応用されました。ハリウッドでは、フラクタルが映画の特殊効果において、地球上の風景や宇宙の風景を非常にリアルに創造するための最もユーモラスな応用を見出しました。1970年代初頭にロバート・メイやジェームズ・ヨークが発見した、秩序と混沌の間にある複雑な境界を持つパターンには、意外な規則性があり、大きなスケールと小さなスケールの関係でしか説明できませんでした。非線形ダイナミクスの鍵となる構造はフラクタルであることが証明されました。そして、最も直接的な実用的なレベルでは、フラクタル幾何学は物理学者、化学者、地震学者、冶金学者、確率論者、生理学者によって利用される一連のツールを提供しました。これらの研究者たちは、マンデルブロの新しい幾何学が自然そのものであると確信し、他の人々にもそれを納得させようとしました。彼らは伝統的な数学や物理学に対して否定できない影響を与えましたが、マンデルブロ自身はそのコミュニティから完全な尊敬を得ることはありませんでした。それでも、彼らは彼を認めざるを得ませんでした。ある数学者は友人に、ある夜、悪夢から目覚めて震えていたと語りました。その夢の中で、数学者は死んでいて、突然神の unmistakableな声を聞きました。「君は知っているだろう」と神は言いました。「実際、あのマンデルブロには何かがあったんだ。」 自己相似性の概念は、私たちの文化に古くからある響きを持っています。西洋思想の古い流れはこのアイデアを称賛します。ライプニッツは、水滴の中に全宇宙が詰まっていると想像し、その中には水滴や新しい宇宙が含まれていると考えました。「砂の一粒の中に世界を見る」とブレイクは書き、科学者たちはしばしばそれを見ようとしました。精子が初めて発見されたとき、各精子は人間の小さなホムンクルスであると考えられていました。しかし、自己相似性は科学的原則としては衰退しました。なぜなら、それは事実に合わなかったからです。精子は単に縮小された人間ではなく、それ以上に興味深い存在であり、個体発生の過程は単なる拡大以上に興味深いものでした。自己相似性を組織原理として捉えた初期の感覚は、人間のスケールの経験に対する制限から来ていました。非常に大きなものや非常に小さなもの、非常に速いものや非常に遅いものを、既知のものの延長として想像する以外にどうすればよいのでしょうか。この神話は、望遠鏡や顕微鏡によって人間の視野が広がるにつれて、なかなか消えませんでした。最初の発見は、スケールの変化が新しい現象や新しい行動の種類をもたらすことを実感するものでした。現代の素粒子物理学者にとって、このプロセスは終わることがありません。エネルギーと速度が増加する新しい加速器は、科学の視野をより小さな粒子やより短い時間スケールに拡張し、すべての拡張が新しい情報をもたらすようです。一見すると、新しいスケールでの一貫性のアイデアは、情報を提供する量が少ないように思えます。 その一因は、科学における平行した傾向が還元主義に向かっているからです。科学者たちは物事を分解し、一つずつ観察します。もし彼らが亜原子粒子の相互作用を調べたいと思ったら、二つか三つを一緒にします。それでも複雑さは十分にあります。しかし、自己相似性の力は、はるかに高いレベルの複雑さから始まります。それは全体を見渡すことに関わるのです。マンデルブロがそれを最も包括的に幾何学的に利用したとはいえ、1960年代と1970年代に科学に戻ってきたスケーリングのアイデアは、多くの場所で同時に感じられる知的潮流となりました。自己相似性はエドワード・ローレンツの研究に暗黙的に含まれていました。彼の方程式系によって作られた地図の微細構造に対する直感的な理解の一部であり、彼はそれを感じることはできても、1963年に利用可能なコンピュータでは見ることができませんでした。スケーリングはまた、マンデルブロの研究よりも直接的に、カオスとして知られる分野への動きの一部となりました。遠く離れた分野でも、科学者たちは進化生物学のように、スケールの階層を用いた理論について考え始めていました。そこでは、完全な理論が遺伝子、個体、種、そして種の系統における発展のパターンを一度に認識しなければならないことが明らかになりました。皮肉なことに、スケーリング現象の評価は、以前の素朴な自己相似性のアイデアを打ち砕いた人間の視野の拡大から来たに違いありません。20世紀後半には、かつて考えられなかった方法で、理解を超えた小さなものと想像を超えた大きなもののイメージが誰もが体験する一部となりました。文化は銀河や原子の写真を目にしました。誰もライプニッツのように、微視的または望遠鏡的なスケールで宇宙がどのようなものかを想像する必要はありませんでした—顕微鏡や望遠鏡がそれらのイメージを日常的な体験の一部にしました。経験の中で類似点を見つけようとする心の熱意を考えると、大きなものと小さなものの間の新しい比較が避けられないものであり、その中には生産的なものもありました。フラクタル幾何学に惹かれた科学者たちは、彼らの新しい数学的美学と、世紀の後半における芸術の変化との間に感情的な類似性を感じることが多かったのです。彼らは、自分たちが広い文化から内なる熱意を引き出していると感じていました。マンデルブロにとって、数学以外のユークリッド的感性の典型はバウハウスの建築でした。それは、ヨーゼフ・アルバースの色の四角形によって最もよく表現される絵画のスタイルでもあり得ました：簡素で、秩序立っており、線形で、還元主義的で、幾何学的です。幾何学的—この言葉は何千年も前から意味してきたことを意味します。幾何学的と呼ばれる建物は、単純な形状、直線、円から構成されており、わずか数つの数字で記述できます。幾何学的な建築や絵画の流行は、来ては去りました。建築家たちは、かつては高く評価され模倣されたニューヨークのセグラムビルのようなブロック状の高層ビルを建てることに興味を示さなくなりました。 マンデルブロと彼の支持者たちにとって、その理由は明白です。単純な形は人間らしくありません。それは自然が自己を組織する方法や、人間の知覚が世界を捉える方法と共鳴しないのです。ドイツの物理学者ゲルト・アイレンベルガーの言葉を借りれば、彼は超伝導に特化した後に非線形科学に取り組みましたが、「冬の夕空に対して風に曲がった葉のない木のシルエットが美しいと感じられるのはなぜか、しかし、どんなに建築家が努力しても、同じシルエットの多目的大学ビルは美しいとは見なされないのか？」という疑問を投げかけます。私にはその答えは、たとえやや推測的であっても、動的システムに関する新しい洞察から導かれるように思えます。私たちの美しさに対する感覚は、自然物に見られる秩序と無秩序の調和の取れた配置からインスパイアされているのです。雲、木々、山脈、雪の結晶など、これらすべての形は物理的な形に凝縮された動的プロセスであり、特定の秩序と無秩序の組み合わせがそれらに特有です。 幾何学的な形にはスケール、つまり特有のサイズがあります。マンデルブロにとって、満足を与える芸術はスケールを欠いています。これは、すべてのサイズにおいて重要な要素を含んでいるという意味です。彼はセグラムビルディングに対して、彫刻やガーゴイル、コーナーストーンやジャムストーン、装飾的なカルトゥーシュ、シノーとデンティルで飾られたコーニスを持つボザール様式の建築を提案します。パリオペラ座のようなボザールの典型は、すべてのスケールを持っているため、スケールを欠いています。どの距離からその建物を見ても、目を引く詳細が見つかります。近づくにつれて構成が変わり、構造の新しい要素が現れます。どんな建築の調和の取れた構造を評価することと、自然の野生さを称賛することはまったく異なることです。美的価値の観点から、フラクタル幾何学の新しい数学は、科学を未開で文明化されていない自然に対する特有の現代的な感覚と調和させました。 かつて熱帯雨林、砂漠、低木地帯、荒地は、社会が征服しようとしたすべてを象徴していました。人々が植物から美的満足を求めるとき、彼らは庭を見ました。ジョン・フォウルズが18世紀のイングランドについて書いたように、「この時代は、無規制の原始的な自然に対して同情を示しませんでした。それは攻撃的な荒野であり、堕落の醜く侵入的な思い出であり、人間がエデンの園から永遠に追放されたことを思い起こさせるものでした……自然科学でさえも、野生の自然に対して本質的に敵対的であり、それを飼いならし、分類し、利用し、搾取するものとしてしか見ていませんでした。」20世紀の終わりまでに文化は変わり、科学もそれに伴って変わりつつありました。したがって、科学はカントール集合やコッホ曲線の曖昧で幻想的な親戚に対して、結局は利用法を見出したのです。 最初、これらの形状は、20世紀の初めにおける数学と物理科学の間の離婚手続きにおける証拠の一部として機能していたかもしれません。これは、ニュートン以来、科学の支配的なテーマであった結婚の終焉を意味します。カントールやコッホのような数学者たちは、その独創性を楽しんでいました。彼らは自然を出し抜いていると思っていましたが、実際には自然の創造に追いついていなかったのです。物理学の権威ある主流も、日常の経験の世界から背を向けていました。スティーブ・スマレが数学者たちを動的システムに戻すまで、物理学者が「私たちは天文学者や数学者に感謝しなければならない。彼らは私たち物理学者に、70年前に私たちが彼らに残したよりもずっと良い形でこの分野を引き継いでくれた」と言えるようになるのは、ずっと後のことでした。しかし、スマレやマンデルブロートにもかかわらず、結局は物理学者たちが新しいカオスの科学を作り上げることになりました。マンデルブロートは、自然の驚くべき画像のカタログと不可欠な言語を提供しました。マンデルブロート自身が認めたように、彼のプログラムは説明するよりも、より良く描写していました。彼は自然の要素をフラクタル次元と共に列挙することができました—海岸線、河川網、樹皮、銀河—そして科学者たちはその数値を使って予測を立てることができました。しかし、物理学者たちはもっと知りたがっていました。彼らは「なぜ」を知りたかったのです。自然には、目に見えない形ではなく、動きの織りなす布の中に埋め込まれた形があり、それが明らかにされるのを待っていました。 奇妙なアトラクター 大きな渦は小さな渦を持ち それはその速度を糧にし、 小さな渦はさらに小さな渦を持ち そして粘性へと続いていく。 —ルイス・F・リチャードソン 乱流は由緒ある問題でした。偉大な物理学者たちは皆、形式的または非形式的にこの問題について考えていました。滑らかな流れは渦やエディに分かれます。激しいパターンが流体と固体の境界を乱します。エネルギーは大規模な動きから小さな動きへと急速に移行します。なぜでしょうか？最良のアイデアは数学者から生まれましたが、ほとんどの物理学者にとって、乱流は時間を浪費するにはあまりにも危険なものでした。それはほとんど知ることができないように思えました。量子理論の提唱者であるヴェルナー・ハイゼンベルクが臨終の床で「神に二つの質問をするつもりだ。なぜ相対性理論があり、なぜ乱流があるのか」と宣言したという話があります。ハイゼンベルクは「私は本当に彼が最初の質問に対する答えを持っているかもしれないと思う」と言っています。 理論物理学は乱流の現象と一種の行き詰まりに達していました。実際、科学は地面に線を引き、「この先には進めない」と宣言したのです。その線の近く、流体が秩序正しく振る舞う側には、取り組むべきことがたくさんありました。幸いなことに、滑らかに流れる流体は、ほぼ無限の独立した分子がそれぞれ独立して動くかのようには振る舞いません。むしろ、近くで始まった流体の小片は、馬がハーネスに繋がれているように、近くに留まる傾向があります。エンジニアたちは、流れが穏やかな限り、流れを計算するための実用的な技術を持っています。 彼らは19世紀に遡る知識の体系を利用しています。この時期、液体や気体の動きの理解は物理学の最前線の問題でした。しかし、現代に入ると、それはもはや最前線の問題ではなくなりました。深い理論を追求する物理学者たちにとって、流体力学は天国でも近づくことのできない唯一の謎を除いては、もはや神秘を持たないように思えました。実用的な側面は非常によく理解されており、技術者に任せることができました。物理学者たちは、流体力学はもはや物理学の一部ではなく、単なる工学だと言うでしょう。優秀な若手物理学者たちは、もっと重要なことに取り組むべきだと考えていました。流体力学者は一般的に大学の工学部に所属していました。 乱流に対する実用的な関心は常に前面にあり、その関心は通常一方的です。つまり、乱流を取り除くことです。いくつかの応用においては、乱流は望ましいものであり、例えばジェットエンジンの内部では、効率的な燃焼が迅速な混合に依存しています。しかしほとんどの場合、乱流は災害を意味します。翼の上の乱流は揚力を破壊し、油管内の乱流は驚くべき抵抗を生み出します。航空機、タービンエンジン、プロペラ、潜水艦の船体、そして流体中を移動するその他の形状の設計には、膨大な政府や企業の資金が賭けられています。研究者たちは血管や心臓弁の流れについて心配し、爆発の形状や進化についても懸念しています。渦やエディ、炎や衝撃波についても心配しています。理論的には、第二次世界大戦中の原子爆弾プロジェクトは核物理学の問題でしたが、実際にはプロジェクトが始まる前に核物理学のほとんどは解決されており、ロスアラモスに集まった科学者たちが取り組んでいたのは流体力学の問題でした。 では、乱流とは何でしょうか？それはあらゆるスケールでの無秩序の混沌であり、大きな渦の中に小さなエディが存在します。乱流は不安定であり、非常にエネルギーを消費し、抵抗を生み出します。乱流は運動がランダムになることを意味します。しかし、流れが滑らかから乱流に変わるのはどういうことでしょうか？完全に滑らかなパイプがあり、完全に均一な水源があり、振動から完全に遮断されていると仮定しましょう。そんな流れがどうしてランダムなものを生み出すことができるのでしょうか？すべてのルールが崩れてしまうようです。流れが滑らか、または層流のとき、小さな乱れは消えていきます。しかし、乱流の発生を超えると、乱れは破滅的に成長します。この発生、すなわちこの遷移は、科学における重要な謎となりました。流れの中の岩の下のチャネルは、成長し、分裂し、下流に回転する渦になります。灰皿から立ち上る煙の plume は滑らかに上昇し、臨界速度を超えると急激に乱れます。乱流の発生は実験室の実験で観察され、測定されることができ、新しい翼やプロペラについては風洞実験でテストすることができますが、その本質は依然として捉えどころがありません。伝統的に得られた知識は常に特別なものであり、普遍的なものではありませんでした。 ボーイング707の翼での試行錯誤による研究は、F16戦闘機の翼での試行錯誤による研究には何の貢献もありません。たとえスーパーコンピュータであっても、不規則な流体の動きに対してはほとんど無力です。何かが流体を揺さぶり、それを刺激します。流体は粘性があり、粘着性があるため、エネルギーが流体から失われていきます。もし揺さぶるのをやめれば、流体は自然に静止します。揺さぶると、低周波数または大きな波長でエネルギーが加わりますが、最初に気づくのは、大きな波長が小さな波長に分解されることです。渦が形成され、その中にさらに小さな渦ができ、それぞれが流体のエネルギーを散逸させ、特有のリズムを生み出します。1930年代にA. N. コルモゴロフは、これらの渦がどのように機能するかを示す数学的な説明を提案しました。彼は、エネルギーが小さなスケールへと連鎖的に移動していき、最終的には渦が非常に小さくなり、相対的に大きな粘性の影響が支配する限界に達することを想像しました。明確な説明のために、コルモゴロフはこれらの渦が流体全体を満たしていると想定し、流体のどこでも同じであるとしました。しかし、この均質性の仮定は真実ではなく、ポアンカレも40年前にそれを知っていました。彼は川の荒い表面を見て、渦が常に滑らかな流れの領域と混ざり合うことを観察していました。渦度は局所的です。エネルギーは実際には空間の一部でしか散逸しません。各スケールで、乱流の渦をより詳しく見ると、新たな静穏な領域が視界に入ってきます。こうして均質性の仮定は、間欠性の仮定に取って代わります。理想化された間欠的なイメージは、粗さと滑らかさが大から小へとスケールダウンして混在する非常にフラクタルなものに見えます。しかし、このイメージも現実にはやや不十分であることがわかります。密接に関連していますが、全く異なるのは、乱流が始まるときに何が起こるかという問題です。流れはどのように滑らかさから乱流へと境界を越えるのでしょうか？乱流が完全に発展する前に、どのような中間段階が存在する可能性があるのでしょうか？これらの質問に対しては、やや強力な理論が存在しました。この正統派のパラダイムは、流体力学に関する教科書を残した偉大なロシアの科学者レフ・D・ランダウから来ています。ランダウのイメージは、競合するリズムの積み重ねです。彼は、システムにエネルギーが増加すると、新しい周波数が一つずつ始まり、前のものとは互換性がないと推測しました。これは、バイオリンの弦が強く弓で弾かれると、第二の不協和音で振動し、その後第三、第四と続き、音が理解できないほどの騒音になる様子に似ています。液体や気体は、無限とも言えるほどの個々の粒子の集合です。もし各粒子が独立して動くなら、流体は無限の可能性、専門用語で言う「自由度」を持ち、運動を記述する方程式は無限の変数を扱わなければならなくなります。 しかし、各粒子は独立して動くわけではなく、その動きは隣接する粒子の動きに大きく依存しています。そして、滑らかな流れの中では、自由度は少ないことがあります。潜在的に複雑な動きは、互いに結びついています。近くの粒子は近くに留まったり、滑らかで直線的な方法で離れたりして、風洞実験の画像にきれいな線を生み出します。煙草の煙の柱の中の粒子は、一時的に一緒に上昇します。しかし、その後、混乱が現れ、神秘的な野生の動きの動物園のようになります。時にはこれらの動きに名前が付けられました：振動的、歪んだ静脈瘤、クロスロール、結び目、ジグザグなどです。ランドーの見解では、これらの不安定な新しい動きは単に重なり合い、重なり合った速度とサイズのリズムを作り出しているとされます。概念的には、この伝統的な乱流の考え方は事実に合致しているように思えました。そして、もしこの理論が数学的に役に立たないものであったとしても（実際、そうでした）、それはそれで良いのです。ランドーのパラダイムは、手を挙げながらも尊厳を保つ方法でした。水はパイプを通り抜けたり、シリンダーの周りを流れたりして、微かな滑らかな音を立てます。あなたの心の中で、圧力を上げます。前後のリズムが始まります。波のように、それはゆっくりとパイプにぶつかります。もう一度つまみを回してください。どこからともなく、第二の周波数が入ってきて、最初のものとは同期していません。リズムが重なり合い、競い合い、ぶつかり合います。すでにそれらは非常に複雑な動きを生み出し、波が壁にぶつかり合い、干渉し合い、あなたはそれを追いかけることがほとんどできなくなります。今、もう一度つまみを上げてください。第三の周波数が入り、次に第四、第五、第六と続き、すべてが無関係です。流れは非常に複雑になりました。おそらくこれが乱流です。物理学者たちはこのイメージを受け入れましたが、エネルギーの増加が新しい周波数を生み出すタイミングや、その新しい周波数が何であるかを予測する方法は誰も知りませんでした。実際、誰もランドーの乱流発生に関する理論を実験で検証したことがなかったため、これらの神秘的に現れる周波数を実験で見た者はいませんでした。 理論家は脳を使って実験を行います。実験者は手を使う必要があります。理論家は考える人であり、実験者は職人です。理論家は共犯者を必要としませんが、実験者は大学院生を集め、機械工を説得し、ラボの助手をおだてる必要があります。理論家は雑音や振動、汚れのない清潔な場所で活動します。実験者は、彫刻家が粘土と親密になるように、物質との親密さを育み、それに立ち向かい、形を作り、関わります。理論家は、自分の仲間を無邪気なロミオが理想のジュリエットを想像するように創造します。実験者の仲間は汗をかき、不平を言い、ガスを出します。彼らは互いに必要とし合っていますが、理論家と実験者は、古代の頃からの不平等を受け入れてきました。その頃は、すべての科学者が両方の役割を持っていました。最良の実験者は依然として理論家の一面を持っていますが、その逆は当てはまりません。最終的には、名声は理論家の側に蓄積されます。 高エネルギー物理学において、特に理論家に栄光が与えられ、実験者は高価で複雑な機器を扱う高度に専門化された技術者となっています。第二次世界大戦以降、物理学が基本的な粒子の研究によって定義されるようになると、最も注目を集めた実験は粒子加速器を用いたものでした。スピン、対称性、色、フレーバー—これらは華やかな抽象概念でした。科学を追う多くの一般人や、少なからぬ科学者にとって、原子粒子の研究が物理学そのものでした。しかし、より小さな粒子を、より短い時間スケールで研究することは、より高いエネルギーを必要としました。そのため、良い実験に必要な機械は年々増大し、粒子物理学における実験の性質は永遠に変わりました。この分野は混雑しており、大規模な実験はチームを奨励しました。粒子物理学の論文は、しばしば『Physical Review Letters』で際立っていました。典型的な著者リストは、論文の長さの約4分の1を占めることもありました。しかし、一部の実験者は一人またはペアで作業することを好み、手元にある物質を使っていました。流体力学のような分野は地位を失った一方で、固体物理学は地位を得て、最終的には「凝縮系物理学」というより包括的な名前を必要とするほどにその領域を拡大しました。凝縮系物理学では、機械はよりシンプルでした。理論家と実験者の間のギャップは狭く保たれました。理論家は少しばかりの高慢さを控え、実験者は少しばかりの防御的な態度を和らげました。それでも、視点は異なりました。理論家が実験者の講義を中断して「もっとデータポイントがあった方が説得力があるのでは？」や「そのグラフは少し乱雑では？」、「その数値はもう少しスケールを上下に広げるべきでは？」と尋ねるのは、まさに彼らの性格に合った行動でした。そして、ハリー・スウィニーが自分の身長を最大限に伸ばし、約5フィート半の高さで「それは真実だ」と言うのも、ルイジアナの生まれつきの魅力とニューヨークで身につけた短気さが混ざったものでした。「無限のノイズのないデータがあれば、それは真実だ」と言い、黒板の方に背を向けながら「実際には、もちろん限られたノイズのあるデータしかない」と付け加えました。スウィニーは物質を使って実験していました。彼にとっての転機は、ジョンズ・ホプキンス大学の大学院生の時に訪れました。粒子物理学の興奮は明らかでした。刺激的なマレー・ゲルマンが一度講演に来て、スウィニーは魅了されました。しかし、大学院生が何をしているのかを調べると、彼らは皆コンピュータプログラムを書いたり、スパークチェンバーをはんだ付けしたりしていることがわかりました。その時、彼は相転移—固体から液体、非磁性体から磁性体、導体から超伝導体への変化—に取り組み始めた年配の物理学者と話し始めました。やがてスウィニーは空の部屋を手に入れました—クローゼットほどの大きさでしたが、それは彼だけのものでした。彼は機器のカタログを持ち、注文を始めました。 彼はすぐにテーブルとレーザー、冷却装置、いくつかのプローブを手に入れました。そして、二酸化炭素が蒸気から液体に変わる臨界点付近で、どれほど熱を伝導するかを測定する装置を設計しました。ほとんどの人は、熱伝導率がわずかに変化するだろうと考えていましたが、スウィニーはそれが1,000倍も変化することを発見しました。それは興奮する出来事でした—小さな部屋の中で、誰も知らないことを発見したのです。彼は、臨界点近くの蒸気から放たれる異世界の光を目にしました。この光は「オパレスセンス」と呼ばれ、柔らかい光線の散乱がオパールの白い輝きを生み出すからです。カオスそのものの多くのように、相転移は微視的な詳細を見ただけでは予測が難しいマクロな振る舞いを伴います。固体が加熱されると、その分子は追加されたエネルギーで振動し、結合に対して外に押し出し、物質を膨張させます。熱が増えれば、膨張も増えます。しかし、特定の温度と圧力に達すると、その変化は突然かつ不連続になります。ロープが伸び続けていたが、今やそれが切れるようなものです。結晶の形は溶解し、分子は互いから滑り離れます。彼らは固体のどの側面からも推測できなかった流体の法則に従います。平均原子エネルギーはほとんど変わっていませんが、物質は—今や液体、または磁石、あるいは超伝導体として—新たな領域に入ったのです。ニュージャージー州のAT&Tベル研究所のグンター・アーラーズは、液体ヘリウムにおけるいわゆる超流動相転移を調査しました。温度が下がると、物質は目に見えない粘度や摩擦を持つ魔法のような流れる液体になります。他の研究者たちは超伝導を研究しました。スウィニーは物質が液体と蒸気の間で変化する臨界点を研究しました。スウィニー、アーラーズ、ピエール・ベルジェ、ジェリー・ゴルラブ、マルツィオ・ジリオ—1970年代の中頃までに、これらの実験者たちやアメリカ、フランス、イタリアの他の研究者たちは、相転移を探求する若い伝統から新しい問題を探し求めていました。郵便配達員が自分の近所の階段や路地を学ぶように、彼らは物質が基本的な状態を変える際の特異な目印を学びました。彼らは物質が poised（準備が整った）している境界を研究してきました。相転移研究の進展は、類似の足場を通じて進んできました：非磁性体と磁性体の相転移は、液体と蒸気の相転移に似ていることが証明されました。流体と超流体の相転移は、導体と超伝導体の相転移に似ていることが証明されました。一つの実験の数学は、他の多くの実験にも適用されました。1970年代には、その問題はほぼ解決されていました。しかし、理論がどこまで拡張できるかという疑問が残りました。世界の他のどのような変化が、詳しく調べると相転移であることがわかるのでしょうか？流体の流れに相転移の技術を適用することは、最も独創的なアイデアでもなく、最も明白なことでもありませんでした。 最も独創的なものではありませんが、20世紀初頭の偉大な流体力学の先駆者であるレイノルズやレイリー、そして彼らの後継者たちは、慎重に制御された流体実験が運動の質に変化をもたらすこと—数学的には分岐と呼ばれる現象—をすでに指摘していました。例えば、流体セルの中で、底から加熱された液体は、静止状態から突然動き始めます。物理学者たちは、その分岐の物理的性質が、相転移というカテゴリーに属する物質の変化に似ているのではないかと考える誘惑に駆られました。しかし、これは最も明白な実験ではありませんでした。実際の相転移とは異なり、これらの流体の分岐は物質そのものの変化を伴わなかったからです。代わりに、新たな要素—運動—が加わりました。静止した液体が流れる液体に変わるのです。このような変化の数学が、凝縮する蒸気の数学に対応する理由は何でしょうか。 1973年、スウィニーはニューヨーク市立大学で教えていました。ハーバード大学の真面目で少年のような卒業生であるジェリー・ゴラブは、ハバーフォードで教えていました。フィラデルフィア近くの穏やかな田園風景の中にあるリベラルアーツカレッジであるハバーフォードは、物理学者が最終的に辿り着くには理想的な場所とは言えませんでした。大学院生がいないため、実験室の作業を手伝ったり、重要なメンターと弟子の関係を補完することができなかったのです。しかし、ゴラブは学部生の教育を愛し、大学の物理学科を実験的な研究の質で広く知られるセンターに育て上げ始めました。その年、彼はサバティカルを取り、スウィニーと共同研究をするためにニューヨークに来ました。相転移と流体の不安定性との類似を念頭に置き、二つの垂直なシリンダーの間に閉じ込められた液体の古典的なシステムを調べることに決めました。一方のシリンダーがもう一方の中で回転し、液体を引きずり回します。このシステムは流れを表面の間に閉じ込めるため、オープンウォーターのジェットや波紋とは異なり、液体の空間内での運動を制限しました。回転するシリンダーはクエット・テイラー流れとして知られる現象を生み出しました。通常、内側のシリンダーは静止している外側のシェルの中で回転します。回転が始まり、速度が上がると、最初の不安定性が発生します。液体はサービスステーションの内輪のような優雅なパターンを形成します。ドーナツ型の帯がシリンダーの周りに現れ、重なり合っていきます。流体の中の小さな点は、東から西だけでなく、上下に動きながらドーナツの周りを回転します。この現象はすでに理解されていました。G.I.テイラーは1923年にそれを観察し、測定していました。 回転するシリンダーの間の流れは、ハリー・スウィニーとジェリー・ゴラブに乱流の発生を観察する方法を提供しました。回転速度が増すにつれて、構造はより複雑になります。最初に水は重なったドーナツのような特徴的な流れのパターンを形成します。その後、ドーナツが波打ち始めます。 物理学者たちは、レーザーを使って水の速度が変化する様子を、新たな不安定性が現れるたびに測定しました。クエット流を研究するために、スウィニーとゴラブは、デスクトップに収まる装置を作りました。外側はテニスボールの細い缶ほどの大きさのガラスシリンダーで、高さ約1フィート、直径約2インチです。その中には、鋼製の内筒がぴったりと収まり、水のためにわずか1/8インチの隙間が残されていました。「これは紐と封蝋のようなものでした」と、後に訪れた著名な見物人の一人であるフリーマン・ダイソンは語りました。「お金もほとんどない小さな実験室で、二人の紳士が絶対に美しい実験を行っていました。これは乱流に関する良い定量的研究の始まりでした。」 彼らは、科学的な課題を持っており、それは彼らの業績に対する一定の認識をもたらし、その後忘れ去られるはずのものでした。スウィニーとゴラブは、乱流の発生に関するランダウの考えを確認するつもりでした。実験者たちはその考えに疑いを持つ理由はありませんでした。流体力学者たちがランダウの見解を信じていることを彼らは知っていました。物理学者として、彼らはそれが相転移の一般的なイメージに合致しているため好んでいました。ランダウ自身は、相転移を研究するための最も実用的な初期の枠組みを提供しており、こうした現象が普遍的な法則に従う可能性があるという洞察に基づいていました。ハリー・スウィニーが二酸化炭素の液体-蒸気臨界点を研究したとき、彼はその発見がキセノンの液体-蒸気臨界点にも適用されるというランダウの確信を持っていました—実際、その通りになりました。なぜ乱流が動く流体の中で対立するリズムの安定した蓄積であるべきではないのでしょうか？ スウィニーとゴラブは、最も繊細な状況での相転移を研究する中で蓄積した整然とした実験技術の武器を使って、動く流体の混沌に立ち向かう準備をしました。彼らは流体力学者が想像もしなかったような実験スタイルと測定機器を持っていました。流れる流れを探るために、彼らはレーザー光を使用しました。水を通過する光線は、レーザードップラー干渉計と呼ばれる技術で測定できる偏向や散乱を生じさせました。そして、データの流れはコンピュータに保存され、処理されました—1975年当時、テーブルトップの実験室でほとんど見かけることのなかった装置です。ランダウは、流れが増加するにつれて新しい周波数が一つずつ現れると述べていました。「それを読んで、私たちは、よし、これらの周波数が現れる遷移を見てみようと言いました。すると、確かに非常に明確な遷移がありました。私たちはその遷移を行ったり来たりしながら、シリンダーの回転速度を上げたり下げたりしました。それは非常に明確でした。」 結果を報告し始めると、スウィニーとゴラブは科学における社会的な境界、物理学の領域と流体力学の領域の間に直面しました。その境界には特定の鮮やかな特徴がありました。 特に、彼らの資金を管理している国立科学財団内のどの官庁が関与しているかを決定しました。1980年代にはクエット・テイラー実験は物理学の一部となりましたが、1973年当時は単なる流体力学に過ぎませんでした。流体力学に慣れ親しんでいた人々にとって、この小さなシティカレッジの実験室から出てきた最初の数値は、あまりにもきれいすぎて疑わしいものでした。流体力学者たちはそれを信じることができませんでした。彼らは相転移物理学のような精密なスタイルの実験には慣れていなかったのです。さらに、流体力学の観点から見ると、そのような実験の理論的意義は理解しにくいものでした。スウィニーとゴラブが国立科学財団からの資金を再度求めたとき、彼らは却下されました。一部の審査員は彼らの結果を評価せず、また一部は新しいものは何もないと言いました。しかし、実験は決して止まることはありませんでした。「遷移はありました、非常に明確に定義されていました」とスウィニーは言いました。「それは素晴らしいことでした。次の遷移を探しに行きました。」そこで期待されていたランドーの系列は崩れました。実験は理論を確認することができませんでした。次の遷移では、流れは全く識別可能な周期のない混乱した状態に飛び跳ねました。新しい周波数もなく、複雑さが徐々に増すこともありませんでした。「私たちが見つけたのは、混沌とした状態になったということです。」数ヶ月後、ほっそりとした魅力的なベルギー人が彼らの実験室のドアの前に現れました。デイヴィッド・リュエルは、時々物理学者には二種類いると言いました。一つはラジオを分解して育ったタイプで、これは固体素子が普及する前の時代で、まだワイヤーやオレンジ色に光る真空管を見て電子の流れについて想像できた時代です。そしてもう一つは化学セットで遊んでいたタイプです。リュエルは化学セットで遊んでいましたが、後のアメリカ的な意味でのセットではなく、北ベルギーの地元の薬剤師から楽しく調達された爆発性または毒性の化学物質を混ぜたり、かき混ぜたり、加熱したり、結晶化させたり、時には自ら爆発させたりしていました。彼は1935年にゲントで生まれ、体操の教師と大学の言語学の教授の息子であり、抽象的な科学の領域でキャリアを築きましたが、常に自然の危険な側面に対する興味を持っていました。それは、隠れた驚きを持つクリプトガマのキノコや硝石、硫黄、木炭の中にありました。しかし、リュエルが混沌の探求において持続的な貢献をしたのは数学的物理学の分野でした。1970年までに彼はパリ郊外にある高等科学研究所に参加しました。この研究所はプリンストンの高等研究所をモデルにしたものでした。彼はすでに、研究所や家族から定期的に離れ、アイスランドやメキシコの田舎の空っぽの荒野をバックパック一つで数週間にわたって孤独な散歩をするという生涯の習慣を身につけていました。彼はしばしば誰にも会いませんでした。人間に出会い、彼らのもてなしを受け入れるとき—おそらく動物性または植物性の脂肪なしのトルティーヤの食事—彼は二千年前の世界を見ているように感じました。彼が研究所に戻ると、 彼は科学者としての存在を再び始めることになるだろう。彼の顔は少し痩せていて、肌は彼の丸い額と鋭い顎の上で少しきつく引き締まっていた。ルエルはスティーブ・スマレによるホースシュー写像や動的システムのカオス的可能性についての講演を聞いたことがあった。また、流体の乱流や古典的なランダウの図についても考えた。彼はこれらのアイデアが関連していると同時に矛盾しているのではないかと疑っていた。ルエルは流体の流れに関する経験はなかったが、それは彼を挫けさせることはなく、彼の多くの失敗した先人たちをも挫けさせなかった。「常に専門外の人々が新しいことを見つける」と彼は言った。「乱流に関する自然な深い理論は存在しない。乱流についてのすべての質問はより一般的な性質を持っており、したがって専門外の人々にもアクセス可能だ。」乱流が分析に抵抗する理由は明らかだった。流体の流れの方程式は非線形偏微分方程式であり、特別な場合を除いて解くことはできない。しかし、ルエルはランダウの図に対する抽象的な代替案を考え出し、スマレの言葉を用いて、空間を押しつぶしたり、引き伸ばしたり、馬蹄のような形に折りたたむことができる柔軟な素材として描写した。彼はオランダの数学者フロリス・タケンスと共に研究所で論文を書き、1971年に発表した。そのスタイルは明らかに数学的であり、物理学者たちには警告を発するものであった。段落は「定義」や「命題」、「証明」で始まり、続いて避けられない主張が続く。「命題（5.2）。Xuをヒルベルト空間H上のCkベクトル場の一パラメータ族とする...」しかし、タイトルは現実世界との関連を主張していた。「乱流の性質について」というタイトルは、ランダウの有名なタイトル「乱流の問題について」を意図的に反響させたものであった。ルエルとタケンスの議論の明確な目的は数学を超えており、彼らは乱流の発生に関する伝統的な見解の代替を提供しようとしていた。周波数の積み重ねによって無限の独立した重なり合う運動が生じるのではなく、たった三つの独立した運動が乱流の全ての複雑さを生み出すと提案した。数学的に言えば、彼らの論理の一部は不明瞭であったり、間違っていたり、借用されたものであったり、あるいはその両方であった—意見は十五年後も様々であった。しかし、洞察、解説、余白のメモ、そして論文に織り込まれた物理学は、それを永続的な贈り物にした。最も魅力的だったのは、著者たちが「奇妙なアトラクター」と呼んだイメージであった。このフレーズは後にルエルが感じたように、精神分析的に「示唆に富んで」いた。そのカオス研究における地位は、彼とタケンスが言葉を選んだ名誉を巡って礼儀正しい表面の下で争ったほどであった。実際には、どちらも正確には覚えていなかったが、タケンスは背が高く、赤ら顔で、北欧的な風貌の男で、「神にこの忌まわしい宇宙を創造したかどうか尋ねたことはあるか？...何も覚えていない....私はしばしば覚えていないまま創造する」と言うかもしれなかった。一方、論文の主著者であるルエルは静かに、「タケンスはたまたまIHESを訪れていた。人によって働き方は異なる」と述べた。 「自分一人で論文を書こうとする人もいるので、全ての功績を自分のものにしたいのです。」奇妙なアトラクターは位相空間に存在し、これは現代科学の最も強力な発明の一つです。位相空間は、数値を図に変換し、機械的または流体的な動く部分から本質的な情報を抽象化し、その全ての可能性への柔軟な地図を作成する方法を提供します。物理学者たちはすでに「アトラクター」の二つのより単純な種類、すなわち固定点とリミットサイクルを扱っており、これらは安定した状態に達するか、継続的に繰り返される挙動を表しています。位相空間では、動的システムに関する知識の完全な状態が、ある瞬間に一点に収束します。その点が、その瞬間の動的システムです。しかし次の瞬間には、システムはわずかに変化し、そのため点は移動します。システムの時間の歴史は、移動する点によって描かれ、時間の経過とともに位相空間を通る軌道をたどります。複雑なシステムに関する全ての情報がどのように一点に保存されるのでしょうか？もしシステムに変数が二つだけであれば、その答えは簡単です。高校で教わるデカルト幾何学から直接来ています—一つの変数は水平軸に、もう一つは垂直軸に配置されます。もしシステムが揺れる摩擦のない振り子であれば、一つの変数は位置、もう一つは速度であり、これらは連続的に変化し、ループを描く点の線を形成し、永遠に繰り返されます。同じシステムがより高いエネルギーレベルであれば—より速く、より遠く揺れる—位相空間におけるループは最初のものと似ていますが、より大きくなります。摩擦という少しの現実主義が、状況を変えます。摩擦の影響を受ける振り子の運命を知るために運動方程式は必要ありません。すべての軌道は最終的に同じ場所、すなわち中心に到達します：位置0、速度0。この中心の固定点は「軌道を引き寄せる」のです。永遠にループを描くのではなく、内側に螺旋状に進みます。摩擦はシステムのエネルギーを散逸させ、位相空間ではその散逸が高エネルギーの外部領域から低エネルギーの内部領域への引き寄せとして現れます。アトラクター—可能な限り最も単純な形—は、ゴムシートに埋め込まれた小さな磁石のようなものです。状態を空間の点として考える利点の一つは、変化を観察しやすくなることです。変数が連続的に上下するシステムは、部屋の中を飛び回るハエのように動く点になります。もし特定の変数の組み合わせが決して起こらないのであれば、科学者はその部分を立ち入り禁止区域として想像することができます。ハエはそこには行きません。もしシステムが周期的に振る舞い、同じ状態に何度も戻るのであれば、ハエはループを描き、位相空間の同じ位置を何度も通過します。物理システムの位相空間の肖像は、他の方法では見えない運動のパターンを明らかにし、赤外線の風景写真が知覚の届かないところに存在するパターンや詳細を明らかにするのと同様です。 科学者が位相ポートレートを見たとき、彼は想像力を働かせてそのシステム自体を思い描くことができました。このループはその周期性に対応し、このひねりはその変化に対応し、この空虚な部分はその物理的な不可能性に対応します。二次元であっても、位相空間のポートレートには多くの驚きが隠されており、デスクトップコンピュータでも簡単にそれらのいくつかを示すことができ、方程式を色とりどりの動く軌跡に変えることができました。一部の物理学者は同僚に見せるための映画やビデオテープを作り始め、カリフォルニアの数学者たちは緑、青、赤の漫画スタイルの絵をシリーズで掲載した本を出版しました。「カオスコミック」と呼ばれ、少しの悪意を込めて同僚たちがそう呼びました。二次元では、物理学者が研究する必要のあるシステムの種類をカバーするには不十分でした。彼らは二つ以上の変数を示さなければならず、それはより多くの次元を意味しました。独立して動くことができる動的システムの各部分は、別の変数、別の自由度を持っています。自由度が一つ増えるごとに、位相空間に新たな次元が必要となり、単一の点がシステムの状態を一意に決定するのに十分な情報を含むことを保証します。ロバート・メイが研究した単純な方程式は一次元であり、一つの数値があれば十分で、その数値は温度や人口を表すことができ、その数値が一次元の線上の点の位置を定義します。ローレンツの簡略化された流体対流のシステムは三次元であり、流体が三次元を移動するからではなく、流体の状態を任意の瞬間に特定するために三つの異なる数値が必要だからです。四次元、五次元、あるいはそれ以上の空間は、最も敏捷な位相幾何学者の視覚的想像力を試すものです。しかし、複雑なシステムには多くの独立した変数があります。数学者たちは、無限の自由度を持つシステム—乱れた滝や予測不可能な脳の中で自由に表現される自然—が無限次元の位相空間を必要とするという事実を受け入れなければなりませんでした。しかし、そんなものを扱える人は誰でしょうか？それはヒドラのようで、容赦なく制御不可能であり、ランドーの乱流のイメージでした：無限のモード、無限の自由度、無限の次元。 別の方法で振り子を見る。位相空間の一点（下）は、動的システムの状態に関するすべての情報を含んでいます（上）。単純な振り子の場合、必要なのは二つの数値—速度と位置—だけです。振り子が揺れ始めるとき、速度はゼロです。位置は負の数で、中心から左にどれだけ離れているかを示します。この二つの数値は、二次元の位相空間における一点を特定します。振り子の位置がゼロを通過する際に速度は最大に達します。速度は再びゼロに減少し、その後左方向の動きを表すために負の値になります。これらの点は、動的システムの連続的な長期的挙動を視覚化する方法を提供する軌跡を描きます。繰り返しのループは、システムが永遠に定期的に自らを繰り返すことを示しています。 もし繰り返しの挙動が安定しているなら、振り子時計のように、システムは小さな摂動の後にこの軌道に戻ります。位相空間では、軌道に近い軌跡がそれに引き寄せられ、軌道はアトラクター（引力点）となります。アトラクターは単一の点であることもあります。摩擦によってエネルギーを持続的に失う振り子の場合、すべての軌跡は静的状態を表す点に向かって螺旋状に内側に進みます。この場合、静的状態とは全く動かない状態です。物理学者は、自然の中にあまり明確さを見出せないモデルを嫌う理由が十分にありました。流体運動の非線形方程式を用いても、世界最速のスーパーコンピュータでさえ、立方センチメートルの乱流を数秒以上正確に追跡することはできませんでした。この問題の責任は確かに自然にあるものであり、ランドーのせいではありませんが、それでもランドーの描写は常識に反するものでした。何の知識もない状態では、物理学者は何らかの原理が発見を逃れているのではないかと疑うことが許されるかもしれません。偉大な量子理論家リチャード・P・ファインマンもこの感情を表現しました。「今日私たちが理解している法則によれば、どんなに小さな空間の領域でも、またどんなに短い時間の領域でも、何が起こるかを理解するためには、計算機が無限の論理操作を必要とすることが常に気になります。そんな小さな空間で、どうしてそんなことが起こるのでしょうか？なぜ、ほんの小さな空間/時間の一部が何をするかを理解するのに無限の論理が必要なのでしょうか？」 混沌を研究し始めた多くの人々と同様に、デビッド・ルエルも乱流の中に見えるパターン—自己絡み合った流線、螺旋状の渦、目の前に現れては消える渦巻き—が、まだ発見されていない法則によって説明されるパターンを反映しているに違いないと疑いました。彼の心の中では、乱流におけるエネルギーの散逸は、位相空間の収縮、つまりアトラクターへの引き寄せにつながるはずだと考えました。確かに、アトラクターは固定点ではないでしょう。なぜなら、流れは決して静止しないからです。エネルギーはシステムに流入するだけでなく、流出もしています。では、他にどのようなアトラクターが考えられるでしょうか？教義によれば、もう一つの種類、周期的アトラクター、またはリミットサイクル—すべての近くの軌道を引き寄せる軌道—が存在するだけです。振り子が摩擦でエネルギーを失いながら、ばねからエネルギーを得る場合、つまり振り子が駆動されると同時に減衰される場合、安定した軌道は、祖父時計の規則的な揺れの動きを表す位相空間の閉じたループになるかもしれません。振り子がどこから始まっても、その一つの軌道に収束します。あるいは、そうではないのでしょうか？初期条件の中には、エネルギーが最も低いものがあり、その場合振り子はやはり停止します。したがって、システムには実際に二つのアトラクターが存在します。一つは閉じたループで、もう一つは固定点です。各アトラクターには「流域」があり、近くの二つの川がそれぞれの流域を持つのと同じです。短期的には、位相空間の任意の点が動的システムの可能な挙動を表すことができますが、長期的には唯一の可能な挙動はアトラクターそのものです。 他の種類の運動は一時的なものです。定義によれば、アトラクターは安定性という重要な特性を持っています。実際のシステムでは、動く部分が現実のノイズによる衝撃や揺れにさらされるため、運動はアトラクターに戻る傾向があります。衝撃が軌道を一時的に押しやることはあっても、その結果生じる一時的な運動は消えてしまいます。たとえ猫がぶつかっても、振り子時計は62秒の分に切り替わることはありません。流体の乱流は異なる性質の挙動であり、他のリズムを排除することなく、単一のリズムを生み出すことはありません。乱流のよく知られた特徴は、可能なサイクルの広範なスペクトルが同時に存在することです。乱流はホワイトノイズや静電気のようなものです。このようなものが単純で決定論的な方程式のシステムから生じることができるのでしょうか？ルエルとタケンズは、別の種類のアトラクターがその特性を持つことができるのかどうかを考えました。安定性—ノイズのある世界における動的システムの最終状態を表すもの。低次元—自由度がわずかしかない長方形や箱のような位相空間における軌道。非周期的—決して自分自身を繰り返さず、一定の祖父時計のリズムに陥ることがない。幾何学的には、この問いはパズルのようでした。限られた空間の中で、決して自分自身を繰り返さず、交差することのない軌道はどのように描けるのか—なぜなら、システムが以前にあった状態に戻ると、その後は同じ道をたどらなければならないからです。すべてのリズムを生み出すためには、軌道は有限の領域において無限に長い線でなければなりません。言い換えれば—その言葉はまだ発明されていませんでしたが—それはフラクタルでなければならないのです。数学的な推論によって、ルエルとタケンズはそのようなものが存在しなければならないと主張しました。彼らはそれを見たことがなく、描いたこともありませんでした。しかし、その主張は十分でした。後に、ワルシャワで開催された国際数学者会議での全体講演において、ルエルは振り返りながらこう宣言しました。「私たちの提案に対する科学界の反応は非常に冷淡でした。特に、連続スペクトルがわずかな自由度と関連付けられるという考えは、多くの物理学者にとって異端と見なされました。」しかし、1971年の論文の重要性を認識し、その影響に取り組んだのは、確かに少数の物理学者たちでした。実際、1971年には、ルエルとタケンズが生き返らせようとしていた想像を絶する存在の小さな線画がすでに科学文献に含まれていました。エドワード・ローレンツは、1963年の決定論的カオスに関する論文にそれを添付しており、右側には内側にある2つの曲線と左側には5つの曲線が描かれていました。これらの7つのループをプロットするには、500回の連続計算が必要でした。この位相空間の中でこの軌道に沿って動く点は、ローレンツの対流に関する3つの方程式によってモデル化された流体の遅いカオス的な回転を示しています。このシステムには3つの独立変数があったため、このアトラクターは3次元の位相空間に存在していました。 ローレンツはその全貌の一部しか描かなかったが、彼が描いた以上のものを見ていた。まるで無限の巧妙さで織り交ぜられた蝶の羽のような二重螺旋のようなものであった。彼のシステムの上昇する熱が流体を一方向に押しやると、軌道は右の羽に留まった。回転運動が止まり、逆転すると、軌道は反対の羽に振り移った。アトラクターは安定しており、低次元で、非周期的であった。自己交差することは決してなく、もし交差すれば、すでに訪れた点に戻ることになり、その時点から運動は周期的なループで繰り返されることになる。しかし、それは決して起こらなかった。それがアトラクターの美しさだった。これらのループや螺旋は無限に深く、決して完全には結びつかず、交差することもなかった。それでも、有限の空間の中に留まり、箱に閉じ込められていた。それはどういうことだろう？無限に多くの道が有限の空間に存在することができるのだろうか？マンデルブロのフラクタルの画像が科学界に溢れる前の時代に、こうした形を構築する詳細を想像するのは難しかった。ローレンツはその試みの中で「明らかな矛盾」を認めた。「一方の螺旋を含む二つの表面が合流することと、二つの軌道が合流できないことを調和させるのは難しい」と彼は書いた。しかし、彼はコンピュータの計算範囲内では見えないほど微妙な答えを見出した。螺旋が結合しているように見える場所では、表面が分かれていることに気づいた。まるでフレーク状のミルフィーユのように、別々の層を形成しているのだ。「私たちは、各表面が実際には二つの表面のペアであることがわかります。したがって、合流しているように見える場所には、実際には四つの表面があります。このプロセスをさらに一周続けると、実際には八つの表面が存在し、最終的には無限の複雑な表面があり、それぞれが二つの合流する表面のいずれかに非常に近いことがわかります。」1963年に気象学者たちがこのような推測を放置したのも不思議ではなく、十年後にルエルがローレンツの研究を知ったときに驚きと興奮を感じたのも無理はなかった。彼はその後の数年間に一度ローレンツを訪れ、科学の共通の領域についてもっと話し合わなかったことに小さな失望感を抱いて帰った。 振り子を見る別の方法。位相空間の一点（下）は、動的システムの状態に関するすべての情報を含んでいます（上）。単純な振り子の場合、知っておくべきことは二つの数値—速度と位置—だけです。振り子が振れ始めるとき、速度はゼロです。位置は負の数で、中心から左にどれだけ離れているかを示します。この二つの数値は、二次元の位相空間における一点を特定します。振り子の位置がゼロを通過する際、速度は最大に達します。その後、速度は再びゼロに減少し、左向きの動きを表すために負の値になります。これらの点は、動的システムの連続的な長期的挙動を視覚化する方法を提供する軌跡を描きます。繰り返されるループは、システムが永遠に一定の間隔で自らを繰り返すことを示しています。もしその繰り返しの挙動が安定しているなら、振り子時計のように、システムは小さな摂動の後にこの軌道に戻ります。位相空間では、軌道に近い軌跡はその軌道に引き寄せられます；その軌道はアトラクターです。アトラクターは単一の点であることもあります。摩擦によってエネルギーを徐々に失っていく振り子の場合、すべての軌跡は、全く動かない安定状態を表す一点に向かって螺旋状に収束します。 物理学者は、自然の中にあまり明確さを見出せないモデルを嫌う理由が十分にありました。非線形の流体運動の方程式を用いても、世界最速のスーパーコンピュータは、立方センチメートルの乱流を数秒以上正確に追跡することができませんでした。このことの責任は確かに自然にあるものであり、ランドーのせいではありませんが、それでもランドーの描写は常識に反していました。知識がない状態では、物理学者は何らかの原理が発見を逃れているのではないかと疑うことが許されるかもしれません。偉大な量子論者リチャード・P・ファインマンはこの感情を表現しました。「今日私たちが理解している法則によれば、どんなに小さな空間の領域でも、どんなに短い時間の領域でも、何が起こるかを理解するためには、計算機が無限の論理操作を必要とすることが常に気になります。どうしてそんな小さな空間でそんなことが起こるのでしょうか？なぜ、ほんの小さな空間/時間の一部が何をするかを理解するのに無限の論理が必要なのでしょうか？」 混沌を研究し始めた多くの人々と同様に、デビッド・ルエルは、乱流の中に見えるパターン—自己絡み合った流線、渦巻き、目の前に現れては消える渦—が、まだ発見されていない法則によって説明されるパターンを反映しているに違いないと疑いました。彼の心の中では、乱流におけるエネルギーの散逸は、位相空間の収縮、つまりアトラクターへの引き寄せにつながるはずだと考えていました。確かに、そのアトラクターは固定点ではないでしょう。なぜなら、流れは決して静止することがないからです。エネルギーはシステムに流入し、同時に流出しています。では、他にどのようなアトラクターが考えられるでしょうか？教義によれば、もう一つの種類、周期的アトラクター、またはリミットサイクル—すべての近くの軌道を引き寄せる軌道—しか存在しないとされています。 振り子がバネからエネルギーを得ながら摩擦によってエネルギーを失う場合、つまり振り子が駆動されると同時に減衰される場合、安定した軌道は、祖父時計の規則的な振動運動を表す位相空間の閉じたループとなることがあります。振り子がどこから始まっても、その一つの軌道に収束します。果たしてそうなるのでしょうか？初期条件の中には、最もエネルギーが低いものがあり、その場合、振り子はやはり停止してしまいます。したがって、このシステムには実際には二つのアトラクタが存在します。一つは閉じたループで、もう一つは固定点です。各アトラクタには「流域」があり、近くの二つの川がそれぞれの流域を持つのと同じです。短期的には、位相空間のどの点も動的システムの可能な挙動を表すことができますが、長期的には唯一の可能な挙動はアトラクタ自身です。他の種類の運動は一時的なものです。アトラクタは安定性という重要な特性を持つと定義されています。実際のシステムでは、動く部品が現実世界のノイズによる衝撃や揺れにさらされるため、運動はアトラクタに戻る傾向があります。衝撃が軌道を一時的に押しやることはあっても、その結果生じる一時的な運動は消えてしまいます。たとえ猫がぶつかっても、振り子時計が62秒の分に切り替わることはありません。流体の乱流は異なる秩序の挙動であり、他のリズムを排除することなく、単一のリズムを生み出すことはありません。乱流のよく知られた特徴は、可能なサイクルの広範なスペクトルが同時に存在することです。乱流はホワイトノイズや静電気のようなものです。このようなものが単純で決定論的な方程式のシステムから生じることができるのでしょうか？ルエルとタケンズは、他の種類のアトラクタが適切な特性を持つかもしれないと考えました。安定性—騒がしい世界における動的システムの最終状態を表す。低次元—位相空間の中の軌道は長方形や箱のような形で、自由度がわずかである。非周期的—決して自分自身を繰り返さず、祖父時計のリズムに陥ることがない。幾何学的には、この問題はパズルでした。限られた空間の中で、どのような軌道が描かれれば、自らを繰り返さず、交差することもないのか—なぜなら、システムが以前にあった状態に戻ると、その後は同じ道を辿らなければならないからです。すべてのリズムを生み出すためには、軌道は有限の領域において無限に長い線でなければなりません。言い換えれば—その言葉はまだ発明されていませんでしたが—それはフラクタルでなければならないのです。数学的な推論によって、ルエルとタケンズはそのようなものが存在しなければならないと主張しました。彼らはそれを見たことがなく、描いたこともありませんでしたが、その主張は十分でした。後に、ワルシャワで開催された国際数学者会議での全体講演において、ルエルは振り返りながらこう宣言しました。「私たちの提案に対する科学界の反応は非常に冷淡でした。特に、連続スペクトルの概念については。」 「自由度が数個あるトラフムは、多くの物理学者にとって異端視されていました。」しかし、1971年の論文の重要性を認識し、その影響について研究を始めたのは、確かに少数の物理学者たちでした。実際、1971年には、ルエルとタケンズが生き生きとさせようとしていた想像を超えた存在の小さな線画が、すでに科学文献に存在していました。エドワード・ローレンツは、1963年の決定論的カオスに関する論文にそれを添付しており、右側には内側に収まる2つの曲線と、左側には5つの曲線が描かれていました。これらの7つのループをプロットするには、500回の連続計算が必要でした。位相空間のこの軌道に沿って動く点は、ローレンツの対流に関する3つの方程式によってモデル化された流体の遅くカオス的な回転を示していました。このシステムには3つの独立変数があったため、このアトラクタは3次元の位相空間に存在していました。ローレンツはその一部しか描かなかったものの、彼は描いた以上のものを見ていました。それは、無限の巧妙さで絡み合った蝶の羽のような二重螺旋のようなものでした。彼のシステムの上昇する熱が流体を一方向に押し進めると、軌道は右の羽の上に留まりました。回転運動が止まり、逆転すると、軌道は反対の羽に振り移りました。このアトラクタは安定していて、低次元で、非周期的でした。自己交差することは決してなく、もし交差すれば、すでに訪れた点に戻ることになり、その後の動きは周期的なループで繰り返されることになってしまいます。しかし、それは決して起こらなかった—それがアトラクタの美しさでした。これらのループや螺旋は無限に深く、決して完全には結びつかず、交差することもありませんでした。それでも、有限の空間の中に留まり、箱に閉じ込められていました。どうしてそんなことが可能だったのでしょうか？無限の経路が有限の空間に存在することができるのでしょうか？マンデルブロのフラクタルの画像が科学市場に溢れる前の時代に、こうした形状を構築する詳細を想像するのは難しく、ローレンツは彼の試みの説明に「明らかな矛盾」を認めていました。「一方の螺旋を含む二つの表面が合流することと、二つの軌道が合流できないことを調和させるのは難しい」と彼は書いています。しかし、彼は計算の範囲内では見えない、あまりにも繊細な答えを見出しました。螺旋が合流しているように見えるところでは、表面が分かれていることに気づき、フレーク状のミルフィーユのように別々の層を形成しているのです。「私たちは、各表面が実際には一対の表面であり、合流しているように見えるところには実際には4つの表面があることがわかります。このプロセスをさらに1回繰り返すと、実際には8つの表面があることがわかります。」などと続き、最終的には、無限の複雑な表面が存在し、それぞれが2つの合流する表面のいずれかに非常に近いことを結論づけました。1963年に気象学者たちがこのような推測を放置したのも不思議ではなく、10年後にルエルがローレンツの研究を知ったときに驚きと興奮を感じたのも当然のことでした。 彼はその後の数年間にローレンツを一度訪れたが、科学における共通の領域についてもっと話し合わなかったことに小さな失望感を抱いて帰った。ローレンツは特徴的な控えめさを持っており、その機会を社交的なものにし、彼らは妻たちと一緒に美術館に行った。エドワード・N・ローレンツの『最初の奇妙なアトラクタ』。1963年、エドワード・ローレンツは自分の単純な方程式系のためにアトラクタの最初の数本の糸しか計算できなかった。しかし、彼は二つの螺旋の翼が目に見えない小さなスケールで驚くべき構造を持っているに違いないことを理解していた。ルエルとタケンズが示唆したヒントを追求する努力は二つの道を辿った。一つは奇妙なアトラクタを視覚化するための理論的な闘争だった。ローレンツのアトラクタは典型的なのか？他にどんな形が可能なのか？もう一つは、自然の混沌に奇妙なアトラクタが適用できるという非常に数学的でない信念を確認または否定するための実験的な研究の道だった。日本では、機械的なバネの挙動を模倣した電気回路の研究が、上田義輔を非常に美しい奇妙なアトラクタのセットを発見することに導いた。（彼はルエルが受けた冷淡さの東洋版に出会った。「あなたの結果はほとんど周期的な振動に過ぎない。安定状態の自己中心的な概念を形成しないでください。」）ドイツでは、化学と理論生物学を経て混沌に至った非実践的な医師オットー・レッスラーが、奇妙なアトラクタを哲学的な対象として見る奇妙な能力を持って始め、数学がその後に続くようにした。レッスラーの名前は、描きやすいことから多く研究された、折り目のあるリボンの形をした特に単純なアトラクタに結びつけられたが、彼はまた高次元のアトラクタも視覚化した。「ソーセージの中のソーセージの中のソーセージの中のソーセージ」と彼は言った。「取り出して、折りたたみ、押しつぶし、元に戻す。」実際、空間の折りたたみと押しつぶしは奇妙なアトラクタを構築する鍵であり、彼らを生み出す実際のシステムのダイナミクスの鍵でもあった。レッスラーは、これらの形が世界における自己組織化の原理を具現化していると感じていた。彼は、空港の風見鶏のようなものを想像していた。「先端に穴の開いた開いたホースで、風が押し込まれる」と彼は言った。「すると風は閉じ込められる。意に反して、エネルギーは生産的な何かを行っている。中世の歴史における悪魔のように。原理は、自然が自らの意に反して何かを行い、自己絡み合いによって美を生み出すということだ。」奇妙なアトラクタの画像を作成することは簡単なことではなかった。通常、軌道は三次元以上の中でますます複雑な道を描き、外部からは見えない内部構造を持つ暗い落書きを空間に作り出した。これらの三次元の糸を平面の画像に変換するために、科学者たちはまず投影技術を使用した。この技術では、描画が影を表現していた。 アトラクターが表面に投影される様子は、複雑なストレンジアトラクターの場合、詳細が解読不可能な混沌とした状態にぼやけてしまいます。より明確な手法は、リターンマップ、またはポアンカレマップを作成することです。これは、アトラクターの絡み合った中心部からスライスを取り出し、病理学者が顕微鏡スライド用に組織の断面を準備するのと同様に、二次元の断面を取り除くことに相当します。ポアンカレマップはアトラクターから次元を取り除き、連続した線を点の集合に変えます。アトラクターをポアンカレマップに還元することで、科学者は本質的な動きを多く保持できると暗黙のうちに仮定します。例えば、奇妙なアトラクターが目の前で動き回り、その軌道が上下左右、そして前後にコンピュータ画面を通過する様子を想像できます。軌道が画面を通過するたびに、交差点に輝く点を残し、その点がランダムなシミを形成するか、リン光で何らかの形を描き始めます。このプロセスは、システムの状態を連続的にではなく、時折サンプリングすることに相当します。いつサンプリングするか、ストレンジアトラクターからどこでスライスを取るかは、研究者に柔軟性を与える問いです。最も情報量の多い間隔は、動的システムの物理的特徴に対応するかもしれません。例えば、ポアンカレマップは振り子の玉が最低点を通過するたびにその速度をサンプリングすることができます。または、研究者は一定の時間間隔を選び、想像上のストロボライトのフラッシュで連続する状態を固定することもできます。いずれにせよ、そのような画像は最終的にエドワード・ローレンツが推測した精緻なフラクタル構造を明らかにし始めました。 アトラクターの構造を明らかにするために、上記のストレンジアトラクターは、最初に1つの軌道、次に10、そして100の軌道を描き、回転子のカオス的な挙動を示しています。これは、エネルギーのあるキックによって定期的に駆動される振り子が完全な円を描く様子です。1,000の軌道が描かれる頃には、アトラクターは入り組んだ糸のような状態になっています。その内部の構造を見るために、コンピュータはアトラクターをスライスし、いわゆるポアンカレセクションを作成します。この手法は、三次元の画像を二次元に縮小します。軌道が平面を通過するたびに点をマークし、徐々に非常に詳細なパターンが現れます。この例には8,000以上の点があり、それぞれがアトラクターの周りを一周することを示しています。実際、システムは定期的に「サンプリング」されています。一つの情報は失われ、別の情報が際立って現れます。 最も明瞭なストレンジアトラクターは、最も単純であり、流体力学や乱流の神秘からは遠く離れた人物から生まれました。それはフランス南部のニース天文台の天文学者ミシェル・エノンによるものでした。もちろん、天文学は動的システムの始まりを与え、惑星の時計仕掛けの動きがニュートンに勝利をもたらし、ラプラスにインスピレーションを与えました。 しかし、天体力学はほとんどの地上のシステムと重要な点で異なります。摩擦によってエネルギーを失うシステムは散逸的ですが、天文学的システムはそうではありません。これらは保存的、あるいはハミルトニアン的です。実際、ほぼ無限小のスケールでは、天文学的システムも一種の抵抗を受けており、星はエネルギーを放射し、潮汐摩擦が軌道を回る天体からいくらかの運動量を奪っていますが、実用的な目的では天文学者の計算は散逸を無視することができます。そして、散逸がなければ、位相空間は無限のフラクタル層を生成するために必要な方法で折りたたまれたり収縮したりすることはありません。奇妙なアトラクターは決して現れないでしょう。では、カオスはどうでしょうか？多くの天文学者は、動的システムについて考えることなく長い幸せなキャリアを築いてきましたが、エノンは異なっていました。彼は1931年にパリで生まれ、ローレンツより数歳若いですが、彼と同様に数学に対する特定の未解決の魅力を持つ科学者でした。エノンは、物理的状況に結びつけられる小さく具体的な問題が好きでした。「今日の人々がやっているような数学ではない」と彼は言っていました。コンピュータがホビー用に適したサイズに達すると、エノンはヒースキットのコンピュータを手に入れ、自分で組み立てて家で遊びました。しかし、それよりずっと前に、彼は特に難解な動力学の問題に取り組みました。それは球状星団に関するもので、星が密集した球体で、時には一か所に百万の星が集まり、夜空で最も古く、そしておそらく最も息をのむような天体を形成します。球状星団は星で驚くほど密度が高いです。彼らがどのようにして一緒に留まり、時間とともにどのように進化するのかという問題は、20世紀を通じて天文学者たちを悩ませてきました。動力学的に言えば、球状星団は大規模な多体問題です。二体問題は簡単です。ニュートンはそれを完全に解決しました。各天体—例えば地球と月—は、システムの重心の周りを完璧な楕円軌道で移動します。しかし、もう一つの重力体を加えると、すべてが変わります。三体問題は難しく、さらに厄介です。ポアンカレが発見したように、それはほとんどの場合不可能です。軌道はしばらくの間数値的に計算できますが、強力なコンピュータを使えば、長い間追跡することができますが、不確実性が支配し始めるまでのことです。しかし、方程式は解析的に解決できないため、三体システムに関する長期的な質問には答えられません。太陽系は安定しているのでしょうか？短期的には確かにそう見えますが、今日でも、いくつかの惑星の軌道がますます偏心的になり、惑星が永遠にシステムから飛び出す可能性がないとは誰も言えません。球状星団のようなシステムは、直接多体問題として扱うにはあまりにも複雑ですが、その動力学は特定の妥協を用いて研究することができます。たとえば、個々の星が特定の重力中心を持つ平均的な重力場を通って飛んでいると考えるのは合理的です。 時折、2つの星が互いに近づきすぎることがあり、その相互作用は別個に扱う必要があります。天文学者たちは、球状星団が一般的に安定していないことに気づきました。球状星団の内部では、バイナリ星系が形成される傾向があり、星が密接にペアを組んで小さな軌道を描きます。そして、3番目の星がバイナリ星系に遭遇すると、3つの星のうちの1つが急激な力を受けることが多いのです。時折、星はそのような相互作用から十分なエネルギーを得て、脱出速度に達し、星団を永遠に離れることがあります。その後、残りの星団はわずかに収縮します。 1960年、パリで博士論文のためにこの問題に取り組んだエノンは、やや恣意的な仮定をしました。それは、星団がスケールを変化させる際に自己相似性を保つというものでした。計算を進めるうちに、彼は驚くべき結果に達しました。星団の中心部は崩壊し、運動エネルギーを得て無限の密度の状態を求めるというものでした。これは想像しがたいものであり、さらにこれまで観測された星団の証拠とも一致しませんでした。しかし、徐々にエノンの理論は「重力熱崩壊」と名付けられ、広まっていきました。この理論に強化されたエノンは、古い問題に数学を適用し、予期しない結果を追求する意欲を持って、星の動力学に関するはるかに簡単な問題に取り組み始めました。 1962年、プリンストン大学を訪問していた彼は、初めてコンピュータにアクセスできるようになりました。ちょうどその頃、M.I.T.のローレンツが気象学にコンピュータを使い始めていました。エノンは、銀河中心の周りを回る星の軌道をモデル化し始めました。銀河の軌道は、比較的単純な形で、太陽の周りを回る惑星の軌道のように扱うことができますが、1つの例外があります。それは、中心の重力源が点ではなく、三次元で厚みのある円盤であるということです。彼は微分方程式に妥協しました。「より自由な実験を行うために」と彼が言ったように、「問題の天文学的起源を一時的に忘れます」。当時彼はそうは言いませんでしたが、「自由な実験」とは、部分的には原始的なコンピュータで問題を扱う自由を意味していました。彼の機械は、25年後のパーソナルコンピュータの単一チップのメモリの千分の1未満で、動作も遅かったのです。しかし、後のカオス現象の実験者たちのように、エノンは過度の単純化が成果をもたらすことを発見しました。彼は自分のシステムの本質だけを抽象化することで、他のシステムにも適用できる発見をし、より重要なシステムにも応用できる結果を得ました。 数年後、銀河の軌道は依然として理論的な遊びのようなものでしたが、そのようなシステムの動力学は、高エネルギー加速器における粒子の軌道や、核融合の創出のための磁気プラズマの閉じ込めに興味を持つ人々によって、集中的かつ高額な調査が行われていました。銀河内の星の軌道は、約2億年の時間スケールで、完璧な楕円を描くのではなく、三次元的な性質を帯びていきます。 三次元の軌道は、実際の軌道でも想像上の位相空間の構造物でも、視覚化するのが難しいものです。そこで、エノンはポアンカレ図を作成する技術に似た手法を用いました。彼は、銀河の片側に立てた平らなシートを想像し、すべての軌道がそのシートを通過するようにしました。これは、競馬場の馬がゴールラインを駆け抜けるのと同じです。そして、彼は軌道がこの平面を横切る点をマークし、その点が軌道ごとにどのように動くかを追跡しました。エノンはこれらの点を手作業でプロットしなければなりませんでしたが、最終的にはこの技術を使う多くの科学者たちが、コンピュータの画面上に点が一つずつ現れるのを見守ることができるようになりました。それは、夜が訪れるとともに遠くの街灯が一つずつ点灯する様子に似ていました。 典型的な軌道は、ページの左下の方から始まります。次の周回では、数インチ右に点が現れます。さらにその右上にもう一つ、そしてそのように続いていきます。最初は明らかなパターンは見えませんが、10点か20点後には卵のような曲線が形成されます。連続する点は実際には曲線の周りを巡っていますが、正確に同じ場所に戻ることはないため、数百点または数千点後には曲線がしっかりと輪郭を描きます。このような軌道は完全に規則的ではありませんが、決してカオス的ではなく、確実に予測可能です。点は曲線の内側や外側には決して到達しません。三次元の全体像に戻すと、軌道はトーラス、つまりドーナツ型を描いており、エノンのマッピングはそのトーラスの断面図でした。ここまでの彼は、先人たちが当然のこととして受け入れていたことを示しているに過ぎませんでした。軌道は周期的でした。コペンハーゲンの天文台では、1910年から1930年にかけて、天文学者たちが数百のそのような軌道を丹念に観測し計算しましたが、彼らが興味を持っていたのは周期的であることが証明された軌道だけでした。「私もまた、当時の皆と同様に、すべての軌道はこのように規則的であるべきだと確信していました」とエノンは言いました。しかし、彼とプリンストン大学の大学院生カール・ハイレスは、異なる軌道の計算を続け、抽象的なシステムのエネルギーのレベルを着実に上げていきました。やがて、彼らは全く新しいものを目にしました。まず、卵型の曲線がより複雑な形にねじれ、自己交差して8の字を描き、別々のループに分かれていきました。それでも、すべての軌道は何らかのループに落ち着いていました。さらに高いエネルギーレベルでは、別の変化が突然起こりました。「ここに驚きがある」とエノンとハイレスは書きました。いくつかの軌道は非常に不安定になり、点が紙の上でランダムに散らばるようになりました。ある場所では曲線を描くことができましたが、他の場所では点に合う曲線がありませんでした。状況は非常に劇的になり、完全な無秩序の証拠が明確な秩序の残骸と混ざり合い、「島」や「島の連鎖」を示唆する形を形成しました。彼らは二台の異なるコンピュータと二つの異なる積分法を試しましたが、結果は同じでした。 彼らは探求し、推測することしかできなかった。数値実験に基づいて、彼らはそのような画像の深い構造についての推測を行った。より大きな倍率で観察することで、より小さなスケールでさらに多くの島が現れるだろう、ひょっとすると無限大にまで続くのではないかと提案した。数学的な証明が必要だったが、「この問題に対する数学的アプローチはあまり簡単ではないようだ」と述べた。 銀河中心の周りの軌道。星々の銀河を通る軌道を理解するために、ミシェル・エノンは軌道と平面の交点を計算した。その結果得られたパターンは、システムの総エネルギーに依存していた。安定した軌道から得られた点は、徐々に連続したつながりのある曲線を形成した（左）。しかし、他のエネルギーレベルは、安定性と混沌の複雑な混合を生み出し、散らばった点の領域で表現された。エノンは他の問題に取り組んだが、14年後、デビッド・ルエルとエドワード・ローレンツの奇妙なアトラクターについて聞いたとき、彼は耳を傾ける準備ができていた。1976年までに、彼は地中海の上に高くそびえるグラン・コルニッシュのニース天文台に移り、訪問した物理学者によるローレンツアトラクターに関する講演を聞いた。その物理学者は、アトラクターの微細な「マイクロ構造」を明らかにするためにさまざまな技術を試みていたが、あまり成功していなかった。エノンは、たとえ非保存系が彼の専門分野ではなかったとしても（「時々、天文学者は非保存系を恐れる—それは乱雑だから」）、アイデアを思いついた。再び、彼はシステムの物理的起源に関するすべての参照を捨て、探求したい幾何学的本質にのみ集中することに決めた。ローレンツや他の研究者が微分方程式—空間と時間における連続的な変化を伴う流れ—に固執していたのに対し、彼は時間的に離散的な差分方程式に目を向けた。彼が信じていた鍵は、パティシエが生地を伸ばし、折りたたみ、再び伸ばし、折りたたむという方法で位相空間を繰り返し伸ばし、折りたたむことだった。これにより、最終的には薄い層の束が形成される。 エノンは紙の上に平らな楕円を描いた。それを伸ばすために、彼は楕円内の任意の点を中心が上に伸びた形の新しい点に移動させる短い数値関数を選んだ。これはマッピングであり、点ごとに全体の楕円がアーチに「マッピング」された。次に、彼は第二のマッピングを選び、今度はアーチを内側に縮めて狭くする収縮を行った。そして、第三のマッピングでは、狭いアーチを横に倒して元の楕円ときれいに整列させた。これら三つのマッピングは、計算の目的のために一つの関数に統合することができた。精神的には、彼はスマレのホースシューのアイデアに従っていた。数値的には、この全過程は非常にシンプルで、計算機で簡単に追跡できた。任意の点には、その水平位置と垂直位置を固定するためのx座標とy座標がある。新しいxを見つけるためのルールは、古いyを取り、1を加え、古いxの二乗の1.4倍を引くことだった。 新しいyを求めるには、古いxに0.3を掛けます。つまり、xnew = y + 1 - 1.4x²、ynew = 0.3xです。ヘノンは、ほぼランダムにスタート地点を選び、計算機を使って新しい点を次々とプロットし始め、数千点をプロットしました。その後、IBM 7040という実際のコンピュータを使い、すぐに500万点をプロットしました。個人用コンピュータとグラフィックディスプレイを持っている人なら、誰でも同じことが簡単にできます。最初は、点が画面上をランダムに飛び跳ねているように見えます。その効果は、三次元アトラクタのポアンカレ断面のようで、表示画面を不規則に行き来しています。しかし、すぐにバナナのように曲がった形が現れ始めます。プログラムが長く実行されるほど、詳細が増えていきます。アウトラインの一部は厚みを持っているように見えますが、その厚みは二つの異なる線に分かれ、さらにその二つは四つに分かれます。一対は近くに、もう一対は離れた位置にあります。拡大すると、四本の線はそれぞれ二本の線から成っていることがわかり、さらにそのように続いていきます。ローレンツのアトラクタのように、ヘノンの表示も無限の再帰を示し、互いに入れ子になったロシアの人形のようです。入れ子になった詳細、線の中の線は、次第に大きくなる拡大の一連の画像で最終的な形を見ることができます。しかし、奇妙なアトラクタの不気味な効果は、形が時間とともに一点ずつ現れるときにも感じられます。それは霧の中から現れる幽霊のようです。新しい点は画面上に非常にランダムに散らばり、そこに何らかの構造があるとは信じられないほどです。ましてや、そんなに複雑で精巧な構造があるとは考えられません。連続する二つの点は、初めは近くにあったとしても、恣意的に離れています。どんな数の点があっても、次の点がどこに現れるかを予測することは不可能です—もちろん、アトラクタのどこかに現れることを除いては。点は非常にランダムに動き、パターンは非常にエーテル的に見えるため、その形がアトラクタであることを思い出すのが難しいです。それは単なる動的システムの軌道ではなく、すべての他の軌道が収束する軌道です。だからこそ、初期条件の選択は重要ではありません。初期点がアトラクタの近くにある限り、次の数点は非常に速くアトラクタに収束します。 数年前、1974年にデビッド・ルエルがゴルラブとスウィニーのシティカレッジの研究室に到着したとき、三人の物理学者は理論と実験の間に細いリンクを見出しました。一つの数学は、哲学的には大胆ですが、技術的には不確かでした。一つの円筒形の乱流、見た目はあまり良くありませんが、古い理論とは明らかに調和していませんでした。彼らは午後を話し合いに費やし、その後スウィニーとゴルラブは、ゴルラブのアディロンダック山の小屋で妻たちと一緒に休暇に出かけました。彼らは奇妙なアトラクタを見たことがなく、乱流の発生時に実際に何が起こるかをあまり測定していませんでした。 しかし、彼らはランドーが間違っていることを知っており、ルエルが正しいのではないかと疑っていました。ヘノンのアトラクタ。折りたたみと引き伸ばしのシンプルな組み合わせが、計算は容易でありながら数学者たちにはまだ十分に理解されていないアトラクタを生み出しました。数千、数百万の点が現れるにつれて、ますます多くの詳細が明らかになってきます。一見すると単一の線に見えるものが、拡大すると対になり、さらに対の対になることがわかります。しかし、連続する2つの点が近くに現れるのか、遠くに現れるのかは予測できません。コンピュータによる探求で明らかになった世界の一要素として、奇妙なアトラクタは単なる可能性として始まり、20世紀の多くの偉大な想像力が到達できなかった場所を示しました。やがて、科学者たちがコンピュータが示すものを見たとき、それは彼らがどこにでも見ていた顔のように思えました。乱流の音楽や、空にベールのように散らばる雲の中に。自然は制約を受けているようでした。無秩序は、共通の基盤となるテーマを持つパターンに導かれているように見えました。後に、奇妙なアトラクタの認識は、数値探求者に明確なプログラムを提供することでカオスの革命を促しました。彼らは、自然がランダムに振る舞っているように見える場所で、奇妙なアトラクタを探し求めました。多くの人が、地球の天候が奇妙なアトラクタに関連しているかもしれないと主張しました。他の人々は、数百万の株式市場データを集め、そこでも奇妙なアトラクタを探し始め、コンピュータの調整可能なレンズを通して無秩序を覗き込みました。1970年代中頃、これらの発見はまだ未来のものでした。実際に実験で奇妙なアトラクタを見た者はいなく、どのようにしてそれを探すべきかも明確ではありませんでした。理論的には、奇妙なアトラクタはカオスの基本的な新しい特性に数学的な実体を与える可能性がありました。初期条件への敏感な依存はその一つでした。「混合」は別の特性で、例えば燃料と酸素の効率的な組み合わせを気にするジェットエンジン設計者にとって意味のあるものでした。しかし、これらの特性をどのように測定し、数値を付けるかは誰も知りませんでした。奇妙なアトラクタはフラクタルのように見え、その真の次元が分数であることを示唆していましたが、次元を測定する方法や、エンジニアリングの問題においてその測定をどのように適用するかは誰も知りませんでした。最も重要なのは、奇妙なアトラクタが非線形システムの最も深い問題について何かを示すかどうかは誰もわからなかったことです。線形システムは計算が容易で分類も簡単ですが、非線形システムは本質的に分類を超えているように思えました—それぞれが他とは異なっていました。科学者たちは共通の特性を持っているかもしれないと疑い始めるかもしれませんが、測定や計算を行う段階になると、各非線形システムはそれ自体の世界でした。一つを理解することは、次のものを理解するのに役立つようには思えませんでした。ローレンツのようなアトラクタは、その安定性を示しました。 そして、無秩序に見えたシステムの隠れた構造。しかし、この特異な二重螺旋が、無関係なシステムを探求する研究者たちにどのように役立ったのか、誰も知らなかった。今のところ、その興奮は純粋な科学を超えていた。これらの形を見た科学者たちは、一瞬、科学的な議論のルールを忘れることができた。例えばルエルはこう言った。「私は奇妙なアトラクターの美的魅力については語っていません。これらの曲線のシステム、これらの点の雲は、時には花火や銀河、時には奇妙で不安を呼び起こす植物の繁殖を思わせます。そこには探求すべき形の領域があり、発見すべき調和が存在します。」 普遍性 これらの線を繰り返すことで金が生まれる。 地面に描かれたこの円が、 旋風、嵐、雷鳴と稲妻をもたらす。 —マーロウ『ファウスト博士』 滝から数十ヤード上流、滑らかに流れる小川は、落下の予感を感じ取っているかのようだ。水は速さを増し、震え始める。個々の小流は、粗く脈打つ静脈のように際立っている。ミッチェル・ファイゲンバウムは小川のそばに立っている。彼はスポーツコートとコーデュロイのパンツを着て少し汗をかきながら、タバコを吸っている。友人たちと歩いていたが、彼らは上流の静かなプールへと先に進んでしまった。突然、彼は狂ったような高速のテニス観戦者のパロディのように、頭を左右に振り始める。「何かに焦点を合わせることができる、泡の一部とかね。頭を速く動かすと、突然、表面全体の構造を見分けることができて、それをお腹で感じることができる。」彼はタバコからさらに煙を吸い込む。「でも、数学のバックグラウンドを持つ人にとっては、これを見たり、泡が重なった雲を見たり、嵐の中で海岸の壁に立ったりすると、本当に何も知らないことが分かる。」 混沌の中の秩序。それは科学の最も古いクリシェだった。自然界における隠れた統一性と共通の基盤となる形のアイデアには本質的な魅力があり、残念ながら擬似科学者や変人を刺激する歴史があった。ファイゲンバウムが1974年にロスアラモス国立研究所に来たとき、彼は30歳の誕生日を目前に控えていた。物理学者たちがこのアイデアを活かすためには、実用的な枠組み、アイデアを計算に変える方法が必要だと知っていた。問題に対する最初のアプローチをどうするかは明らかではなかった。ファイゲンバウムは、1973年にコーネル大学から理論部門を引き継ぐためにやってきた、落ち着いていて一見親しげな物理学者ピーター・キャラザーズに雇われた。彼の最初の行動は、半ダースの上級科学者を解雇することだった—ロスアラモスではスタッフに大学の終身雇用に相当するものは提供されない—そして、自分が選んだ若い優秀な研究者たちに置き換えた。科学的なマネージャーとして、彼は強い野心を持っていたが、良い科学は常に計画できるわけではないことを経験から知っていた。 「もしあなたが研究室やワシントンで委員会を設立し、『乱流は本当に私たちの妨げになっている。理解しなければならない。理解が不足していることが、多くの分野での進展のチャンスを台無しにしている』と言ったとしたら、もちろん、チームを雇い、大型コンピュータを手に入れ、大規模なプログラムを実行し始めるでしょう。しかし、結局は何も進展しないでしょう。代わりに、私たちはこの賢い男を見つけました。彼は静かに座っていて、人と話すこともありますが、ほとんどは一人で作業をしています。」彼らは乱流について話し合っていましたが、時間が経つにつれて、キャルザーズでさえフェイゲンバウムがどこに向かっているのか確信が持てなくなりました。「彼は辞めて別の問題を見つけたのだと思っていました。しかし、私が知らなかったのは、その別の問題が同じ問題だったということです。多くの異なる科学分野がこの問題に行き詰まっていたようです。彼らはシステムの非線形挙動のこの側面に行き詰まっていました。今、誰もこの問題に対する正しい背景が粒子物理学を知ること、量子場理論について何かを知ること、そして量子場理論において再正規化群と呼ばれる構造が存在することを理解する必要があるとは思わなかったでしょう。確率過程の一般理論やフラクタル構造を理解する必要があることも、誰も知りませんでした。「ミッチェルは正しい背景を持っていました。彼は適切な時に適切なことを行い、それを非常にうまくやりました。部分的なものではなく、問題全体を解決しました。」 フェイゲンバウムは、ロスアラモスに、彼の科学が難しい問題、すなわち非線形問題を理解できていないという確信を持ってやってきました。彼は物理学者としてほとんど何も生み出していませんでしたが、異常な知的背景を蓄積していました。彼は最も挑戦的な数学的解析に関する鋭い実務的知識を持ち、多くの科学者を限界まで押し上げる新しい計算技術を習得していました。彼は18世紀のロマン主義からの一見非科学的なアイデアを自分から排除することなく、科学を新しくしたいと考えていました。彼は実際の複雑さを理解することを考えるのをやめ、代わりに見つけられる最も単純な非線形方程式に目を向け始めました。 宇宙の神秘は、戦後間もなくブルックリンのフラットブッシュ地区にある両親のリビングルームに置かれたシルバートーンラジオを通じて、4歳のミッチェル・フェイゲンバウムに初めて現れました。彼は、何の具体的な原因もなく音楽が届くという考えに目が回る思いでした。一方、蓄音機については理解していると感じていました。祖母から78回転レコードをかける特別な許可をもらっていました。父はニューヨーク港公社で働く化学者で、後にクレイロールで働きました。母は市の公立学校で教えていました。ミッチェルは最初、電気工学者になることを決めました。ブルックリンでは良い生活を送る職業として知られていました。しかし後に、ラジオについて知りたいことは物理学の中に見つかる可能性が高いことに気づきました。 彼は、ニューヨークの外れの地区で育った科学者たちの一世代を代表する人物であり、優れた公立高校（彼の場合はサミュエル・J・ティルデン高校）を経て、シティカレッジに進学し、輝かしいキャリアを築いていきました。ブルックリンで賢く育つことは、ある意味で知的な世界と他者の世界との間を不均一に進むことでした。彼は非常に若い頃、社交的であることが重要だと考え、それが暴力に遭わないための鍵だと見なしていました。しかし、学ぶことができると気づいたとき、何かが彼の中で変わりました。彼は友人たちから次第に距離を置くようになり、普通の会話には興味を持てなくなりました。大学の最終年のある時、彼は自分が思春期を逃してしまったことに気づき、人間性とのつながりを取り戻すための意図的なプロジェクトを始めました。彼はカフェテリアで静かに座り、学生たちが髭剃りや食べ物についておしゃべりするのを聞きながら、徐々に人と話すための科学を再学習していきました。1964年に卒業し、マサチューセッツ工科大学（MIT）に進学、1970年に素粒子物理学の博士号を取得しました。その後、コーネル大学とバージニア工科大学で4年間を過ごしましたが、若い大学の科学者にとって不可欠な、管理可能な問題に関する研究の安定した発表ができなかったため、実りのない時間となりました。ポスドクは論文を発表することが求められていました。時折、指導教官がファイゲンバウムにある問題がどうなったか尋ねると、彼は「そうですね、理解しました」と答えていました。 ロスアラモスに新たに配属されたカラザーズは、自身も優れた科学者であり、才能を見抜く能力に自信を持っていました。彼は知性を求めるのではなく、何か魔法の腺から流れ出るような創造性を求めていました。彼は、何も生み出していないように見えたコーネル大学の別の控えめな物理学者、ケネス・ウィルソンのケースを常に思い出していました。ウィルソンと長く話をした人は、彼が物理学を深く理解する能力を持っていることに気づくでしょう。したがって、ウィルソンのテニュア（終身在職権）の問題は真剣な議論の対象となりました。彼の未検証の可能性に賭けることをいとわない物理学者たちが勝利し、まるでダムが決壊したかのように、ウィルソンのデスクからは論文が溢れ出しました。その中には、1982年にノーベル賞を受賞することになる研究も含まれていました。ウィルソンの物理学への大きな貢献は、他の二人の物理学者、レオ・カダノフとマイケル・フィッシャーの研究とともに、カオス理論の重要な先駆けとなりました。彼らは独立して作業しながら、相転移における現象について異なる視点で考えていました。彼らは、物質が一つの状態から別の状態に変わる際の挙動、すなわち液体から気体、または非磁性から磁性への変化を研究していました。相転移は、二つの存在の領域の間の特異な境界として、高度に非線形な数学的性質を持つ傾向があります。ある一つの相における物質の滑らかで予測可能な挙動は、転移を理解する上ではほとんど役に立ちません。鍋の水は、沸騰点に達するまで規則的に加熱されます。 しかし、その後、温度の変化は一時停止し、液体と気体の分子界面で非常に興味深いことが起こります。1960年代にカダノフがこの問題を考察したとき、相転移は知的なパズルを提示しました。金属の塊が磁化される様子を考えてみてください。秩序ある状態に入るとき、金属は決断を下さなければなりません。磁石は一方向に向けることも、逆方向に向けることもできます。選択は自由ですが、金属の小さな部分すべてが同じ選択をしなければなりません。どうやって？選択の過程で、金属の原子は互いに情報を伝達しなければならないのです。カダノフの洞察は、そのコミュニケーションをスケーリングの観点から最も簡単に説明できるというものでした。実際、彼は金属を箱に分けることを想像しました。各箱はその隣接する箱とコミュニケーションを取ります。そのコミュニケーションを説明する方法は、任意の原子が隣接する原子とコミュニケーションを取る方法と同じです。したがって、スケーリングの有用性が生まれます。金属を考える最良の方法は、さまざまなサイズの箱を持つフラクタルのようなモデルで考えることです。このスケーリングのアイデアの力を確立するには、多くの数学的分析と実際のシステムに関する経験が必要でした。カダノフは、扱いにくい事柄を極めて美しく、自己完結した世界に変えたと感じていました。その美しさの一部は、その普遍性にありました。カダノフのアイデアは、臨界現象に関する最も顕著な事実、すなわち、これらの一見無関係な転移—液体の沸騰や金属の磁化—がすべて同じルールに従うことに骨組みを与えました。その後、ウィルソンは、全体の理論を再正規化群理論という枠組みの下にまとめる作業を行い、実際のシステムに関する計算を行うための強力な方法を提供しました。再正規化は1940年代に物理学に登場し、電子と光子の相互作用を計算することを可能にする量子理論の一部として機能しました。しかし、カダノフとウィルソンが懸念していた計算には、無限の量として扱う必要がある項目がいくつかあり、これは厄介で不快な問題でした。リチャード・ファインマン、ジュリアン・シュウィンガー、フリーマン・ダイソンなどの物理学者によって考案された方法でシステムを再正規化することで、無限大を取り除くことができました。そして、1960年代になって初めて、ウィルソンは再正規化の成功の根底にある基盤を掘り下げました。カダノフと同様に、彼もスケーリングの原則について考えました。粒子の質量のような特定の量は、常に固定されたものと見なされていました—日常の経験における物体の質量が固定されているように。再正規化のショートカットは、質量のような量が全く固定されていないかのように機能することで成功しました。そのような量は、観察されるスケールによって上下に浮かぶように見えました。それは不条理に思えました。しかし、それはベノワ・マンデルブロが幾何学的形状やイギリスの海岸線について認識していたことの正確な類似でした。その長さはスケールに依存して測定することができませんでした。 観測者の位置、つまり近くにいるのか遠くにいるのか、ビーチにいるのか衛星にいるのかによって、測定結果に影響を与える一種の相対性が存在しました。マンデルブロットも見たように、スケール間の変動は恣意的なものではなく、規則に従っていました。質量や長さの標準的な測定における変動は、別の種類の量が固定されていることを意味していました。フラクタルの場合、それは分数次元であり、計算可能であり、さらなる計算のためのツールとして使用できる定数でした。スケールに応じて質量が変動することを許すことで、数学者たちはスケール間の類似性を認識できるようになりました。計算のための地道な作業において、ウィルソンの再正規化群理論は、無限に密な問題への異なるアプローチを提供しました。それまで、高度に非線形な問題に取り組む唯一の方法は、摂動理論と呼ばれる手法でした。計算の目的のために、非線形問題が解ける線形問題にかなり近いと仮定します—ほんの少しの摂動があるだけです。線形問題を解き、残りの部分に対して複雑なトリックを行い、ファインマン図と呼ばれるものに展開します。必要な精度が高くなるほど、これらの苦痛を伴う図をたくさん作成しなければなりません。運が良ければ、計算は解に収束します。しかし、特に興味深い問題に直面すると、運は消えてしまうものです。フェイゲンバウムは、1960年代の他の若い素粒子物理学者たちと同様に、終わりのないファインマン図を描くことになりました。彼は、摂動理論が退屈で、明快さを欠き、愚かであるという確信を持つようになりました。そこで彼は、ウィルソンの新しい再正規化群理論を愛しました。自己相似性を認めることで、複雑さを一層ずつ縮小する方法を提供してくれたからです。実際には、再正規化群は決して完璧ではありませんでした。自己相似性を捉えるために、ちょうど良い計算を選ぶためにはかなりの独創性が必要でした。しかし、それは十分に機能し、しばしば物理学者たち、フェイゲンバウムを含む、にインスピレーションを与え、乱流の問題に挑戦させました。結局、自己相似性は乱流の特徴のように思えました。変動の上に変動、渦の上に渦があるのです。しかし、乱流の発生、つまり秩序あるシステムが混沌に変わる神秘的な瞬間についてはどうでしょうか。この遷移に関して、再正規化群が何かを示す証拠はありませんでした。例えば、この遷移がスケーリングの法則に従っているという証拠はありませんでした。 M.I.T.の大学院生だったフェイゲンバウムは、長年心に残る経験をしました。彼はボストンのリンカン貯水池の周りを友人たちと歩いていました。彼は4時間や5時間の散歩をする習慣を身につけ、心の中を流れる印象やアイデアの多様性に調和していました。この日、彼はグループから離れ、一人で歩くことになりました。彼はピクニックをしている人たちのそばを通り過ぎ、離れていくにつれて、時折振り返り、彼らの声の音を聞き、手がジェスチャーをしたり食べ物を取ったりする動きを見ていました。 突然、彼はその光景が理解不能な領域に踏み込んでしまったと感じた。人物たちはあまりにも小さく、はっきりと見分けることができなかった。行動は断片的で、無関係で、ランダムに思えた。彼に届くかすかな音は意味を失っていた。絶え間ない動きと理解しがたい生活の喧騒。ファイゲンバウムは、グスタフ・マーラーの言葉を思い出した。彼はその言葉を、マーラーの第二交響曲の第三楽章で表現しようとした感覚として捉えた。まるで、暗い夜の外から覗き込む明るく照らされた舞踏会の中で踊る人々の動きのように、音楽が聞こえないほどの距離から見ているかのようだった…人生はあなたにとって無意味に見えるかもしれない。ファイゲンバウムはマーラーの音楽を聴き、ゲーテを読み、その高いロマン主義的な態度に浸っていた。彼が最も楽しんだのは、ゲーテの『ファウスト』であり、世界に対する最も情熱的な考えと最も知的な考えが融合したその作品に没頭していた。もし彼にロマン主義的な傾向がなければ、貯水池での混乱の感覚を軽視していただろう。結局のところ、なぜ現象がより遠くから見ると意味を失うべきではないのか？物理法則はそれらが縮む理由をつまらない説明で提供していた。しかし、考え直してみると、縮小と意味の喪失の関係はそれほど明白ではなかった。物が小さくなると同時に理解不能になるのはなぜだろう？彼はこの体験を理論物理学の道具を使って真剣に分析しようとし、脳の知覚の仕組きについて何が言えるかを考えた。人間のやり取りを見て、それについて推論をする。感覚に与えられる膨大な情報を考えると、あなたの解読装置はそれをどう整理するのだろうか？明らかに、あるいはほぼ明らかに、脳は世界の物質の直接的なコピーを持っているわけではない。知覚のイメージと比較するための形やアイデアの図書館は存在しない。情報は柔軟な方法で保存され、驚くべき対比や想像の飛躍を可能にしている。外にはある種の混沌が存在し、脳は古典物理学よりもその中に秩序を見出す柔軟性を持っているようだ。同時に、ファイゲンバウムは色について考えていた。19世紀初頭の科学における小さな論争の一つは、イギリスのニュートンの支持者たちとドイツのゲーテとの間で色の本質についての意見の相違があった。ニュートン物理学にとって、ゲーテの考えは単なる疑似科学的な迷走に過ぎなかった。ゲーテは色を静的な量として捉え、分光計で測定し、蝶を段ボールに押し付けるように固定することを拒否した。彼は色は知覚の問題であると主張した。「光の均衡と反均衡の中で、自然は定められた限界内で振動する」と彼は書いた。「しかし、こうして私たちに空間と時間の中で提示される現象のすべての多様性と条件が生じる。」ニュートンの理論の試金石は、彼の有名なプリズムを使った実験だった。プリズムは白色光のビームを虹色に分解する。 ニュートンは、可視光スペクトル全体に広がる純粋な色が、白を生成するために加算される基本的な要素であることを理解しました。さらに、彼はひらめきによって、色が周波数に対応していると提案しました。彼は、振動する物体（古い言葉で言うと「コーパスル」）が、振動の速度に比例して色を生み出しているに違いないと想像しました。この考えを支持する証拠がほとんどなかったことを考えると、それは素晴らしい発想であると同時に、正当化しがたいものでした。赤とは何か？物理学者にとって、それは620から800ナノメートルの波長で放射される光です。ニュートンの光学は何千回もその正しさを証明しましたが、ゲーテの色に関する論文は忘れ去られていきました。ファイゲンバウムがそれを探しに行ったとき、ハーバード大学の図書館に唯一のコピーが取り除かれていることを発見しました。彼は最終的にコピーを見つけ、ゲーテが実際に色の研究において驚くべき実験を行っていたことを知りました。 ゲーテはニュートンと同様に、プリズムから始めました。ニュートンはプリズムを光の前に置き、分かれた光線を白い表面に投影しました。一方、ゲーテはプリズムを目の前に持ち、そこを通して見ました。彼は全く色を感じず、虹も個々の色合いも見えませんでした。白い表面や澄んだ青空をプリズム越しに見ると、同じ効果が得られました：均一性です。しかし、白い表面に小さな点があったり、空に雲が現れたりすると、色の爆発を目にしました。ゲーテは「光と影の相互作用」が色を生じさせると結論づけました。彼は、異なる色の光源によって投影される影の見え方を探求しました。彼はキャンドルや鉛筆、鏡や色付きのガラス、月光や日光、結晶、液体、色車を使って、さまざまな実験を行いました。 例えば、彼は夕暮れ時に白い紙の前でキャンドルを灯し、鉛筆を持ち上げました。キャンドルの光の中での影は鮮やかな青でした。なぜでしょう？白い紙は、日が沈む光の中でも、キャンドルの温かい光の中でも白く見えます。影はどのようにして白を青の領域と赤みがかった黄色の領域に分けるのでしょうか？ゲーテは「色は『暗さの度合い』であり、影に結びついている」と主張しました。何よりも、より現代的な言葉で言えば、色は境界条件や特異点から生まれます。ニュートンが還元主義的であったのに対し、ゲーテは全体論的でした。ニュートンは光を分解し、色の最も基本的な物理的説明を見つけました。ゲーテは花の庭を歩き、絵画を研究し、包括的な説明を求めました。ニュートンは色の理論を物理学全体の数学的な枠組みに当てはめましたが、ゲーテは幸運にも、あるいは不運にも、数学を嫌いました。ファイゲンバウムは、ゲーテが色について正しかったと自分に言い聞かせました。ゲーテの考えは、心理学者の間で人気のある、物理的現実とそれに対する変動する主観的知覚との区別をする単純な概念に似ています。 私たちが知覚する色は、時と人によって異なることは明らかです。しかし、ファイゲンバウムが理解したように、ゲーテの考えにはより真の科学が含まれていました。それは硬く、経験的でした。ゲーテは実験の再現性を繰り返し強調しました。彼にとって、色の知覚は普遍的で客観的なものでした。私たちの知覚とは独立した、定義可能な現実世界の赤さの質に対する科学的証拠は何だったのでしょうか？ファイゲンバウムは、人間の知覚、特に経験の混沌とした多様性をふるい分けて普遍的な特性を見出す知覚に対応するような数学的形式が何であるかを考え始めました。赤さは、ニュートン主義者が考えるような特定の光の帯域ではありません。それは混沌とした宇宙の領域であり、その境界を説明するのは容易ではありませんが、私たちの心は赤さを規則的かつ検証可能な一貫性で見出します。これらは、流体の乱流のような問題からは遠く離れた若い物理学者の考えでした。それでも、人間の心が知覚の混沌をどのように整理するのかを理解するためには、無秩序がどのように普遍性を生み出すのかを理解する必要があるでしょう。 ファイゲンバウムがロスアラモスで非線形性について考え始めたとき、彼は自分の教育が何の役にも立たなかったことに気づきました。非線形微分方程式の系を解くことは不可能であり、教科書に載っている特別な例を除いては、実際には役立つものはありませんでした。解ける問題に対して次々と修正を加える摂動法は、実際の問題に近いところにあることを期待するのは愚かに思えました。彼は非線形の流れや振動に関する文献を読み通し、合理的な物理学者を助けるものはほとんど存在しないと判断しました。計算機器は鉛筆と紙だけだったため、ファイゲンバウムはロバート・メイが人口生物学の文脈で研究した単純な方程式のアナログから始めることに決めました。それは高校生が幾何学で放物線を描くために使う方程式でした。これは y = r(x - x²) と書くことができます。x の各値は y の値を生み出し、その結果得られる曲線は、値の範囲における二つの数の関係を表します。もし x（今年の人口）が小さいと、y（来年の人口）は小さいですが、x よりも大きくなります；その曲線は急激に上昇します。もし x が範囲の中間にあると、y は大きくなります。しかし、放物線は平坦になり、再び下降するため、もし x が大きいと、y は再び小さくなります。これが生態モデルにおける人口崩壊の同等物を生み出し、非現実的な無制限の成長を防ぎます。メイとその後のファイゲンバウムにとって、重要なのはこの単純な計算を一度だけでなく、無限に繰り返すフィードバックループとして使用することでした。一つの計算の出力が次の入力としてフィードバックされます。グラフィカルに何が起こるかを見るために、放物線は非常に役立ちました。x 軸に沿って出発値を選び、放物線と交わるところまで線を引きます。そして、その結果得られる値を y 軸から読み取ります。 そして、新しい値で全てをやり直します。最初は、数列が放物線上をあちこち跳ね回り、その後、もしかしたらxとyが等しくなる安定した平衡に収束し、値が変わらなくなるかもしれません。精神的には、これは標準物理学の複雑な計算とはまったく異なるものでした。一度だけ解かれる迷路のような計算ではなく、これは繰り返し行われる単純な計算でした。数値実験者は、まるで化学者がビーカーの中で泡立つ反応を覗き込むように、その様子を見守りました。ここでの出力はただの数字の列であり、常に安定した最終状態に収束するわけではありませんでした。二つの値の間で往復してしまうこともありました。また、メイが人口生物学者に説明したように、誰かが見ている限り、カオス的に変化し続けることもありました。これらの異なる挙動の選択は、調整パラメータの値に依存していました。ファイゲンバウムは、このわずかに実験的な種類の数値作業を行いながら、同時に非線形関数を分析するより伝統的な理論的手法も試みました。それでも、彼はこの方程式が何をすることができるのか全体像を把握することはできませんでした。しかし、可能性がすでに非常に複雑であり、分析するのが非常に困難であることは理解していました。また、ロスアラモスの数学者であるニコラス・メトロポリス、ポール・スタイン、マイロン・スタインの三人が1971年にそのような「地図」を研究していたことを知っており、ポール・スタインからはその複雑さが本当に恐ろしいものであると警告されました。この最も単純な方程式ですら扱いにくいのに、科学者が実際のシステムのために書くはるかに複雑な方程式はどうなるのでしょうか？ファイゲンバウムはその問題を棚上げしました。カオスの短い歴史の中で、この一見無害な方程式は、異なる種類の科学者たちが一つの問題を多様な視点から見ていたことを示す最も簡潔な例を提供しています。生物学者たちにとって、それはメッセージを持った方程式でした：単純なシステムでも複雑なことができるのです。メトロポリス、スタイン、スタインにとっては、問題は数値に依存せずにトポロジカルパターンのコレクションをカタログ化することでした。彼らは特定の点でフィードバックプロセスを開始し、次の値が放物線上をあちこち跳ね回るのを観察しました。値が右または左に移動するにつれて、彼らはRとLの列を記録しました。パターン番号1：R。パターン番号2：RLR。パターン番号193：RLLLLLRRLL。これらの列は数学者にとって興味深い特徴を持っており、常に同じ特別な順序で繰り返すように見えました。しかし、物理学者にとっては、それは不明瞭で退屈に見えました。その時、誰も気づいていませんでしたが、ローレンツは1964年に同じ方程式を気候に関する深い問いのメタファーとして見ていました。その問いは非常に深遠で、ほとんど誰も以前に考えたことがありませんでした：気候は存在するのか？つまり、地球の天候には長期的な平均があるのか？当時のほとんどの気象学者は、今もそうですが、その答えを当然のこととして受け入れていました。 確かに、どんなに変動があっても、測定可能な行動には必ず平均が存在するはずです。しかし、考えてみると、それは決して明白ではありません。ローレンツが指摘したように、過去12,000年間の平均的な気候は、北アメリカの大部分が氷に覆われていた前の12,000年間の平均とは著しく異なります。一つの気候が何らかの物理的理由で別の気候に変わったのでしょうか？それとも、これらの期間は単なる変動に過ぎない、より長期的な気候が存在するのでしょうか？あるいは、天候のようなシステムは決して平均に収束しない可能性があるのでしょうか？ローレンツはさらに別の質問を投げかけました。もし、実際に天候を支配する完全な方程式のセットを書くことができたとしたら、つまり神のコードを持っていたとしたら、温度や降水量の平均統計を計算することができるのでしょうか？もし方程式が線形であれば、答えは簡単に「はい」になります。しかし、彼らは非線形です。神が実際の方程式を提供していないため、ローレンツは代わりに二次差分方程式を調べました。メイと同様に、ローレンツはまず、あるパラメータを与えたときに方程式が反復されるとどうなるかを調べました。低いパラメータでは、方程式は安定した固定点に達するのを見ました。そこでは、確かにシステムは「気候」を最も単純な意味で生み出しました—「天候」は決して変わりませんでした。高いパラメータでは、二つの点の間での振動の可能性を見ましたが、そこでもシステムは単純な平均に収束しました。しかし、ある点を超えると、ローレンツは混沌が生じることを見ました。彼は気候について考えていたため、継続的なフィードバックが周期的な振る舞いを生むかどうかだけでなく、平均的な出力がどうなるかも尋ねました。そして、彼はその答えが平均も不安定に変動することだと認識しました。パラメータの値がわずかに変わるだけで、平均が劇的に変わることもあり得ます。類推として、地球の気候は平均的な長期的な振る舞いに安定して収束することはないかもしれません。ローレンツの気候に関する研究は、数学論文としては失敗でした—彼は公理的な意味で何も証明していませんでした。物理学論文としても、彼は地球の気候について結論を引き出すためにそんなに単純な方程式を使うことを正当化できなかったため、深刻な欠陥がありました。しかし、ローレンツは自分が言っていることを理解していました。「著者は、この類似性は単なる偶然ではなく、差分方程式が流れの一つの状態から別の状態への遷移の多くの数学を捉えていると感じている。実際、全体の不安定性の現象も。」20年後でも、誰もこの大胆な主張を正当化する直感を理解できませんでした。この主張はスウェーデンの気象学雑誌「テッルス」に掲載されました。（「テッルス！ 誰もテッルスを読まない」と物理学者は苦々しく叫びました。）ローレンツは、気象学の言葉では表現できないほど、混沌としたシステムの特異な可能性をますます深く理解し始めていました。 ローレンツは、動的システムの変化するマスクを探求し続ける中で、二次マップよりも少し複雑なシステムが、他の予期しないパターンを生み出すことができることに気づきました。特定のシステムの中には、複数の安定した解が隠れている可能性があります。観察者は非常に長い時間にわたってある種の振る舞いを目にするかもしれませんが、システムにとっては全く異なる振る舞いも同様に自然なものであり得ます。このようなシステムは「非遷移的」と呼ばれます。非遷移的なシステムは、一方の平衡状態またはもう一方の平衡状態のいずれかに留まることができますが、両方には留まれません。外部からの刺激がなければ、状態を変えることはできません。簡単な例として、標準的な振り子時計は非遷移的なシステムです。巻きばねやバッテリーからエスケープメント機構を通じて一定のエネルギーが供給され、摩擦によって一定のエネルギーが失われます。明らかな平衡状態は、規則的な振り子の動きです。通行人が時計をぶつけると、振り子は一時的な衝撃で速くなったり遅くなったりするかもしれませんが、すぐに平衡状態に戻ります。しかし、時計にはもう一つの平衡状態、すなわち振り子が真下に垂れ下がって動かない状態という、運動方程式に対する有効な解があります。より複雑な非遷移的システムとしては、気候そのものが考えられます。地球の大気や海の長期的な挙動をシミュレーションするためにグローバルなコンピュータモデルを使用する気候学者たちは、数年前から彼らのモデルが少なくとも一つの劇的に異なる平衡を許容していることを知っています。地質学的な過去の全期間にわたって、この代替的な気候は存在したことがありませんが、地球を支配する方程式の有効な解である可能性があります。これを「ホワイトアース気候」と呼ぶ気候学者もいます。大陸が雪に覆われ、海が氷に覆われた地球です。氷に覆われた地球は、入ってくる太陽放射の70％を反射し、非常に寒い状態を保つでしょう。大気の最下層である対流圏はずっと薄くなります。凍った表面を吹き抜ける嵐は、私たちが知っている嵐よりもずっと小さくなるでしょう。一般的に、この気候は私たちが知っている生命にとってはあまり好ましくないものになるでしょう。コンピュータモデルはホワイトアース平衡に陥る傾向が非常に強いため、気候学者たちはなぜそれが実現しなかったのか不思議に思っています。単なる偶然の問題かもしれません。地球の気候を氷河状態に押し込むには、何らかの外部からの大きな刺激が必要です。しかし、ローレンツは「ほぼ非遷移性」と呼ばれる別の信頼できる振る舞いについても説明しました。ほぼ非遷移的なシステムは、非常に長い時間にわたって一種の平均的な振る舞いを示し、特定の範囲内で変動します。そして、何の理由もなく異なる振る舞いに移行し、依然として変動しながら異なる平均を生み出します。コンピュータモデルを設計する人々はローレンツの発見を知っていますが、彼らはあらゆる手段を尽くしてほぼ非遷移性を避けようとしています。 それは非常に予測不可能です。彼らの自然なバイアスは、私たちが日々実際の地球で測定する平衡に強く戻る傾向を持つモデルを作ることです。そして、気候の大きな変化を説明するために、彼らは外部の原因を探します。例えば、地球の太陽の周りの軌道の変化などです。しかし、気候学者がほぼ非推移性を見て、地球の気候が長い氷河期に神秘的で不規則な間隔で入り込んだり出たりしている理由を説明できることは、特に想像力を必要としません。もしそうであれば、タイミングのために物理的な原因を見つける必要はありません。氷河期は単にカオスの副産物かもしれません。 自動火器の時代にコルト.45を懐かしむ銃コレクターのように、現代の科学者はHP-65の電卓に対してある種のノスタルジーを抱いています。この機械の数年間の優位性の中で、多くの科学者の作業習慣は永遠に変わりました。ファイゲンバウムにとって、それは鉛筆と紙から、まだ考案されていないコンピュータを使った作業スタイルへの架け橋でした。彼はローレンツのことを何も知らなかったが、1975年の夏、コロラド州アスペンでの集まりでスティーブ・スマイルが同じ二次差分方程式の数学的特性について話すのを聞きました。スマイルは、写像が周期的からカオスに変わる正確なポイントについて興味深い未解決の問題があると考えているようでした。スマイルは常に探求する価値のある質問に対する鋭い直感を持っていました。ファイゲンバウムは再びそれを調べることに決めました。彼は電卓を使って、解析代数と数値探索の組み合わせを用いて二次マップの理解を組み立て始め、秩序とカオスの境界領域に集中しました。比喩的に言えば、彼はこの領域が流体における滑らかな流れと乱流の神秘的な境界のようであることを知っていました。この領域は、ロバート・メイが以前は秩序あるサイクル以外の変化する動物の個体群の可能性に気づかなかった人口生物学者たちに注目を呼びかけたものでした。この領域におけるカオスへの道は、周期の倍増のカスケードであり、二周期が四周期に、四周期が八周期に分裂することでした。これらの分裂は魅力的なパターンを作り出しました。例えば、繁殖力のわずかな変化が、オオムラサキの個体群を四年周期から八年周期に変える可能性があるポイントでした。ファイゲンバウムは、分裂を生み出す正確なパラメータ値を計算することから始めることに決めました。結局、彼がその発見に至ったのは、電卓の遅さによるものでした。各周期倍増の正確なパラメータ値を計算するのに非常に時間がかかりました。チェーンを上に行くほど、時間がかかりました。もし彼が速いコンピュータを持っていたら、彼はパターンを観察できなかったかもしれません。しかし、彼は手で数字を書き留めなければならず、その間に考えなければならず、時間を節約するために次の答えがどこにあるかを推測しなければなりませんでした。 しかし、彼は一瞬で気づいた。推測する必要はなかったのだ。このシステムには予想外の規則性が隠れていた。数値は幾何学的に収束しており、まるで同じ電話柱が遠くの地平線に向かって収束していくようだった。もし2本の電話柱の大きさがわかれば、残りのすべてもわかる。2本目と1本目の比率は、3本目と2本目の比率とも同じであり、以下同様である。周期の倍増は単に速くなっているだけでなく、一定の速度で速くなっていた。なぜそうなるのだろうか？通常、幾何学的収束の存在は、どこかで何かが異なるスケールで繰り返されていることを示唆する。しかし、この方程式の中にスケーリングパターンがあったとしても、誰もそれを見たことがなかった。ファイゲンバウムは、自分の機械で可能な限りの精度で収束比率を計算し、3桁の小数点以下で4.669という数字を得た。この特定の比率には何か意味があるのだろうか？ファイゲンバウムは、数字に関心を持つ誰もがすることをした。彼はその日の残りの時間を、その数字を標準的な定数—nやeなど—に当てはめようと費やしたが、どれにも当てはまらなかった。奇妙なことに、ロバート・メイは後に、自分もこの幾何学的収束を見ていたことに気づいた。しかし、彼はそれを気づいた瞬間に忘れてしまった。メイの生態学的な視点から見ると、それは単なる数的特異性でしかなかった。彼が考えていた実世界のシステム、動物の個体群や経済モデルなどにおいては、避けられないノイズがそのような精密な詳細を圧倒してしまうだろう。彼をここまで導いた混沌とした状況が、重要なポイントで彼を止めてしまった。メイは方程式の粗い挙動に興奮していた。数値の詳細が重要になるとは想像もしていなかった。ファイゲンバウムは、自分が何を持っているのかを理解していた。なぜなら、幾何学的収束はこの方程式の中に何かがスケーリングしていることを意味し、スケーリングが重要であることを彼は知っていたからだ。すべての再正規化理論はそれに依存していた。明らかに無秩序なシステムの中で、スケーリングは何かの特性が変化する中で保存されていることを意味していた。方程式の乱れた表面の下には、何らかの規則性が潜んでいた。しかし、それはどこにあるのか？次に何をすべきかを見極めるのは難しかった。ロスアラモスの希薄な空気の中で、夏は急速に秋に移り変わり、10月もほぼ終わろうとしていたとき、ファイゲンバウムは奇妙な考えに襲われた。彼はメトロポリス、スタイン、スタインが他の方程式も見ており、特定のパターンが異なる種類の関数間で引き継がれることを発見したことを知っていた。同じRとLの組み合わせが現れ、同じ順序で現れていた。ある関数は数のサインを含んでおり、そのひねりがファイゲンバウムの慎重に練り上げた放物線方程式へのアプローチを無意味にした。彼はやり直さなければならなかった。そこで彼は再びHP-65を手に取り、xt+1 = r sin T Xtの周期倍増を計算し始めた。 ヘイゲンバウムは、三角関数の計算がプロセスを遅くしていることに気づき、より単純な方程式のバージョンと同様に、ショートカットを使えるかどうか考えました。確かに、数値をスキャンしていると、再び幾何学的に収束していることに気づきました。この新しい方程式の収束率を計算するだけの問題でした。再び彼の精度は限られていましたが、結果を小数点以下三桁で得ることができました：4.669。それは同じ数でした。驚くべきことに、この三角関数は単に一貫した幾何学的な規則性を示しているだけでなく、はるかに単純な関数と数値的に同一の規則性を示していました。形や意味が大きく異なる二つの方程式が同じ結果に至る理由を説明する数学的または物理的理論は存在しませんでした。ヘイゲンバウムはポール・スタインに電話をかけました。スタインは、そのような乏しい証拠で偶然の一致を信じる準備ができていませんでした。結局、精度は低かったのです。それでも、ヘイゲンバウムはニュージャージーにいる両親にも電話をかけ、彼が何か深いものを発見したことを伝えました。母親には、これが彼を有名にするだろうと言いました。それから彼は他の関数を試し、無秩序に至る過程で分岐の連続を経るものなら何でも考えました。どれも同じ数を生み出しました。ヘイゲンバウムは生涯数字で遊んできました。ティーンエイジャーの頃、彼はほとんどの人が表を見て計算する対数やサインを計算する方法を知っていました。しかし、彼は手のひらサイズの電卓より大きなコンピュータの使い方を学んだことはありませんでした—これは、機械的思考を軽蔑する傾向のある物理学者や数学者にとって典型的なことでした。しかし、今こそその時でした。彼は同僚にフォートランを教えてもらうよう頼み、日が暮れる頃には、さまざまな関数について彼の定数を小数点以下五桁で計算しました：4.66920。その夜、彼はマニュアルで倍精度について読み、翌日には4.6692016090まで到達しました—スタインを納得させるのに十分な精度です。しかし、ヘイゲンバウムは自分自身を納得させたかどうかは確信が持てませんでした。彼は規則性を探しに出かけたのです—それが数学を理解するということの意味でした—しかし、特定の種類の方程式、特定の物理システムが特別で特徴的な方法で振る舞うことを知ってもいました。結局、これらの方程式は単純でした。ヘイゲンバウムは二次方程式を理解し、サイン方程式も理解していました—数学は trivial でした。それでも、これら非常に異なる方程式の核心に何かがあり、それが繰り返し繰り返し現れ、一つの数を生み出していました。彼は何かを発見したのです：おそらく単なる好奇心；おそらく新しい自然の法則。想像してみてください、先史時代の動物学者が、あるものが他のものより重いと決定し—それには彼が「重さ」と呼ぶ抽象的な特性がある—このアイデアを科学的に調査したいと思っています。彼は実際には重さを測ったことがありませんが、そのアイデアについて何か理解していると思っています。彼は大きなヘビや小さなヘビを見ます。 蛇、大きなクマ、小さなクマを観察しながら、彼はこれらの動物の体重がサイズに何らかの関係があるのではないかと推測します。彼は秤を作り、蛇の重さを測り始めました。驚いたことに、すべての蛇は同じ重さでした。さらに困惑したことに、すべてのクマも同じ重さでした。そして、さらに驚くべきことに、クマの重さは蛇と同じでした。全ての動物は4.6692016090グラムでした。明らかに、彼が考えていた体重とは異なるものでした。この全体の概念は再考を必要としていました。流れる水、揺れる振り子、電子オシレーター—多くの物理システムは混沌への移行を経ており、その移行は分析するにはあまりにも複雑でした。これらはすべて、そのメカニズムが完全に理解されているように思えたシステムでした。物理学者たちは正しい方程式をすべて知っていましたが、方程式から全体的で長期的な挙動の理解に移ることは不可能に思えました。残念ながら、流体や振り子の方程式は、単純な一次元ロジスティックマップよりもはるかに難解でした。しかし、フェイゲンバウムの発見は、これらの方程式が本質的な問題とは関係がないことを示唆していました。秩序が現れると、それは突然元の方程式を忘れてしまったかのように思えました。二次関数であろうと三角関数であろうと、結果は同じでした。「物理学の伝統は、メカニズムを特定し、その後すべてが流れるというものです」と彼は言いました。「それが完全に崩れています。ここでは正しい方程式を知っているのに、それが役に立たないのです。すべての微視的な要素を合計しても、長期的にそれを拡張することはできません。それが問題の重要な部分ではないのです。それは知識の意味を完全に変えてしまいます。」 数値と物理学の関係は微弱でしたが、フェイゲンバウムは複雑な非線形問題を計算するための新しい方法を考案する必要があるという証拠を見つけました。これまでのところ、利用可能なすべての技術は関数の詳細に依存していました。もし関数が正弦関数であれば、フェイゲンバウムの慎重に計算された結果は正弦計算でした。彼の普遍性の発見は、これらの技術をすべて捨てなければならないことを意味していました。その規則性は正弦とは無関係でした。放物線とも無関係でした。特定の関数とも無関係でした。しかし、なぜでしょうか？それは苛立たしいことでした。自然は一瞬のうちにカーテンを引き、予期しない秩序の一端を見せてくれました。そのカーテンの向こうには何が隠れているのでしょうか？ インスピレーションが訪れたとき、それは二つの小さな波状の形と一つの大きな形のメンタルイメージという形でやってきました。それだけでした—彼の心に刻まれた明るく鮮明なイメージであり、意識の水面下で行われた膨大な思考処理の氷山の一角に過ぎないかもしれません。それはスケーリングに関するものであり、フェイゲンバウムに必要な道筋を与えました。彼はアトラクターを研究していました。彼のマッピングによって達成された安定した平衡状態は、すべての他の点を引き寄せる固定点です—どんな「初期の人口」であっても、それは安定してアトラクターに向かって跳ね返ります。 最初の周期倍増が起こると、アトラクタは細胞が分裂するように二つに分かれます。最初はこの二つの点はほとんど重なっていますが、パラメータが上昇するにつれて、次第に離れていきます。さらにもう一度周期倍増が起こり、アトラクタの各点が同時に再び分かれます。フェイゲンバウムの数は、周期倍増がいつ起こるかを予測する手助けをしました。彼はまた、このますます複雑になるアトラクタ上の各点の正確な値を予測できることを発見しました。二つの点、四つの点、八つの点……彼は年ごとの振動で達成される実際の個体数を予測することができました。さらに別の幾何学的収束がありました。これらの数もまた、スケーリングの法則に従っていました。フェイゲンバウムは、数学と物理学の間に忘れ去られた中間領域を探求していました。彼の仕事は分類が難しく、数学ではありませんでした。彼は何かを証明しているわけではなく、数字を研究していましたが、数学者にとって数字は投資銀行家にとってのコインの袋のようなもので、名目上は彼の職業の素材ですが、実際にはあまりにも具体的で gritty で、時間を浪費するには値しません。アイデアこそが数学者の本当の通貨です。フェイゲンバウムは物理学のプログラムを実行しており、奇妙なことに、それはほぼ実験物理学の一種でした。 混沌に焦点を当てる。単純な方程式を何度も繰り返す：ミッチェル・フェイゲンバウムは、単純な関数に注目し、一つの数を入力として受け取り、別の数を出力として生成しました。動物の個体数に関しては、関数は今年の個体数と来年の個体数との関係を表すことができます。このような関数を視覚化する一つの方法は、グラフを作成し、横軸に入力、縦軸に出力をプロットすることです。各可能な入力 x に対して、出力 y は一つだけであり、これらは太い線で表される形を形成します。そして、システムの長期的な挙動を表すために、フェイゲンバウムは任意の x から始まる軌道を描きました。各 y が同じ関数に新しい入力としてフィードバックされるため、彼は一種のスキーマ的ショートカットを使うことができました：軌道は x と y が等しい 45度の線で反発します。生態学者にとって、個体数の成長に最も明白な関数は線形であり、固定の割合で毎年安定した無限の成長を示すマルサス的シナリオです（左）。より現実的な関数はアーチを形成し、個体数が高くなりすぎると再び下がります。ここに示されているのは「ロジスティックマップ」で、関数 y = rx(1-x) によって定義される完璧な放物線です。ここで r の値は 0 から 4 までで、放物線の急勾配を決定します。しかし、フェイゲンバウムは、どのようなアーチを使うかは重要ではないことを発見しました。重要なのは、その関数に「隆起」があることです。ただし、その挙動は急勾配、すなわち非線形性の度合い、またはロバート・メイが「ブームとバスト」と呼んだものに敏感に依存していました。あまりにも浅い関数は絶滅を引き起こします。どんな初期の個体数も最終的にはゼロに至るのです。 傾斜を増すことで、伝統的な生態学者が期待する安定した平衡状態が生まれた。その点は、すべての軌道を引き寄せる一次元の「アトラクター」であった。ある限界を超えると、分岐が生じ、周期2の振動する個体群が現れた。その後、さらに周期が倍増し、最終的には（右下）軌道が全く安定しなくなる。こうしたイメージは、フェイゲンバウムが理論を構築しようとした際の出発点となった。彼は再帰的な考え方を始めた。関数の関数、さらにその関数の関数、という具合に続いていく。二つの隆起を持つ地図、そして四つの隆起へと進んでいった。彼の研究対象はメソンやクォークではなく、数と関数であった。それらには軌道や軌跡があり、彼はその振る舞いを探求する必要があった。彼は、後に新しい科学のクリシェとなる表現を使って直感を生み出す必要があった。彼の加速器と雲室はコンピュータであった。理論とともに、彼は方法論を構築していた。通常のコンピュータユーザーは問題を設定し、それを入力して機械が解を計算するのを待つ—一つの問題、一つの解。フェイゲンバウムとその後のカオス研究者たちは、もっと多くを必要としていた。彼らはローレンツが行ったように、ミニチュア宇宙を創造し、その進化を観察する必要があった。そして、この特徴やあの特徴を変えて、結果として生じる変化した軌道を観察することができた。彼らは、特定の特徴における小さな変化が全体の振る舞いに驚くべき変化をもたらす可能性があるという新たな確信を持っていた。フェイゲンバウムは、ロスアラモスのコンピュータ施設が彼が発展させようとしていた計算スタイルにどれほど不向きであるかをすぐに発見した。莫大な資源を持ちながらも、ほとんどの大学よりも遥かに多いにもかかわらず、ロスアラモスにはグラフや画像を表示できる端末がほとんどなく、その数少ない端末は武器部門にあった。フェイゲンバウムは数値を取り、地図上に点としてプロットしたいと考えていた。彼は、最も原始的な方法に頼らざるを得なかった。長い印刷用紙のロールに、スペースの行の後にアスタリスクやプラス記号を印刷して線を作るという方法である。ロスアラモスの公式方針は、一台の大きなコンピュータが多くの小さなコンピュータよりもはるかに価値があるというものであり—これは一つの問題、一つの解という伝統に伴うものであった。小さなコンピュータは奨励されなかった。さらに、各部門がコンピュータを購入するには厳しい政府のガイドラインと正式な審査を満たさなければならなかった。後に、理論部門の予算的な協力を得て、フェイゲンバウムは2万ドルの「デスクトップ計算機」の受取人となった。これにより、彼は方程式や画像をその場で変更し、調整し、コンピュータを楽器のように扱うことができるようになった。今のところ、真剣なグラフィックスが可能な端末は高セキュリティエリアにあり—地元の言葉で言うところのフェンスの向こう側にあった。フェイゲンバウムは、電話回線で中央コンピュータに接続された端末を使用しなければならなかった。 そのような環境で働く現実は、回線の向こうにあるコンピュータの生の力を実感するのを難しくしていた。最も単純な作業でさえ数分かかる。プログラムの一行を編集するには、リターンキーを押して待つ必要があり、ターミナルは絶え間なくハム音を立て、中央コンピュータは実験室内の他のユーザーと電子的なラウンドロビンを行っていた。彼は計算をしながら考えていた。彼が観察している複数のスケーリングパターンを生み出す新しい数学は何だろう？これらの関数には再帰的な性質があるに違いないと彼は気づいた。あるものの振る舞いは、内部に隠れた別のものの振る舞いに導かれているのだ。ひらめきの瞬間に彼の頭に浮かんだ波状のイメージは、ある関数が別の関数に合わせてスケーリングされる方法について何かを表現していた。彼は、無限大を扱いやすい量に圧縮するためのスケーリングを用いる再正規化群理論の数学を適用した。1976年春、彼はこれまでに経験したことのないほど強烈な存在モードに入った。彼はトランス状態のように集中し、猛烈にプログラミングし、鉛筆で走り書きし、再びプログラミングを続けた。Cのディビジョンに助けを求めることはできなかった。なぜなら、それは電話を使うためにコンピュータの接続を切ることを意味し、再接続は運任せだったからだ。彼は5分以上考えることもできなかった。なぜなら、コンピュータは自動的に彼の回線を切断してしまうからだ。時折、コンピュータがダウンすることもあり、そのたびに彼はアドレナリンで震えていた。彼は2ヶ月間休むことなく働き続けた。彼の機能的な一日は22時間だった。彼は一種の高揚感の中で眠りにつこうとし、2時間後には思考がちょうどそのままの状態で目を覚ました。彼の食事は厳密にコーヒーだけだった。（健康で平穏なときでさえ、ファイゲンバウムは可能な限り赤い肉、コーヒー、赤ワインだけで生きていた。彼の友人たちは、彼がタバコからビタミンを摂取しているに違いないと推測していた。）結局、医者が彼を止めた。彼は穏やかなバリウムの処方と強制的な休暇を勧めた。しかし、その時点でファイゲンバウムは普遍的な理論を創り上げていた。普遍性は美しさと有用性の違いを生み出した。数学者は、ある程度を超えると、計算のための技術を提供しているかどうかにはあまり関心を持たなくなる。物理学者は、ある程度を超えると、数値が必要になる。普遍性は、簡単な問題を解くことで物理学者がはるかに難しい問題を解決できるという希望を提供した。その答えは同じになるだろう。さらに、彼の理論を再正規化群の枠組みの中に置くことで、ファイゲンバウムは物理学者が計算のための道具として認識できるような形を与えた。ほぼ標準的なもののように。しかし、普遍性を有用にするものは、物理学者がそれを信じるのを難しくもした。普遍性は、異なるシステムが同じように振る舞うことを意味した。もちろん、ファイゲンバウムは単純な数値関数のみを研究していた。しかし、彼は自分の理論が秩序と乱流の間の遷移点にあるシステムに関する自然法則を表していると信じていた。 誰もが乱流が異なる周波数の連続スペクトルを意味することを知っており、異なる周波数がどこから来るのかを疑問に思っていました。突然、周波数が順番に現れるのが見えるようになりました。物理的な意味合いは、現実のシステムが同じように認識可能な方法で振る舞い、さらにそれが測定可能に同じであるということでした。ファイゲンバウムの普遍性は、単に質的なものではなく、量的なものであり、構造的なものだけでなく、計測的なものでした。それはパターンだけでなく、正確な数値にも及びました。物理学者にとって、それは信じがたいことでした。数年後、ファイゲンバウムは、すぐに取り出せるようにデスクの引き出しに拒絶通知の手紙を保管していました。その頃には、彼は必要な認知をすべて得ていました。彼のロスアラモスでの研究は、名声と資金をもたらす賞や栄誉を彼にもたらしました。しかし、彼が提出を始めてから2年間、トップの学術雑誌の編集者たちが彼の研究を出版に値しないと判断したことには、今でも不満が残っていました。あまりにも独創的で予想外の科学的発見が出版できないという考えは、やや傷ついた神話のように思えます。現代科学は、膨大な情報の流れと公正な査読システムを持っているため、好みの問題ではないとされています。ファイゲンバウムの原稿を返却したある編集者は、数年後にその論文が分野の転換点であったことを認識しましたが、それでもその論文は応用数学者の読者層には適していなかったと主張しました。その間にも、出版されなくても、ファイゲンバウムの発見は数学や物理学の特定のサークルで熱い話題となりました。理論の核は、現在の科学が広まる方法、つまり講演やプレプリントを通じて広まりました。ファイゲンバウムは会議で自らの研究を発表し、彼の論文のコピーを求めるリクエストが次々と寄せられました。 現代経済学は効率的市場理論に大きく依存しています。知識は場所から場所へ自由に流れると考えられています。重要な決定を下す人々は、ほぼ同じ情報にアクセスできるとされています。もちろん、無知や内部情報のポケットはあちこちに残っていますが、全体として、知識が公にされると、経済学者はそれがどこでも知られていると仮定します。科学の歴史家たちも、自らの効率的市場理論を当然のこととして受け入れています。発見がなされ、アイデアが表現されると、それは科学界の共通財産になると考えられています。各発見や新たな洞察は前のものに基づいています。科学は、レンガを一つずつ積み上げるように成長します。知的な年代記は、実質的には線形であることができます。この科学の見方は、明確に定義された問題の解決を待つ明確に定義された分野があるときに最もよく機能します。例えば、DNAの分子構造の発見を誤解する人はいませんでした。しかし、アイデアの歴史は必ずしもそう整然としているわけではありません。非線形科学が登場するにつれて、 異なる分野の奇妙な隅々において、アイデアの流れは歴史家たちの標準的な論理に従うことができなかった。カオスが独立した存在として現れることは、新しい理論や発見だけでなく、古いアイデアの遅れた理解の物語でもあった。多くのパズルのピースは、ポアンカレやマクスウェル、さらにはアインシュタインによってずっと前に見られていたが、その後忘れ去られてしまった。多くの新しいピースは、最初はほんの少数の内部者によってのみ理解された。数学的な発見は数学者によって理解され、物理学的な発見は物理学者によって理解され、気象学的な発見は誰にも理解されなかった。アイデアが広がる方法は、それが生まれる方法と同じくらい重要になった。各科学者は、個々の知的な親たちの私的な星座を持っていた。それぞれがアイデアの風景を独自に描いており、その描写はそれぞれの方法で限られていた。知識は不完全であり、科学者たちは自分の専門分野の慣習や自身の教育の偶然の経路によって偏っていた。科学の世界は驚くほど有限であることがある。科学者たちの委員会が歴史を新しい流れに押し込むことはなく、少数の個人がそれを成し遂げたのだ。それぞれの個人の認識と目標によって。後に、どの革新や貢献が最も影響力を持ったのかについての合意が形成され始めた。しかし、その合意には一定の修正主義的な要素が含まれていた。特に1970年代後半の発見の熱気の中では、二人の物理学者や数学者がカオスを全く同じように理解することはなかった。摩擦やエネルギー散逸のない古典的なシステムに慣れた科学者は、A.N.コルモゴロフやV.I.アルノルトの系譜に自らを位置づけるだろう。古典的な動的システムに慣れた数学者は、ポアンカレからビルコフ、レヴィンソン、スメールへと続く系譜を思い描くだろう。後に、数学者の星座はスメール、ガッケンハイマー、ルエルに中心を置くかもしれない。または、ロスアラモスに関連する計算志向の先祖たちを強調するかもしれない：ウラム、メトロポリス、スタイン。理論物理学者はルエル、ローレンツ、レッスラー、ヨークを考えるだろう。生物学者はスメール、ガッケンハイマー、メイ、ヨークを思い浮かべるだろう。可能な組み合わせは無限にあった。材料を扱う科学者—地質学者や地震学者—はマンデルブロの直接的な影響を認めるだろうが、理論物理学者はその名前をほとんど認識しないだろう。ファイゲンバウムの役割は特別な論争の源となるだろう。ずっと後、彼が半有名人の波に乗っていたとき、いくつかの物理学者は同じ問題に同時期に取り組んでいた他の人々を引用するためにわざわざ努力した。数年の誤差はあれど、彼を狭い範囲のカオス的な振る舞いに焦点を当てすぎていると非難する者もいた。「ファイゲンバウム学」は過大評価されている、と物理学者は言うかもしれない—確かに美しい作品ではあるが、例えばヨークの研究ほど広く影響力があるわけではない。1984年、ファイゲンバウムはスウェーデンのノーベルシンポジウムで講演するよう招待され、そこで論争が巻き起こった。 ベノワ・マンデルブロは、聴衆から「反フェイゲンバウム講演」と呼ばれる鋭い講演を行いました。彼は、フィンランドの数学者ミルバーグによる20年前の論文を掘り起こし、フェイゲンバウムの数列を「ミルバーグ数列」と呼び続けました。しかし、フェイゲンバウムは普遍性を発見し、それを説明する理論を作り上げました。それが新しい科学の転換点となったのです。驚くべき逆説的な結果を発表できなかった彼は、1976年8月のニューハンプシャーの会議、9月のロスアラモスでの国際数学会議、11月のブラウン大学での一連の講演を通じてその情報を広めました。この発見と理論は驚き、不信、興奮を呼び起こしました。非線形性について考えれば考えるほど、科学者たちはフェイゲンバウムの普遍性の力を感じました。ある科学者はこう言いました。「非線形システムには、正しい見方をすれば常に同じ構造が存在するという、非常に嬉しく衝撃的な発見でした。」一部の物理学者は、アイデアだけでなく技術も取り入れました。これらのマップで遊ぶこと—ただ遊ぶことが—彼らに鳥肌を立たせました。自分たちの計算機を使って、彼らはフェイゲンバウムがロスアラモスで感じた驚きと満足を体験しました。そして、彼らは理論を洗練させました。プリンストンの高等研究所で彼の講演を聞いた素粒子物理学者プレドラグ・チヴィタノビッチは、フェイゲンバウムが理論を簡素化し、その普遍性を拡張する手助けをしました。しかし、チヴィタノビッチはそれが単なる趣味であるかのように振る舞い、同僚たちに自分が何をしているのかを認めることができませんでした。数学者の間でも、フェイゲンバウムが厳密な証明を提供しなかったため、控えめな態度が支配的でした。実際、1979年になって初めて、オスカー・E・ランフォードIIIによる数学者の条件での証明が登場しました。フェイゲンバウムは、9月のロスアラモス会議での著名な聴衆に理論を発表したことをしばしば思い出しました。彼がその研究について説明を始めたばかりのとき、著名な数学者マーク・カッツが立ち上がり、「先生、数値を提示するつもりですか、それとも証明ですか？」と尋ねました。フェイゲンバウムは、「一方でもなく、もう一方でもない」と答えました。「それは、合理的な人が証明と呼ぶものですか？」と。フェイゲンバウムは、聴衆が自分で判断しなければならないと言いました。彼が話し終えた後、カッツに意見を求めると、カッツは皮肉を込めて「はい、それは確かに合理的な人の証明です。詳細は厳密な数学者に任せればいい」と答えました。 運動が始まり、普遍性の発見がそれを前進させました。1977年の夏、物理学者のジョセフ・フォードとジュリオ・カサティは、カオスと呼ばれる科学に関する初めての会議を組織しました。それは、イタリアのコモという小さな都市にある優雅な別荘で開催されました。この都市は、同名の湖の南側のふもとに位置し、イタリアアルプスの雪解け水が集まる驚くほど深い青色の貯水池です。100人が参加しました—主に物理学者ですが、他の分野からの好奇心旺盛な科学者たちもいました。 「ミッチは普遍性を見出し、それがどのようにスケールし、カオスに到達する方法を直感的に魅力的に解明しました」とフォードは言った。「これは、誰もが理解できる明確なモデルを初めて持った瞬間でした。そして、これは時代が求めていたものの一つでした。天文学から動物学に至るまで、人々は同じことを行い、狭い専門誌に発表していましたが、他の人々が周りにいることには全く気づいていませんでした。彼らは自分たちだけだと思い、自分の分野では少し風変わりな存在として見られていました。彼らは単純な質問を尽くし、より複雑な現象について心配し始めていました。そして、これらの人々は、他の誰もがそこにいることを知って涙を流すほど感謝していました。」 その後、ファイゲンバウムは、ベッドが一つある部屋、コンピュータがある別の部屋、そして彼のドイツ的なレコードコレクションを再生するための黒い電子タワーが三つある無機質な空間に住んでいました。彼がイタリアで購入した高価な大理石のコーヒーテーブルという唯一の家具の実験は失敗に終わり、大理石のチップの小包が届きました。壁には書類や本が山積みになっていました。彼は急いで話し、今は灰色と茶色が混ざった長い髪を前髪から後ろに流していました。「20年代に劇的な出来事がありました。特に理由もなく、物理学者たちは周囲の世界を本質的に正しく説明する理論に出くわしました。量子力学の理論は、ある意味で本質的に正しいのです。それは、土を使ってコンピュータを作る方法を教えてくれます。私たちが宇宙を操作する方法です。化学物質やプラスチックなどが作られる方法です。それを使って計算する方法を知っています。これは非常に優れた理論ですが、あるレベルでは理にかなっていません。」 「イメージの一部が欠けています。この理論に従った場合、方程式が本当に何を意味するのか、世界の説明はどのようなものかを尋ねると、それはあなたの世界観に基づく説明ではありません。粒子が軌道を持って動いていると考えることはできません。そのように視覚化することは許されていません。より微妙な質問をし始めると、この理論が世界をどのように見せるのかということに関して、最終的にはあなたの通常の物事の捉え方から非常に遠くなり、さまざまな矛盾に直面します。もしかしたら、それが本当に世界の姿なのかもしれません。しかし、あなたが直感的に物事を理解する方法からそれほど急激に逸脱しない別の情報の組み立て方が存在しないとは本当にわからないのです。」 「物理学には、世界を理解する方法として、その成分を隔離し続けて、本当に基本的だと思うものを理解するという根本的な前提があります。そして、理解できない他のものは詳細であると仮定します。」 前提として、物事を純粋な状態で見ることで見出せる少数の原則があるという考え方があります。これが真の分析的概念であり、より複雑な問題を解決したいときには、これらの原則を何らかの形で組み合わせる必要があります。もしできるならば。「結局、理解するためには考え方を切り替えなければなりません。重要な事象をどのように捉えるかを再構築する必要があります。コンピュータ上で流体システムのモデルをシミュレーションしようとすることもできたかもしれませんが、それはただ今始まったばかりのことです。しかし、実際に起こることは流体や特定の方程式とは関係がないため、努力を無駄にすることになります。これは、さまざまなシステムで物事が繰り返し作用する際に起こることの一般的な説明です。問題に対する異なる考え方が必要です。「この部屋を見てみると、あそこにゴミがあり、こちらに人が座っていて、あちらにドアがあるのが見えます。あなたは物質の基本原則を取り上げ、それらを記述するための波動関数を書き下すべきだと言われています。しかし、これは実現可能な考え方ではありません。神ならできるかもしれませんが、そのような問題を理解するための分析的思考は存在しません。「雲に何が起こるかを尋ねることは、もはや学術的な問題ではありません。人々は非常に知りたがっており、それはお金がかかるということを意味します。その問題は物理学の範疇にあり、同じレベルの問題です。あなたは複雑なものを見ており、現在の解決方法は、できるだけ多くのポイントを見て、雲の位置や暖かい空気の位置、速度などを把握することです。そして、それを手に入る最大の機械に入れ、次に何が起こるかの推定を試みます。しかし、これはあまり現実的ではありません。」 彼は一本のタバコを消し、別の一本に火をつけました。「異なる方法を探す必要があります。スケーリング構造、つまり大きな詳細が小さな詳細とどのように関係しているかを探る必要があります。流体の乱れや、持続的なプロセスによって複雑さが生じた構造を見てみましょう。あるレベルでは、プロセスのサイズがどれほどであれ、あまり気にしません。それはエンドウ豆のサイズでもバスケットボールのサイズでも構わないのです。プロセスはその場所を気にせず、さらにそれがどれくらいの期間続いているかも気にしません。普遍的であり得るものは、ある意味でスケーリングのものだけです。「ある意味で、アートは人間にとって世界がどのように見えるかについての理論です。私たちの周りの世界を詳細に知ることはできないことは明らかです。アーティストが成し遂げたことは、重要なものはほんの少しであることを認識し、それが何であるかを見出すことです。彼らは私の研究の一部を代わりに行ってくれるのです。ヴァン・ゴッホの初期の作品を見ると、無数の詳細が盛り込まれており、彼の絵には常に膨大な情報が含まれています。彼は明らかに、どれだけの情報を盛り込む必要があるのかを考えたのでしょう。」 あるいは、1600年頃のオランダのインク画に描かれた地平線を研究することもできます。そこには小さな木々や非常にリアルに見える牛が描かれています。よく見ると、木々には葉のような境界があるのですが、それだけではうまくいきません。そこには小枝のようなものも突き刺さっています。柔らかい質感と、よりはっきりとした線を持つものとの間には明確な相互作用があります。なぜかその組み合わせが正しい認識を与えてくれます。ルイスダールやターナーの作品を見てみると、彼らが複雑な水を構築する方法は明らかに反復的な方法で行われています。あるレベルのものがあり、その上にさらに何かが描かれ、そしてそれに対する修正が加えられます。これらの画家にとって、激しい流体は常にスケールの概念を含んでいます。「私は本当に雲を描写する方法を知りたいと思っています。しかし、ここにこの密度の部分があって、その隣にこの密度の部分があると言うことは、あまりにも詳細な情報を蓄積することになると思います。それは人間がそれらのものを認識する方法ではありませんし、アーティストがそれらを認識する方法でもありません。部分微分方程式を書くことは、問題に対して作業をしたことにはならないのです。」彼はタバコを置きました。灰皿から煙が立ち上り、最初は細い柱のように、次に（普遍性への nod）断片的なつるのように天井に向かって渦を巻きました。 実験者 それは他のどの経験とも異なる体験であり、科学者にとって最も素晴らしい出来事です。自分の心の中で起こったことが、自然界で実際に起こることに正確に対応していることを実感するのです。それが起こるたびに驚きます。自分の心の中の構築物が、実際の世界で実現できることに驚かされます。大きな衝撃と、非常に大きな喜びです。 —レオ・カダノフ「アルバートは成熟してきている。」 彼らはエコール・ノルマル・シュペリウールでそう言いました。このアカデミーは、エコール・ポリテクニークと共にフランスの教育階層の頂点に位置しています。彼らは、低温物理学者として名を馳せ、絶対零度に近い温度で超流動ヘリウムの量子挙動を研究していたアルバート・リブチャバーに年齢が影響を与えているのではないかと考えました。彼は名声を持ち、教員としての安定した地位を確保していました。しかし、1977年、彼は些細に思える実験に時間と大学の資源を浪費しているのではないかと心配していました。リブチャバー自身は、そのようなプロジェクトに従事する大学院生のキャリアを危険にさらすことを懸念し、代わりにプロのエンジニアの助けを借りました。ドイツがパリに侵攻する5年前、リブチャバーはそこでポーランド系ユダヤ人の息子として生まれ、ラビの孫でした。彼は、ベノワ・マンデルブロと同じように、両親と離れ、田舎に隠れることで戦争を生き延びました。両親のアクセントが危険すぎたからです。 彼の両親は生き延びたが、家族の他のメンバーはナチスによって失われた。政治的な運命の皮肉として、リブチャバー自身の命は、ペタン秘密警察の地元の首長によって守られた。この男は、熱心な右翼の信念と同じくらい熱心な反人種主義者だった。戦後、10歳の少年は恩返しをした。彼は戦争犯罪委員会の前で証言し、半分理解しながらも、その証言がその男を救った。フランスの学術科学の世界を渡り歩く中で、リブチャバーは職業的に出世し、その才能は疑問視されることはなかった。彼の同僚たちは時々、彼が少し狂っていると思っていた—合理主義者の中にいるユダヤ人の神秘主義者、ほとんどの科学者が共産主義者である中でのゴーリスト。彼の歴史に関する「偉大な人」理論や、ゲーテへの執着、古い本への熱中について冗談を言っていた。彼は科学者の著作のオリジナル版を何百冊も持っており、その中には1600年代にさかのぼるものもあった。彼はそれらを歴史的な好奇心としてではなく、現実の本質についての新しいアイデアの源として読んでいた。彼がレーザーや高技術の冷却コイルで探求しているのと同じ現実を。彼のエンジニア、ジャン・モーラーは、気の合う仲間を見つけた。モーラーは、気が向いたときだけ働くフランス人だった。リブチャバーは、モーラーが自分の新しいプロジェクトを面白いと思うだろうと考えた—彼の控えめなガリックな婉曲表現は、興味深い、刺激的、または深遠なことを意味していた。1977年、二人は乱流の発生を明らかにする実験を構築するために出発した。実験者としてのリブチャバーは、19世紀のスタイルで知られていた：賢い頭脳、器用な手、常に力任せよりも独創性を好んだ。彼は巨大な技術や重い計算が嫌いだった。彼にとって良い実験とは、数学者にとっての良い証明のようなもので、優雅さは結果と同じくらい重要だった。それでも、一部の同僚は、彼の乱流発生実験が行き過ぎていると思っていた。それはマッチ箱に収まるほど小さく、時にはリブチャバーはそれを持ち歩き、ある種の概念芸術のように扱った。彼はそれを「小さな箱の中のヘリウム」と呼んだ。実験の核心はさらに小さく、レモンの種ほどの大きさのセルで、ステンレス鋼で作られ、できるだけ鋭いエッジと壁を持っていた。そのセルには、絶対零度から約4度上に冷却された液体ヘリウムが供給された。これは、リブチャバーの古い超流動実験に比べると温かいものだった。実験室はパリのエコール物理学ビルの2階にあり、ルイ・パスツールの古い実験室から数百フィートの距離にあった。すべての良い汎用物理学実験室のように、リブチャバーの実験室は常に混沌とした状態にあり、ペンキ缶や手工具が床やテーブルに散乱し、奇妙なサイズの金属やプラスチックがあちこちにあった。その混乱の中で、リブチャバーの微小な流体セルを保持する装置は、目的意識の強い印象的なものであった。ステンレス鋼のセルの下には高純度の銅製の底板があり、その上にはサファイアクリスタル製の上板があった。材料は熱の伝導性に基づいて選ばれた。 小さな電気加熱コイルとテフロン製のガスケットがありました。液体ヘリウムは、わずか半インチの立方体の貯蔵タンクから流れ出ていました。全体のシステムは、極度の真空を維持する容器の中に収められていました。そしてその容器は、温度を安定させるために液体窒素の浴に浸かっていました。振動は常にリブチャバーを悩ませました。実験は、実際の非線形システムと同様に、常に背景にノイズが存在していました。ノイズは測定を妨げ、データを歪めました。特に敏感な流れでは、リブチャバーの実験もできる限り敏感にする予定でしたが、ノイズが非線形の流れを急激に乱し、ある種の挙動から別の挙動に変わる可能性がありました。しかし、非線形性はシステムを不安定にするだけでなく、安定させることもできます。非線形フィードバックは運動を調整し、より頑強にします。線形システムでは、摂動は一定の効果を持ちますが、非線形性が存在する場合、摂動は自己増幅し、最終的には消えていき、システムは自動的に安定した状態に戻ります。リブチャバーは、生物システムがノイズに対する防御としてその非線形性を利用していると信じていました。タンパク質によるエネルギーの移動、心臓の電気の波動、神経系—これらはすべて、騒がしい世界の中でその多様性を保っていました。リブチャバーは、流体の流れの背後にある構造が彼の実験で検出できるほど頑強であることを期待していました。 リブチャバーの繊細な実験の中心は、液体ヘリウムを含む慎重に加工された長方形のセルでした。小さなサファイア製の「ボロメーター」が流体の温度を測定しました。この小さなセルは、ノイズや振動から保護し、加熱を正確に制御できるように設計されたケースに埋め込まれていました。彼の計画は、底面を上面よりも温かくすることで、液体ヘリウムに対流を生み出すことでした。これは、エドワード・ローレンツによって説明された対流モデル、すなわちレイリー・ベナール対流として知られる古典的なシステムそのものでした。リブチャバーはローレンツのことをまだ知らず、ミッチェル・ファイゲンバウムの理論についても全くの無知でした。1977年、ファイゲンバウムは科学講演の巡業を始めており、彼の発見は科学者たちがそれを解釈できる場所で注目を集めていました。しかし、ほとんどの物理学者にとって、ファイゲンバウムのパターンや規則性は実際のシステムとの明らかな関連性を持たないように見えました。それらのパターンはデジタル計算機から生まれたもので、物理システムは無限に複雑でした。さらなる証拠がなければ、誰もが言えることは、ファイゲンバウムが乱流の始まりのように見える数学的アナロジーを発見したということだけでした。 リブシャバーは、アメリカとフランスの実験が、乱流の発生に関するランダウの考えを弱めたことを知っていました。それは、乱流が異なる周波数の連続的な積み重ねではなく、突然の移行として現れることを示したからです。ジェリー・ゴラブやハリー・スウィニーのような実験者たちは、回転するシリンダー内の流れを用いて新しい理論が必要であることを示しましたが、混沌への移行を明確に観察することはできませんでした。リブシャバーは、実験室で乱流の発生の明確なイメージが浮かび上がっていないことを知り、自身の小さな流体セルが最大限の明瞭さを持つ画像を提供できると決意しました。視野の狭まりは科学の進展を助けます。流体力学者たちの見解によれば、スウィニーとゴラブがクエット流で達成したと主張する高い精度を疑うのは正当でした。また、数学者たちがルエルに対して不満を抱くのも理解できます。彼はルールを破り、厳密な数学的表現の形を借りて野心的な物理理論を提唱しました。彼は、彼が仮定したことと彼が証明したことを分けるのが難しいようにしました。定理、証明、定理、証明の基準を満たすまでアイデアを支持しない数学者は、意識的であれ無意識的であれ、詐欺や神秘主義者に対して見張りを立てる役割を果たしています。新しいアイデアを馴染みのないスタイルであるがゆえに却下するジャーナルの編集者も、確立された同僚のために自分のテリトリーを守っているかのように思わせるかもしれませんが、彼にもまた、未試験のものに警戒する理由のあるコミュニティにおいて果たすべき役割があります。「科学は多くのナンセンスに対抗して構築された」とリブシャバー自身が言ったように、彼の同僚たちがリブシャバーを神秘主義者と呼ぶとき、その呼称が必ずしも親しみを込めたものではないこともありました。 彼は実験者であり、慎重で規律正しく、物質を探求する際の精度で知られていました。しかし、彼は流れと呼ばれる抽象的で定義が曖昧な、幽霊のようなものに対する感覚を持っていました。流れは形と変化、運動と形態の組み合わせでした。物理学者は、微分方程式のシステムを考える際、その数学的な動きを流れと呼ぶでしょう。流れはプラトン的な概念であり、システムの変化が特定の瞬間とは独立した何らかの現実を反映していると仮定しています。リブシャバーは、隠れた形が宇宙を満たしているというプラトンの感覚を受け入れました。「でも、あなたはそれを知っていますよね！葉を見たことがあります。すべての葉を見たとき、一般的な形の数が限られていることに驚かされませんか？主要な形を簡単に描くことができます。それを理解しようとすることは興味深いでしょう。他の形についても。実験では、液体が液体に浸透するのを見たことがあります。」彼の机の上には、そのような実験の写真が散らばっており、液体の太いフラクタルの指のようでした。「さて、あなたのキッチンでガスを点けると、炎が再びこの形をしています。とても広がっています。普遍的です。燃える炎であろうと、液体の中の液体であろうと、成長する固体の結晶であろうと、私が興味を持っているのはこの形です。」 「18世紀以来、科学が空間における形の進化や時間における形の進化を見逃しているという夢のようなものが存在してきました。流れを考えるとき、経済の流れや歴史の流れなど、さまざまな形で考えることができます。最初は層流で、その後、より複雑な状態に分岐し、時には振動を伴うこともあります。そして、最終的にはカオス的になることもあります。」 形の普遍性、スケールを超えた類似性、流れの中の流れの再帰的な力—これらはすべて、変化の方程式に対する標準的な微分計算アプローチの手の届かないところにありました。しかし、それを見つけるのは容易ではありませんでした。科学的な問題は、利用可能な科学的言語で表現されます。これまでのところ、20世紀におけるリブチャバーの流れに関する直感の最良の表現は詩の言葉を必要としていました。例えば、ウォレス・スティーブンズは、物理学者たちが持っている知識を超えた世界に対する感覚を主張しました。彼は流れについて、変わりながらも繰り返すという不気味な疑念を抱いていました。 「斑点のある川は、流れ続け、二度と同じ流れ方をせず、さまざまな場所を流れながら、まるで一つの場所で静止しているかのようでした。」 スティーブンズの詩は、しばしば大気や水の中の混乱のビジョンを伝えます。また、自然における秩序の目に見えない形についての信念も表現しています。「影のない大気の中で、物事の知識は周囲に存在するが、認識されていない。」 1970年代にリブチャバーや他の実験者たちが流体の動きに目を向け始めたとき、彼らはこのような反体制的な詩的意図に近いものを持っていました。彼らは動きと普遍的な形との関係を疑っていました。彼らは、数字を書き留めたりデジタルコンピュータに記録したりする唯一の方法でデータを蓄積しました。しかし、その後、データを整理して形を明らかにする方法を探しました。彼らは、動きの観点から形を表現することを望んでいました。彼らは、炎のような動的な形や葉のような有機的な形が、まだ理解されていない力の織り成す何かからその形を借りていると確信していました。カオスを最も執拗に追求したこれらの実験者たちは、静止した現実を受け入れないことで成功を収めました。リブチャバー自身もそのような表現には至らなかったでしょうが、彼らの考えはスティーブンズが感じた「固体の不安定な膨らみ」に近いものでした。 「栄光の活力、静脈の中でのきらめき、物事が現れ、動き、溶けていく様子、距離、変化、または無の中で、夏の夜の目に見える変容、形に近づくアルゼンチンの抽象、そして突然自らを否定する。」 リブチャバーにとって、スティーブンズではなくゲーテが神秘的なインスピレーションを与えていました。ファイゲンバウムがハーバードの図書館でゲーテの『色彩論』を探している間に、リブチャバーはさらに難解なモノグラフ『植物の変態について』の初版をコレクションに加えることに成功していました。 これはゲーテが物理学者に対して行った横槍のようなもので、彼は物理学者が静的な現象だけを心配し、瞬間ごとに私たちが見る形を生み出す生命力や流れについては考慮していないと信じていました。ゲーテの遺産の一部—文学史家にとっては取るに足らない部分ですが—は、ルドルフ・シュタイナーやテオドール・シュヴェンクのような哲学者によって支えられたドイツとスイスにおける擬似科学的な支持者たちでした。リブチャバーもまた、物理学者として彼らを尊敬していました。「敏感な混沌」—Das sensible Chaos—はシュヴェンクが力と形の関係を表現するために使った言葉です。彼は1965年に初版が出版された奇妙な小さな本のタイトルにこの言葉を用いました。その後も時折印刷されたりされなかったりしました。この本はまず水についてのものでした。英語版にはジャック・Y・クストー指揮官からの称賛の前書きや、水資源公報、土木技術者協会のジャーナルからの推薦文が掲載されていました。シュヴェンクの説明には科学的な見せかけはほとんどなく、数学に関しては全くありませんでした。それでも彼は完璧に観察していました。彼は芸術家の目で自然の流れる形を数多く示しました。彼は写真を集め、細胞生物学者が初めて顕微鏡を覗き込むときのスケッチのように、正確な図を何十枚も描きました。彼にはオープンマインドと素朴さがあり、それはゲーテを誇りに思わせるものでした。流れが彼のページを満たしています。ミシシッピ川やフランスのバッシン・ダルカションのような大河は、海に向かって広い曲線を描いて蛇行しています。海そのものでも、メキシコ湾流が東西に揺れ動きながら蛇行しています。シュヴェンクが言ったように、それは冷たい水の中にある温かい水の巨大な川であり、「冷たい水自体から自らの岸を築く」川です。流れ自体が過ぎ去ったり見えなくなったりしても、流れの証拠は残ります。空気の川は砂漠の砂にその痕跡を残し、波を示します。引き潮の流れはビーチに静脈のネットワークを刻みます。シュヴェンクは偶然を信じていませんでした。彼は普遍的な原則を信じ、普遍性以上に、自然の中にある特定の精神を信じていました。それが彼の文章を不快なほど擬人化させるものでした。彼の「原型的原則」はこうです：流れは「周囲の物質に関係なく、自らを実現したがっている」ということです。 彼は、流れの中には二次的な流れがあることを知っていました。曲がりくねった川を流れる水は、二次的には川の軸の周りを流れ、一方の岸に向かい、川底に降り、反対の岸に向かい、表面に向かって上昇します。これはドーナツの周りを螺旋状に回る粒子のようです。水の粒子の軌跡は、他の糸の周りをねじれたひもを形成します。シュヴェンクはそのようなパターンに対してトポロジストの想像力を持っていました。「この螺旋状にねじれた糸の図は、実際の動きに関してのみ正確です。水の『糸』について語ることはよくありますが、実際にはそれらは単一の糸ではなく、空間的に絡み合いながら互いに流れ合う全体の表面です。」彼は波の中で競い合うリズム、波が互いに追い越し、表面を分け、境界層を形成する様子を見ました。 彼は渦や渦巻き、渦列を見て、それらを一つの表面が別の表面の周りを「転がる」ものとして理解しました。ここで彼は、哲学者として物理学者の乱流の動力学に対する概念に非常に近づきました。彼の芸術的な信念は普遍性を前提としていました。シュヴェンクにとって、渦は不安定さを意味し、不安定さは流れが内部の不均衡と戦っていることを示し、その不均衡は「原型的」なものでした。彼の見解では、渦の転がり、シダの開花、山脈のしわ、動物の器官の空洞化はすべて一つの道に従っていました。それは特定の媒介や特定の種類の違いとは関係がありませんでした。不均衡は遅いものや速いもの、暖かいものや冷たいもの、濃いものや希薄なもの、塩辛いものや淡水、粘性のあるものや流動的なもの、酸性やアルカリ性のものなど、さまざまな形をとることができました。境界において、生命が花開きます。しかし、生命はダーシー・ウェントワース・トンプソンの領域でした。この驚異的な自然主義者は1917年に次のように書きました。「エネルギーのすべての法則、物質のすべての特性、すべてのコロイドの化学が、身体を説明するのに無力であり、魂を理解するのに無力であるかもしれません。私自身はそうは思いません。」ダーニー・トンプソンは、シュヴェンクが致命的に欠いていたもの、すなわち数学を生命の研究に持ち込みました。シュヴェンクは類推によって議論しました。彼の主張は、精神的で、花開くような、百科事典的なものであり、最終的には類似の展示に帰着しました。ダーニー・トンプソンの代表作『成長と形』は、シュヴェンクの気分や方法の一部を共有していました。現代の読者は、流れる液体の多角的な滴がしなやかなつるにぶら下がっている緻密な絵と、驚くほど似た生きたクラゲが並べられていることに、どれだけの信頼を置くべきか疑問に思います。これはただの高尚な偶然の例なのでしょうか？二つの形が似ているなら、同じ原因を探すべきなのでしょうか？ダーニー・トンプソンは、正当な科学の周縁に残された最も影響力のある生物学者として立っています。彼の生涯の中で進行中だった20世紀の生物学の革命は、彼を完全に無視しました。彼は化学を無視し、細胞を誤解し、遺伝学の爆発的な発展を予測することはできませんでした。彼の著作は、彼の時代でさえも、あまりにも古典的で文学的—あまりにも美しすぎて、信頼できる科学的とは言えませんでした。現代の生物学者はダーニー・トンプソンを読む必要はありません。しかし、なぜか最も偉大な生物学者たちは彼の本に引き寄せられます。ピーター・メダワー卿はそれを「英語で記録された科学のすべての年代の中で比類のない最も優れた文学作品」と呼びました。スティーブン・ジェイ・グールドは、自然が物の形を制約するという自らの成長する感覚の知的系譜を探るために、より良い場所はないと感じました。ダーニー・トンプソンを除いて、現代の生物学者の中で、生物の明白な統一性を追求した者はあまりいませんでした。「すべてのパターンが生成力の単一のシステムに還元できるかどうかを問う者は少なかった」とグールドは述べました。「そして、そのような統一の証明が有機形態の科学にとってどれほどの意義を持つかを感じ取る者も少なかったようです。」 テオドール・シュヴェンク 「うねりと螺旋の流れ」 テオドール・シュヴェンクは、自然の流れの流れを複雑な二次運動を伴う糸として描写しました。「しかし、それらは本当に単一の糸ではなく、空間的に絡み合った全体の表面です」と彼は書いています。 ダーヴィー・ウェントワース・トンプソン 「落下する水滴」 ダーヴィー・ウェントワース・トンプソンは、水中に落ちるインクの滴（左）やクラゲ（右）が作り出すぶら下がった糸や柱を示しました。「非常に興味深い結果は、これらの滴が物理的条件にどれほど敏感であるかを示すことです。同じゼラチンを使い続け、流体の密度を小数点以下三桁で変えるだけで、普通のぶら下がった滴からリブ模様のあるものまで、さまざまな形状を得ることができます...」 この古典主義者で多言語話者の数学者・動物学者は、生命を全体として捉えようとしました。ちょうど生物学が生物をその構成要素に還元する方法に生産的に向かっていた時期に。還元主義は勝利を収め、特に分子生物学においては非常に刺激的でしたが、進化から医学に至るまであらゆる分野で広がりました。細胞を理解するためには、膜や核、そして最終的にはタンパク質、酵素、染色体、塩基対を理解する以外に方法はありません。生物学がついに副鼻腔、網膜、神経、脳組織の内部の働きに踏み込んだとき、頭蓋骨の形に関心を持つことは、もはや面白くなくなりました。ダーヴィー・トンプソンは、その最後の一人でした。彼はまた、原因についての慎重な議論に多くの修辞的エネルギーを注いだ最後の偉大な生物学者でもありました。特に、最終原因と効率的または物理的原因の区別についてです。最終原因は目的や設計に基づく原因です：車輪が丸いのは、その形が輸送を可能にするからです。物理的原因は機械的です：地球が丸いのは、重力が回転する流体を球状に引き寄せるからです。この区別は常に明白ではありません。飲み物用のグラスが丸いのは、持ちやすく飲みやすい形だからです。また、飲み物用のグラスが丸いのは、回転させた陶器や吹きガラスが自然に取る形だからです。科学全般において、物理的原因が支配的です。実際、天文学や物理学が宗教の影から抜け出すとき、設計による議論や前向きな目的論を捨てることから生じる痛みは少なくありませんでした。地球は人類ができることをするために存在するのです。しかし、生物学においては、ダーウィンが目的論を原因についての中心的な思考様式としてしっかりと確立しました。生物の世界は神の設計を満たすわけではありませんが、自然選択によって形作られた設計を満たします。自然選択は遺伝子や胚に作用するのではなく、最終的な産物に作用します。したがって、生物の形状や器官の機能に対する適応主義的な説明は、常にその原因を探ります。それは物理的原因ではなく、最終原因です。最終原因は、ダーウィン的思考が習慣化した科学の中で生き続けています。 現代の人類学者は、カニバリズムや儀式的な犠牲について考える際、正しいか間違っているかは別として、主にそれがどのような目的を持つのかを問う傾向があります。ダーヴィー・トンプソンはこの傾向を予見していました。彼は、生物学が物理的な原因、メカニズム、そして目的論を共に考慮することを求めました。彼は生命に働きかける数学的および物理的な力を説明することに尽力しました。しかし、適応主義が広まるにつれて、そのような説明は無関係なものと見なされるようになりました。自然選択がどのように効果的な太陽光パネルを形作ったのかを説明することが、豊かで実り多い問題となりました。しかし、ずっと後になって、一部の科学者たちは再び自然の未解明の側面について考え始めました。葉は、考えられる形の中でほんの数種類しか存在せず、葉の形はその機能によって決まるわけではありません。ダーヴィー・トンプソンが持っていた数学では、彼が証明したいことを証明することはできませんでした。彼ができた最善のことは、例えば、関連する種の頭蓋骨を座標の交差線で描き、単純な幾何学的変換が一つを別のものに変えることを示すことでした。単純な生物に関しては、液体の噴流や水滴の飛沫、その他の流れの現れを思わせる形状を持つものに対して、重力や表面張力といった物理的原因が、彼が求める形成的な働きを果たすことはできないと彼は疑っていました。それでは、アルバート・リブチャバーは流体実験を始める際に『成長と形』について考えていたのはなぜでしょうか？ダーヴィー・トンプソンの生命を形作る力に関する直感は、生物学の主流の中でダイナミカルシステムの視点に最も近いものでした。彼は生命を常に動いているもの、常にリズムに反応しているものとして考えました。彼が信じる「成長の深いリズム」が普遍的な形を生み出すと考えていました。彼は、物の物質的な形だけでなく、そのダイナミクス、つまり「エネルギーの作用を力の観点から解釈すること」を適切な研究と見なしました。彼は、形をカタログ化することが何も証明しないことを理解している数学者でした。しかし、彼は自然を長年見つめてきた中で集めた形の驚くべき普遍性を、偶然や目的では説明できないと信じる詩人でもありました。物理法則がそれを説明し、力と成長を理解の届かない方法で支配しているに違いありません。プラトンの言葉を再び思い起こさせます。物質の特定の可視的な形の背後には、目に見えないテンプレートとして機能する幽霊のような形が存在するはずです。動いている形。リブチャバーは実験のために液体ヘリウムを選びました。液体ヘリウムは非常に低い粘度を持っているため、わずかな押しで転がります。水や空気のような中程度の粘度の流体で同様の実験を行うには、はるかに大きな箱が必要でした。低粘度のため、リブチャバーは実験をより敏感に加熱することができました。彼のミリメートル幅のセルで対流を引き起こすには、上面と下面の間に千分の1度の温度差を作るだけで済みました。それが、セルが非常に小さくなければならなかった理由です。 より大きな箱では、液体ヘリウムがより自由に動くことができ、その動きにはさらに少ない加熱が必要になるだろう。各方向に十倍大きい箱、つまりブドウの大きさの箱では、体積が千倍になるため、対流は百万分の一度の温度差で始まる。このような微細な温度変化は制御できない。計画、設計、建設において、リブチャバーと彼のエンジニアは、あらゆる乱雑さの兆候を排除することに専念した。実際、彼らは研究しようとしている動きを排除するためにできる限りのことを行った。流体の動きは、滑らかな流れから乱流まで、空間を通る動きとして考えられる。その複雑さは空間的な複雑さとして現れ、乱れや渦は空間的な混沌として現れる。しかし、リブチャバーは、時間の経過として現れるリズムを探していた。時間は競技場であり、尺度でもあった。彼は空間をほぼ一次元の点にまで圧縮した。彼は、流体実験の先人たちが用いた技術を極限まで引き上げていた。誰もが、閉じられた流れ—箱の中のレイリー・ベナール対流やシリンダー内のクーエット・テイラー回転—が、海や空気のような開放的な流れよりも測定可能に良好に振る舞うことを知っていた。開放的な流れでは、境界面が自由であり、複雑さが増大する。直線的な箱の中での対流は、ホットドッグのような流体のロールを生み出すため、彼は細心の注意を払ってセルの寸法を選び、ちょうど二つのロールができるだけのスペースを確保した。液体ヘリウムは中央で上昇し、左右に回転し、セルの外側の端で下降する。これは停止した幾何学だった。揺れは制限される。クリーンなラインと慎重な比率が、余分な変動を排除する。リブチャバーは空間を凍結させ、時間を操作できるようにした。実験が始まると、真空容器の中のセル内でヘリウムが転がり、さらに窒素浴の中で、リブチャバーは何が起こっているのかを見る方法が必要だった。彼はセルのサファイア上面に二つの微小温度プローブを埋め込んだ。その出力はペンプロッターによって継続的に記録された。これにより、流体の上部の二つの地点での温度を監視することができた。非常に敏感で巧妙であると、別の物理学者は言った。リブチャバーは自然を欺くことに成功した。この精密なミニチュア作品は完全に探求するのに二年を要したが、彼が言うには、彼の絵画にとって適切な筆であり、あまりにも壮大でも洗練されすぎてもいなかった。彼はついにすべてを見た。実験を昼夜問わず何時間も行う中で、リブチャバーは乱流の発生におけるより複雑な行動パターンを見出した。完全な周期倍加のカスケードが現れた。リブチャバーは、加熱されると上昇する流体の動きを制限し、純化した。 このプロセスは、最初の分岐から始まります。高純度の銅製の底板が十分に加熱され、流体が静止している傾向を克服するや否や、動きが始まります。絶対零度から数度上昇するだけで、わずか1,000分の1度の変化で十分です。底の液体が温まり、膨張して、上にある冷たい液体よりも軽くなります。温かい液体が上昇するためには、冷たい液体が沈む必要があります。すぐに、両方の動きが起こるように、液体は2つの回転するシリンダーの形に整列します。ロールは一定の速度に達し、システムは平衡状態に落ち着きます。これは動いている平衡状態であり、熱エネルギーが安定的に運動に変換され、摩擦を通じて再び熱として放散され、冷たい上板を通じて外に出ていきます。ここまで、リブシャバーは流体力学のよく知られた実験を再現していました。それはあまりにも有名であったため、軽視されていました。「それは古典物理学でした」と彼は言いました。「残念ながら、それは古いということを意味し、つまり興味がないということです。」また、ローレンツが彼の3つの方程式のシステムでモデル化した流れでもありました。しかし、実際の実験—実際の液体、機械工によって切り出された箱、パリの交通の振動にさらされた実験室—は、データを収集する作業を単にコンピュータで数値を生成するよりもはるかに厄介にしました。リブシャバーのような実験者は、上面に埋め込まれたプローブで測定した温度を記録するために、シンプルなペンプロッターを使用しました。最初の分岐後の平衡運動では、任意の一点での温度はほぼ一定に保たれ、ペンは直線を描きます。さらに加熱すると、より多くの不安定性が生じます。各ロールにくびれができ、そのくびれが安定して前後に動きます。この揺れは温度の変化として現れ、2つの値の間で上下します。ペンは今や紙の上に波状の線を描きます。単純な温度の線が連続的に変化し、実験ノイズによって揺さぶられるため、新しい分岐の正確なタイミングを読み取ったり、その性質を推測したりすることは不可能になります。その線は、株式市場の熱狂的なラインのように、ほとんどランダムに見える不規則なピークと谷を作ります。リブシャバーは、そのようなデータをスペクトラム図に変換して分析し、変化する温度に隠れた主要な周波数を明らかにしようとしました。実験から得られたデータのスペクトラム図を作成することは、交響曲の複雑な和音を構成する音の周波数をグラフ化するようなものです。グラフの底には常に不均一なノイズの線が走っています—実験ノイズです。主要な音は垂直のスパイクとして現れます：音が大きいほど、スパイクは高くなります。同様に、データが支配的な周波数を生み出す場合—たとえば、1秒ごとにピークを持つリズム—その周波数はスペクトラム図上にスパイクとして現れます。リブシャバーの実験では、最初に現れた波長は約2秒でした。次の分岐では微妙な変化がもたらされました。 ロールは揺れ続け、ボロメーターの温度は支配的なリズムに従って上下していました。しかし、奇数サイクルでは温度が以前より少し高くなり、偶数サイクルでは少し低くなり始めました。実際、最大温度は二つに分かれ、二つの異なる最大値と二つの最小値が現れました。ペンの線は読みづらかったものの、揺れの上にさらに揺れが加わり、いわば「メタ揺れ」が発生しました。スペクトル図では、その様子がより明確に現れました。古い周波数は依然として強く存在し、温度は二秒ごとに上昇していました。しかし、今や新しい周波数が古い周波数のちょうど半分で現れ、システムは四秒ごとに繰り返す成分を発展させていました。分岐が続く中で、奇妙に一貫したパターンを見分けることができました。新しい周波数が古い周波数の二倍で現れ、図は四分の一、八分の一、十六分の一を埋めていき、短い杭と長い杭が交互に並ぶピケットフェンスのような形になり始めました。データの中に隠れた形を探している人にとっても、この小さなセルの習慣が明らかになるまでには、数十回、そして数百回の実験が必要でした。リブチャバーと彼のエンジニアが温度をゆっくりと上げ、システムが一つの平衡状態から別の平衡状態へと移行する中で、奇妙なことが起こることもありました。時には一時的な周波数が現れ、スペクトル図をゆっくりと横切り、消えていくこともありました。時には、きれいな幾何学にもかかわらず、二つのロールの代わりに三つのロールが発生することもありました—本当にその小さなセルの中で何が起こっているのか、どうやって知ることができるのでしょうか？ **分岐を見る二つの方法** リブチャバーの対流セルのような実験が安定した振動を生み出すと、その位相空間のポートレートはループになり、定期的に繰り返されます（左上）。データの周波数を測定する実験者は、この単一のリズムに対して強いスパイクを持つスペクトル図を見ることになります。周期倍化の分岐の後、システムは二回ループしてから正確に繰り返され（中央）、実験者は元の周波数の半分—周期が二倍—の新しいリズムを観察します。新しい周期倍化がスペクトル図にさらにスパイクを追加します。 もしリブチャバーが当時、フェイゲンバウムの普遍性の発見を知っていたなら、彼は分岐を探すべき場所とそれに名前を付けるべきことを正確に理解していたでしょう。1979年までには、数学者や数学に興味を持つ物理学者のグループがフェイゲンバウムの新しい理論に注目していました。しかし、実際の物理システムの問題に精通している科学者たちは、判断を保留する十分な理由があると信じていました。一次元システム、メイとフェイゲンバウムの地図における複雑さは一つのことでしたが、エンジニアが構築できる二次元、三次元、あるいは四次元の機械装置においては、まったく別のものでした。それには、単純な差分方程式だけでなく、真剣な微分方程式が必要でした。 そして、別の深い溝が、低次元のシステムと流体の流れのシステムを分けているように思えた。物理学者たちは、流体の流れのシステムを潜在的に無限次元のシステムと考えていた。リブチャバーのような、非常に注意深く構造化された細胞でさえ、仮想的には無限の流体粒子を持っていた。各粒子は、少なくとも独立した運動の可能性を示していた。ある状況下では、どの粒子も新しいひねりや渦の中心になる可能性があった。理論を裏付ける実データ。リブチャバーのスペクトル図は、理論によって予測された周期倍増の正確なパターンを鮮やかに示していた。新しい周波数のスパイクは、実験ノイズの上に明確に浮かび上がっていた。ファイゲンバウムのスケーリング理論は、新しい周波数がいつ、どこで現れるかだけでなく、それらの強さ、つまり振幅も予測していた。「そのようなシステムにおける実際の関連する動きが地図に還元されるという考えは、誰も理解していなかった」とニュージャージー州のAT&Tベル研究所のピエール・ホーエンバーグは語った。ホーエンバーグは、新しい理論と新しい実験の両方を追いかけた数少ない物理学者の一人となった。「ファイゲンバウムはそれを夢見たかもしれないが、彼はそれを言わなかった。ファイゲンバウムの研究は地図に関するものだった。なぜ物理学者が地図に興味を持つべきなのか？それは遊びのようなものだ。本当に、彼らが地図で遊んでいる限り、私たちが理解したいことからはかなり遠いように思えた。しかし、実験でそれが見られたとき、それが本当に興奮をもたらした。興味深いシステムでは、自由度が少ないモデルによって詳細な挙動を理解できるというのが奇跡だ。」結局、ホーエンバーグが理論家と実験者を結びつけた。彼は1979年の夏にアスペンでワークショップを開催し、リブチャバーも参加していた。（4年前の同じ夏のワークショップで、ファイゲンバウムはスティーブ・スマレがある方程式のカオスへの遷移を見たときに現れるように思える数字について話すのを聞いていた。）リブチャバーが液体ヘリウムを使った実験について説明すると、ホーエンバーグは注目した。帰り道、ホーエンバーグは偶然にもニューメキシコでファイゲンバウムに会うことになった。その後不久、ファイゲンバウムはパリのリブチャバーを訪れた。彼らはリブチャバーの実験室の散らばった部品や器具の中に立っていた。リブチャバーは自分の小さな細胞を誇らしげに見せ、ファイゲンバウムに最新の理論を説明させた。そして、彼らはパリの街を歩きながら、最高のコーヒーを探した。リブチャバーは後に、こんなに若くて、彼が言うには生き生きとした理論家を見て驚いたことを思い出した。地図から流体の流れへの飛躍は非常に大きく、責任を持つ者たちでさえ、それが夢のように感じることがあった。自然がどのようにしてそのような複雑さをこのような単純さに結びつけることができるのかは、明らかではなかった。「それは一種の奇跡と見なすべきであり、通常の理論と実験の関係とは異なる」とジェリー・ゴルブは言った。 数年のうちに、その奇跡はさまざまな実験室システムの広大な動物園の中で繰り返されるようになりました。水や水銀を用いた大きな流体セル、電子オシレーター、レーザー、さらには化学反応まで。理論家たちはファイゲンバウムの手法を応用し、周期倍増の親戚とも言える他の数学的なカオスへの道を見つけました。そうしたパターン、例えば間欠性や準周期性も、理論と実験の両方で普遍的であることが証明されました。実験者たちの発見は、コンピュータ実験の時代を切り開く手助けとなりました。物理学者たちは、コンピュータが実際の実験と同じ質的な画像を生成し、それを何百万倍も速く、より信頼性高く生み出すことを発見しました。多くの人々にとって、リブチャバーの結果よりも説得力があったのは、イタリアのモデナ大学のヴァルテル・フランチェスキーニが作成した流体モデルでした。これは5つの微分方程式から成るシステムで、アトラクターや周期倍増を生み出しました。フランチェスキーニはファイゲンバウムのことを何も知らなかったのですが、彼の複雑で多次元のモデルは、ファイゲンバウムが一次元のマップで見つけたのと同じ定数を生み出しました。1980年、ヨーロッパのグループが説得力のある数学的説明を提供しました。それは、散逸が多くの対立する運動を持つ複雑なシステムを浸食し、最終的には多次元の挙動を一つにまとめるというものでした。コンピュータ以外では、流体実験で奇妙なアトラクターを見つけることは依然として大きな課題でした。ハリー・スウィニーのような実験者たちは1980年代の半ばまでそれに取り組んでいました。そして、実験者たちがついに成功を収めたとき、新しいコンピュータの専門家たちはしばしば彼らの結果を、すでにグラフィック端末が生成している詳細な画像の粗く予測可能な反響に過ぎないと軽視しました。コンピュータ実験では、数千または数百万のデータポイントを生成すると、パターンがある程度明らかになりました。しかし、実験室では、現実の世界と同様に、有用な情報をノイズから区別しなければなりませんでした。コンピュータ実験では、データは魔法の杯から流れるワインのように流れましたが、実験室の実験では、毎滴を得るために戦わなければなりませんでした。それでも、ファイゲンバウムや他の研究者たちの新しい理論が、コンピュータ実験だけの力で広範な科学者コミュニティを惹きつけることはありませんでした。非線形微分方程式のシステムをデジタル化するために必要な修正、妥協、近似はあまりにも疑わしいものでした。シミュレーションは現実をできるだけ多くの塊に分けますが、常に不足しています。コンピュータモデルは、プログラマーによって選ばれた一連の恣意的なルールに過ぎません。実際の流体は、たとえミリメートルのセルにおいても、自然の無秩序の自由で制約のない動きの可能性を否定できません。それは驚きの可能性を秘めています。コンピュータシミュレーションの時代において、ジェットタービンから心臓弁に至るまでの流れがスーパーコンピュータでモデル化されている中で、自然が実験者をどれほど簡単に混乱させることができるかを思い出すのは難しいことです。実際、今日のどのコンピュータも、リブチャバーの液体ヘリウムセルのような単純なシステムさえ完全にシミュレートすることはできません。 優れた物理学者がシミュレーションを検討する際、彼は必ず何か現実の一部が省かれているのではないか、何か潜在的な驚きが見逃されているのではないかと考えるものです。リブチャバーは、シミュレーションされた飛行機に乗りたくないと言っていました。彼は、何が見落とされたのかを考えてしまうからです。さらに彼は、コンピュータシミュレーションは直感を育てたり計算を洗練させたりするのには役立つが、真の発見を生むことはないと述べていました。これは、少なくとも実験者の信条です。彼の実験は非常に完璧で、科学的な目標は非常に抽象的だったため、リブチャバーの仕事を物理学よりも哲学や数学と考える物理学者もいました。彼は、自分の分野の支配的な基準が還元主義的であり、原子の特性に優先順位を与えていると信じていました。「物理学者は私に尋ねるでしょう。『この原子はどうやってここに来て、そこにくっつくのか？表面に対する感度は？システムのハミルトニアンを書けますか？』そして私が『気にしない、私が興味があるのはこの形、形の数学と進化、ある形から別の形、そしてまた別の形への分岐だ』と言うと、彼は『それは物理学ではない、あなたは数学をやっている』と言うでしょう。今でも彼はそう言うでしょう。では、私は何と言えばいいのでしょう？はい、もちろん、私は数学をやっています。しかし、それは私たちの周りのものに関連しています。それも自然です。」彼が見つけたパターンは確かに抽象的で、数学的でした。それは液体ヘリウムや銅の特性、あるいは絶対零度近くの原子の挙動について何も語っていませんでした。しかし、それはリブチャバーの神秘的な先人たちが夢見たパターンでした。それは、化学者から電気技術者まで、多くの科学者が新しい運動の要素を探求する探検者となる実験の領域を正当化しました。彼が温度を十分に上げて最初の周期倍増を孤立させることに成功したとき、パターンはそこにありました。そして次、次と続きました。新しい理論によれば、分岐は正確なスケーリングを持つ幾何学を生み出すはずであり、それがまさにリブチャバーが見たものであり、普遍的なファイゲンバウム定数がその瞬間に数学的理想から物理的現実へと変わり、測定可能で再現可能なものとなりました。彼はその感覚を長い間覚えていました。次々と分岐を目撃し、無限のカスケードを見ていることに気づいたときの不気味な感覚です。それは、彼が言ったように、面白いものでした。 混沌がすべての力を内側に引き寄せて 一枚の葉を形作るとき、他に何があるのか。 —コンラッド・アイケン マイケル・バーンズリーは1979年、コルシカ島の会議でミッチェル・ファイゲンバウムに出会いました。そのとき、オックスフォードで教育を受けた数学者のバーンズリーは、普遍性や周期倍増、無限の分岐のカスケードについて学びました。彼は良いアイデアだと思いました。科学者たちが自分たちのためにその一部を切り取るために急いで駆け寄るに違いない、まさにそのようなアイデアです。バーンズリー自身は、他の誰も気づいていない部分を見つけたと思いました。これらの2、4、8、16のサイクル、ファイゲンバウムの数列はどこにあるのか。 どこから来たのだろう？それらは数学的な虚無から魔法のように現れたのか、それとももっと深い何かの影を示唆しているのだろうか。バーンズリーは、それらが目に見えない素晴らしいフラクタルの一部であるに違いないという直感を抱いていた。この考えには、複素平面と呼ばれる数の領域が背景にあった。複素平面では、マイナス無限大からプラス無限大までのすべての実数が、中央にゼロを置いて西から東へと伸びる直線上に存在している。しかし、この直線は、北と南にも無限に広がる世界の赤道に過ぎない。各数は、東西の経度に対応する実部と、南北の緯度に対応する虚部の二つの部分から成り立っている。慣習として、これらの複素数はこのように表記される：2 + 3i、ここでiは虚部を示す。二つの部分がそれぞれの数にこの二次元平面内でのユニークな住所を与えている。したがって、元の実数の直線は、虚部がゼロである数の特別なケースに過ぎない。複素平面において、実数だけを見ること、つまり赤道上の点だけを見ることは、二次元で見ると他の秘密を明らかにするかもしれない形の偶発的な交差点に視野を制限することになる。バーンズリーはそう考えた。「実数」と「虚数」という名前は、普通の数がこの新しいハイブリッドよりもより現実的に見えたときに生まれたが、今ではその名前はかなり恣意的であると認識されていた。どちらの種類の数も、他のどの種類の数と同じように現実的であり、同じように虚構的である。歴史的に、虚数は「負の数の平方根は何か？」という問いによって生じた概念的な空白を埋めるために発明された。慣習として、-1の平方根はi、-4の平方根は2i、というように定義されている。実数と虚数の組み合わせが多項式方程式に対して新しい計算を可能にすることに気づくのは、ほんの一歩のことだった。複素数は加算、乗算、平均、因数分解、積分が可能であり、実数に対するほぼすべての計算を複素数に対しても試すことができる。バーンズリーは、フェイゲンバウム関数を複素平面に翻訳し始めたとき、実験物理学者たちを魅了する動的なアイデアに関連しているように見える幻想的な形の家族の輪郭が浮かび上がるのを見たが、それは数学的な構造としても驚くべきものであった。これらのサイクルは、実際には薄い空気から現れるものではないと彼は気づいた。それらは複素平面の実直線に落ち込み、そこには、もし見るなら、あらゆる次数のサイクルの星座が存在している。常に二周期、三周期、四周期が、実直線に到達するまで視界の外で浮かんでいた。バーンズリーはコルシカから急いでジョージア工科大学のオフィスに戻り、論文を作成した。それを『数学物理学の通信』に送って出版を依頼した。編集者はデイビッド・ルエルで、彼は悪い知らせを持っていた。 バーンズリーは、フランスの数学者による50年前の埋もれた作品を知らずに再発見してしまった。「ルエルはそれを熱いジャガイモのように私に押し返し、『マイケル、君が話しているのはジュリア集合だよ』と言った」とバーンズリーは振り返った。ルエルはさらに一つのアドバイスを付け加えた。「マンデルブロに連絡を取ってみて。」 アメリカの数学者ジョン・ハバードは、ファッショナブルな大胆なシャツを好み、3年前にフランスのオルセーで大学1年生に初歩的な微積分を教えていた。彼が扱う標準的なトピックの中には、方程式を次第に良い近似値で解く古典的な手法であるニュートン法も含まれていた。しかし、ハバードは標準的なトピックに少し飽きており、今回は学生たちに考えさせる方法でニュートン法を教えることに決めた。ニュートン法は古く、ニュートンがそれを発明した時点ですでに古いものであった。古代ギリシャ人は平方根を求めるためにその一種を使用していた。この手法は、まず推測から始まる。推測はより良い推測につながり、反復のプロセスが解にズームインしていく様子は、動的システムが定常状態を求めるかのようだ。このプロセスは迅速で、各ステップごとに正確な小数点以下の桁数が一般的に倍増する。もちろん、現在では平方根はより解析的な方法に屈するし、二次多項式方程式のすべての根も同様である—変数が二乗されるだけのものだ。しかし、ニュートン法は直接解けない高次多項式方程式にも適用できる。この手法は、さまざまなコンピュータアルゴリズムでも美しく機能し、反復は常にコンピュータの得意分野である。ニュートン法には一つの小さな不都合がある。それは、方程式には通常複数の解が存在し、特に複素数解を含む場合が多いということだ。どの解を見つけるかは初期の推測に依存する。実際のところ、学生たちはこれが全く問題にならないことを理解している。一般的に、どこから始めるべきかの良いアイデアがあり、もし推測が間違った解に収束しているように見えたら、別の場所からやり直せばよいのだ。 ニュートン法が複素平面上の二次多項式の根に向かってどのような経路を描くのか、正確に尋ねることができるだろう。幾何学的に考えると、その手法は単に初期の推測に近い方の二つの根を探し出すと答えることができるだろう。これは、ある日オルセーでその質問が出たとき、ハバードが学生たちに言ったことだ。「さて、例えば三次の方程式の場合、状況はもっと複雑に見える」とハバードは自信を持って言った。「考えてみて、来週お伝えします。」 彼はまだ、難しいのは学生たちに反復計算を教えることで、初期の推測をするのは簡単だと思っていた。しかし、考えれば考えるほど、彼は知識が少なくなっていった—知的な推測とは何か、あるいはニュートン法が実際に何をしているのかについても。明らかな幾何学的な推測は、平面を三つの等しいパイのくさびに分け、各くさびの中に一つの根を置くことだが、ハバードはそれがうまくいかないことを発見した。 境界付近で奇妙なことが起こった。さらに、ハバードは自分がこの驚くほど難しい問題に初めて直面した数学者ではないことを発見した。アーサー・ケイリーは1879年に、扱いやすい2次のケースから恐ろしいほど手に負えない3次のケースへと進もうと試みていた。しかし、1世紀後のハバードは、ケイリーが持っていなかった道具を手にしていた。ハバードは、直感に基づく推測や近似、半真実を軽蔑する厳格な数学者だった。彼は、エドワード・ローレンツのアトラクタが文献に登場してから20年後も、誰もその方程式が奇妙なアトラクタを生み出すかどうか本当に知っている者はいないと主張し続けるような数学者だった。それは証明されていない仮説だった。彼が言うには、馴染みのある二重螺旋は証明ではなく、単なる証拠であり、コンピュータが描いたものであった。今、ハバードは自分の意に反して、従来の技術では成し得なかったことをするためにコンピュータを使い始めた。コンピュータは何も証明しないだろう。しかし、少なくとも数学者が何を証明しようとすべきかを知るための真実を明らかにするかもしれなかった。そこでハバードは実験を始めた。彼はニュートンの方法を問題解決の手段としてではなく、それ自体を問題として扱った。ハバードは、3次多項式の最も単純な例、方程式 x³ - 1 = 0 を考えた。つまり、1の立方根を求めることだ。実数では、もちろん、トリビアルな解は1だけである。しかし、この多項式には2つの複素解もある：-1/2 + i√3/2 と -1/2 - i√3/2。複素平面にプロットすると、これら3つの根は正三角形を描き、一つの点が3時の位置に、もう一つが7時の位置に、そして最後の一つが11時の位置にある。任意の複素数を出発点として与えた場合、ニュートンの方法がどの3つの解のいずれに導くかを見ることが問題だった。まるでニュートンの方法が動的システムであり、3つの解が3つのアトラクタであるかのようだった。または、複素平面が3つの深い谷に向かって滑らかに傾斜した表面であるかのようだった。平面上のどこからでも始まった玉石は、どれかの谷に転がり込むはずだが、どの谷なのか？ハバードは平面を構成する無限の点をサンプリングすることに取り掛かった。彼はコンピュータに点から点へと移動させ、各点に対してニュートンの方法の流れを計算し、結果を色分けした。ある解に導く出発点はすべて青色に、2番目の解に導く点は赤色に、3番目の解に導く点は緑色に色付けされた。最も粗い近似で、彼はニュートンの方法のダイナミクスが確かに平面を3つのパイのくさびに分けることを発見した。一般的に、特定の解の近くにある点は、その解にすぐに導かれた。しかし、体系的なコンピュータ探索は、以前の数学者たちが単にここで一点、あそこでも一点を計算することしかできなかったために決して見えなかった複雑な基盤の組織を示した。いくつかの出発点は迅速に根に収束したが、他の点は最終的に解に収束する前に、無作為に跳ね回るように見えた。 時には、ある点が永遠に繰り返される周期的なサイクルに落ち込むように思えることがありました。ハバードがコンピュータを駆使して、空間をより詳細に探求するにつれて、彼と彼の学生たちは、次第に浮かび上がってくる画像に困惑しました。例えば、青い谷と赤い谷の間に整然とした ridge が見えるのではなく、宝石のように連なった緑の斑点が見えました。まるで、近くの二つの谷の相反する引力に挟まれた大理石が、最も遠くにある第三の谷にたどり着くかのようでした。二つの色の間の境界は決して完全には形成されません。さらに詳しく調べると、緑の斑点と青い谷の境界には赤い斑点が混ざっていることがわかりました。そしてそのように、境界はハバードにとって、マンデルブロの巨大なフラクタルに精通している人でも驚くような特異な性質を明らかにしました。それは、どの点も二つの色の境界にはならないということです。二つの色が接近しようとするところには、常に第三の色が入り込み、新たな自己相似の侵入が続きます。驚くべきことに、すべての境界点は三つの色の領域に隣接しています。ハバードは、これらの複雑な形状とそれが数学に与える影響についての研究に着手しました。彼の研究と同僚たちの研究は、すぐに動的システムの問題に対する新たなアプローチとなりました。彼は、ニュートン法のマッピングが、現実世界の力の挙動を反映した全く未探索の家族の一つであることに気づきました。マイケル・バーンズリーは、その家族の他のメンバーを調査していました。ベノワ・マンデルブロは、二人がすぐに知ることになるように、これらの形状の祖父を発見していました。無限の複雑さの境界。パイが三つのスライスに切られると、それらは一点で交わり、任意の二つのスライスの間の境界は単純です。しかし、抽象数学や現実世界の物理学の多くのプロセスは、想像を絶するほど複雑な境界を生み出すことが判明します。上の図は、-1の立方根を求めるために適用されたニュートン法が平面を三つの同一の領域に分割し、そのうちの一つが白で示されています。すべての白い点は、最も大きな白い領域にある根に「引き寄せられ」、すべての黒い点は他の二つの根のいずれかに引き寄せられます。この境界には、すべての点が三つの領域に隣接するという特異な性質があります。そして、挿入された部分が示すように、拡大されたセグメントはフラクタル構造を明らかにし、基本的なパターンがより小さなスケールで繰り返されます。マンデルブロ集合は、数学の中で最も複雑な対象であると、その愛好者たちは言います。すべてを見尽くすには永遠の時間が必要であり、その円盤はトゲのようなものが散りばめられ、螺旋やフィラメントが外側に巻きつき、神の個人的なブドウの木にぶら下がる、無限に多様な膨らんだ分子を持っています。コンピュータの画面の調整可能なウィンドウを通して色を調べると、マンデルブロ集合はフラクタル以上のフラクタルのように見え、その複雑さはスケールを超えて非常に豊かです。異なる画像のカタログ化が進められています。 そのセットの輪郭を完全に記述するには無限の情報が必要ですが、ここに逆説があります。セットの完全な説明を通信回線で送信するには、わずか数十文字のコードで済むのです。簡潔なコンピュータープログラムには、セット全体を再現するのに十分な情報が含まれています。このセットの複雑さと単純さが交じり合う様子を最初に理解した人々は、準備不足でした—マンデルブロットでさえも。マンデルブロット集合は、混沌の象徴のような存在となり、会議のパンフレットや工学の四半期誌の光沢のある表紙に登場し、1985年と1986年に国際的に巡回したコンピューターアートの展示の中心的な作品となりました。その美しさはこれらの画像から感じ取るのは容易でしたが、数学者たちがそれを徐々に理解する中での意味を把握するのは難しかったのです。多くのフラクタル形状は複素平面での反復プロセスによって形成されますが、マンデルブロット集合は唯一無二の存在です。マンデルブロットがジュリア集合と呼ばれる形状のクラスを一般化しようとしたとき、ぼんやりとした幽霊のような形で現れ始めました。ジュリア集合は、第一次世界大戦中にフランスの数学者ガストン・ジュリアとピエール・ファトゥによって発明され、コンピュータが提供できる画像なしで研究されました。マンデルブロットは彼らの控えめな図を見て、すでに難解だった彼らの研究を20歳のときに読みました。さまざまな姿を持つジュリア集合は、バンズリーを魅了する対象そのものでした。ジュリア集合の中には、フラクタル構造を持つように多くの場所でつままれ、変形された円のようなものもあれば、領域に分かれたものや、切り離された塵のようなものもあります。しかし、言葉やユークリッド幾何学の概念ではそれらを説明することはできません。フランスの数学者エイドリアン・ドゥアディはこう言いました。「信じられないほどの多様なジュリア集合が得られます。あるものは太った雲のようで、他のものは細い茨の茂みのようで、あるものは花火が上がった後に空中に浮かぶ火花のように見えます。中にはウサギの形をしたものもあり、たくさんのものがタツノオトシゴの尾を持っています。」ハインツ＝オットー・パイゲン、ピーター・H・リヒターによる「ジュリア集合のバラエティ」。1979年、マンデルブロットは、複素平面においてジュリア集合のカタログとして機能する1つの画像を作成できることを発見しました。それは、すべてのジュリア集合へのガイドとなるものでした。彼は、平方根やサイン、コサインを含む複雑なプロセスの反復を探求していました。単純さが複雑さを生むという命題を中心に知的生活を築いた後でも、彼はIBMやハーバードのコンピュータースクリーンの視界のすぐ外に浮かぶその対象がどれほど特異なものであるかをすぐには理解しませんでした。彼はプログラマーたちにさらなる詳細を求め、彼らはすでに逼迫したメモリの割り当てや、粗い白黒ディスプレイチューブを持つIBMメインフレームコンピュータ上での新しい点の補間に苦労しました。 事態をさらに悪化させることに、プログラマーたちは常にコンピュータ探索の一般的な落とし穴、すなわち「アーティファクト」と呼ばれる現象に警戒しなければなりませんでした。これは、機械の特異性から生じる特徴であり、プログラムの書き方を変えると消えてしまうものです。そんな中、マンデルブロは特にプログラムが簡単な単純なマッピングに目を向けました。粗いグリッド上で、フィードバックループを数回繰り返すプログラムを使うと、最初の円盤の輪郭が現れました。数行の鉛筆計算で、これらの円盤が数学的に実在するものであり、単なる計算上の奇妙さではないことが示されました。主な円盤の左右には、さらに多くの形の兆しが現れました。後に彼が語ったように、彼の心の中にはもっと多くのものが見えていました。それは形の階層であり、原子が無限に小さな原子を生み出している様子でした。そして、その集合が実数直線と交差するところでは、次第に小さくなる円盤が動的な法則に従った幾何学的な規則性でスケールしていました。これは、動的システムの研究者たちが認識する「フェイゲンバウムの分岐列」と呼ばれるものでした。この発見は、彼に計算をさらに進める勇気を与え、最初の粗い画像を洗練させることに繋がりました。すると、彼は円盤の端に汚れが散らばっているのを発見し、近くの空間にも浮遊していることに気付きました。より細かい詳細で計算を試みる中で、彼は突然、自分の幸運が尽きたと感じました。画像は鮮明になるどころか、むしろ混沌としていきました。彼はIBMのウェストチェスター郡の研究センターに戻り、ハーバードでは実現できない独自の計算能力を試すことにしました。驚いたことに、その増大する混沌は何か現実の兆候でした。新芽やつるが主な島からゆったりと伸びていました。マンデルブロは、一見滑らかな境界が海馬の尾のような螺旋の連鎖に解消されるのを見ました。非合理が合理を肥沃にしていました。 マンデルブロ集合は点の集合です。複素平面のすべての点、つまりすべての複素数は、集合の中にあるか、外にあるかのいずれかです。この集合を定義する一つの方法は、各点に対して簡単な反復算術を用いたテストを行うことです。点をテストするには、まずその複素数を取り、それを二乗し、元の数を加え、結果を二乗し、再び元の数を加え、結果を二乗する—これを繰り返します。もし合計が無限大に発散するなら、その点はマンデルブロ集合には含まれません。合計が有限のままであれば（それは何らかの繰り返しループに閉じ込められているか、あるいはカオス的に動き回っている可能性があります）、その点はマンデルブロ集合に含まれます。このプロセスを無限に繰り返し、結果が無限かどうかを問うことは、日常世界のフィードバックプロセスに似ています。例えば、講堂でマイクロフォン、アンプ、スピーカーを設置していると想像してみてください。音響フィードバックのハウリングが心配です。もしマイクが十分に大きな音を拾うと、スピーカーからの増幅された音がマイクに戻り、終わりのない、ますます大きくなるループが生じます。一方で、音が小さければ、何もないところに消えてしまいます。 このフィードバックプロセスを数値でモデル化するために、まずある数を取り、それを自分自身で掛け、その結果をさらに自分自身で掛け続けるという方法を考えます。すると、大きな数はすぐに無限大に達することがわかります：10、100、10,000……しかし、小さな数はゼロに近づきます：1/2、1/4、1/16……このプロセスを視覚的に表現するために、この方程式に入力したときに無限大に達しないすべての点の集合を定義します。ゼロから上に向かう直線上の点を考えてみましょう。もしある点がフィードバックの悲鳴を生じさせるなら、その点を白で塗ります。そうでなければ黒で塗ります。やがて、0から1までの黒い線からなる形が現れます。これがマンデルブロ集合の出現です。ベノワ・マンデルブロの最初の粗いコンピュータ出力では、粗い構造が現れ、計算の質が向上するにつれて詳細が増していきました。それらの虫のように浮かぶ「分子」は孤立した島だったのでしょうか？それとも、観察できないほど細いフィラメントで本体に繋がっていたのでしょうか？それを判断するのは不可能でした。一次元のプロセスでは、実際に実験を行う必要はありません。1より大きい数が無限大に達することは簡単に確認できますが、残りの数はそうではありません。しかし、複素平面の二次元では、反復プロセスによって定義される形を導き出すためには、方程式を知っているだけでは不十分です。円や楕円、放物線といった伝統的な幾何学の形とは異なり、マンデルブロ集合には近道がありません。特定の方程式にどのような形が対応するかを知る唯一の方法は、試行錯誤によるものであり、この試行錯誤のスタイルは、この新しい領域を探求する人々をマゼランに近づけ、ユークリッドからは遠ざけました。このように形の世界と数の世界を結びつけることは、過去との断絶を意味しました。新しい幾何学は、誰かが基本的なルールを変えるときに始まります。ある幾何学者が「空間は平坦ではなく曲がることができる」と言えば、その結果はユークリッドの奇妙な曲がったパロディとなり、一般相対性理論のための正しい枠組みを提供します。空間が四次元、五次元、あるいは六次元を持つことができると仮定しましょう。次元を表す数が分数であることができると仮定しましょう。形がねじれたり、引き伸ばされたり、結ばれたりすることができるとしましょう。あるいは、今度は形が、一度方程式を解くのではなく、フィードバックループで反復することによって定義されるとしましょう。ジュリア、ファトゥ、ハバード、バーンズリー、マンデルブロ——これらの数学者たちは、幾何学的形状を作る方法に関するルールを変えました。ユークリッドやデカルトの方法は、方程式を曲線に変換する方法として、高校の幾何学を学んだり、二つの座標を使って地図上の点を見つけたりした人には馴染み深いものです。標準的な幾何学は方程式を取り、それを満たす数の集合を求めます。したがって、x² + y² = 1のような方程式の解は、円という形を形成します。他の単純な方程式は他の図形を生み出し、円錐曲線の楕円や放物線、双曲線、あるいは位相空間における微分方程式によって生成されるより複雑な形を生み出します。 しかし、幾何学者が方程式を解くのではなく、繰り返し適用する場合、その方程式は記述ではなくプロセスとなり、静的ではなく動的になります。数値が方程式に入ると、新しい数値が出てきて、その新しい数値が再び入っていく、というように、点が場所から場所へと跳ね移ります。点は方程式を満たすときではなく、特定の行動を生み出すときにプロットされます。ある行動は安定状態かもしれませんし、別の行動は周期的な状態の繰り返しへの収束かもしれません。また別の行動は、制御不能な無限への突進かもしれません。コンピュータが登場する前は、ジュリアやファトーでさえ、この新しい形作りの可能性を理解していたものの、それを科学として成り立たせる手段を持っていませんでした。しかし、コンピュータの登場により、試行錯誤による幾何学が可能になりました。ハバードは、点ごとの挙動を計算することでニュートンの方法を探求し、マンデルブロはコンピュータを使って平面の点を一つずつスイープしながら、最初に彼の集合を同じように観察しました。もちろん、すべての点を扱うわけではありません。時間とコンピュータには限りがあるため、そのような計算は点のグリッドを使用します。より細かいグリッドは、より鮮明な画像を提供しますが、計算に時間がかかります。マンデルブロ集合に関しては、計算はシンプルでした。なぜなら、プロセス自体が非常に単純だったからです：複素平面におけるマッピング Z > z² + c の繰り返しです。数値を取り、それを自分自身で掛け算し、元の数値を加えます。ハバードは、この新しい形状探求のスタイルに慣れていく中で、革新的な数学的スタイルも持ち込みました。彼は、動的システムに以前は適用されていなかった複素解析の手法を応用しました。すべてが一つにまとまりつつあると彼は感じました。数学の中の異なる分野が交差点で収束しているのです。彼は、マンデルブロ集合をただ見るだけでは不十分だと知っていました。彼が終わるまでには、それを理解したいと考え、実際に彼は理解したと主張しました。もし境界がマンデルブロの世紀の変わり目のモンスターの意味で単にフラクタルであったなら、1つの画像は前の画像とほぼ同じように見えるはずです。異なるスケールでの自己相似性の原理により、電子顕微鏡が次の倍率で何を見るかを予測することが可能になります。しかし、マンデルブロ集合の深部に進むたびに新たな驚きが待っていました。マンデルブロは、彼がフラクタルの定義をあまりにも制限的に提供してしまったのではないかと心配し始めました。彼は確かにこの新しいオブジェクトにその言葉が適用されることを望んでいました。集合は、十分に拡大すると、自身の粗いコピーや、主な部分から浮かび上がる小さな虫のようなオブジェクトを含むことが証明されましたが、より大きな拡大では、これらの分子のどれも他の分子と正確に一致しないことが示されました。常に新しい種類のタツノオトシゴや新しい巻きつく温室種が存在しました。実際、集合のどの部分も、どの倍率においても他の部分と正確に似ていることはありませんでした。しかし、浮遊する分子の発見は、即座に問題を引き起こしました。マンデルブロ集合はつながっているのか、それとも遠く離れた半島を持つ一つの大陸なのか？ それは塵だったのか、それとも細かい島々に囲まれた主な本体だったのか？それは明らかではなかった。ジュリア集合の経験からは何の指針も得られなかった。なぜなら、ジュリア集合には全体の形状と塵の両方が存在するからだ。塵はフラクタルであり、特有の性質を持っている。すなわち、どの部分も「一緒」ではなく、すべての部分が空の空間によって他の部分から隔てられているが、同時にどの部分も「孤立」しているわけではない。なぜなら、ある部分を見つけると、必ずその近くに別の部分の集まりを見つけることができるからだ。マンデルブロが自分の画像を見つめると、コンピュータ実験がこの根本的な問いに答えることに失敗していることに気づいた。彼は主な本体の周りに浮かぶ小さな点により鋭く焦点を合わせた。いくつかは消えたが、他のものは明確な近似複製に成長した。それらは独立しているように見えた。しかし、もしかしたらそれらは非常に細い線でつながっていて、計算された点の格子から逃れ続けているのかもしれない。ドゥアディとハバードは、新しい数学の素晴らしい連鎖を使って、すべての浮遊する分子が実際には他のすべてと結びついているフィリグリーにぶら下がっていることを証明した。これは、主な集合の小さな突出部から生じる繊細な網であり、マンデルブロの言葉を借りれば「悪魔のポリマー」である。数学者たちは、どんなセグメントでも—どこにあっても、どれほど小さくても—コンピュータ顕微鏡で拡大されると、新しい分子が現れ、それぞれが主な集合に似ているが、完全には同じではないことを証明した。すべての新しい分子は、自分自身の螺旋や炎のような突起に囲まれ、必然的にそれらはさらに小さな分子を明らかにし、常に似ているが決して同一ではなく、無限の多様性の命令を果たし、すべての新しい詳細が独自の宇宙であり、多様で完全であるというミニチュア化の奇跡を実現する。 「すべては非常に幾何学的な直線的アプローチだった」とハインツ＝オットー・パイゲンは言った。彼は現代アートについて話していた。「例えば、ヨーゼフ・アルバーズの作品は、色の関係を発見しようとしていたが、これは本質的に異なる色の四角形を重ねただけのものだった。これらの作品は非常に人気があった。今見ると、時代遅れに見える。人々はもうそれを好まなくなった。ドイツではバウハウススタイルの巨大なアパートが建設され、人々はそこから引っ越していく。彼らはそこに住むのが好きではないようだ。私には、現在の社会には自然に対する私たちの概念のいくつかの側面を嫌う深い理由があるように思える。」パイゲンは、訪問者がマンデルブロ集合、ジュリア集合、その他の複雑な反復プロセスの領域の拡大画像を選ぶのを手伝っていた。すべては精巧に色付けされていた。彼のカリフォルニアの小さなオフィスでは、スライド、大きな透明フィルム、さらにはマンデルブロ集合のカレンダーを提供していた。「私たちが持っている深い熱意は、自然を見る異なる視点に関係している。自然物の真の側面は何か？木、例えば—重要なのは何か？それは直線なのか、それともフラクタルの物体なのか？」一方、コーネル大学では、ジョン・ハバードが商業の要求に苦しんでいた。数百人の学生が彼の周りにいた。 数学科には、マンデルブロ集合の画像を求める手紙が次々と届き、彼はサンプルや価格リストを作成しなければならないことに気づきました。すでに計算され、コンピュータに保存されている画像は数十点あり、技術的な詳細を覚えている大学院生たちの助けを借りて、即座に表示できる準備が整っていました。しかし、最も壮大な画像、最高の解像度と鮮やかな色彩を持つものは、ドイツのペイトゲンとピーター・H・リヒター、そしてブレーメン大学の科学者たちのチームから提供されており、地元の銀行の熱心な支援を受けていました。ペイトゲンとリヒターは、一人が数学者で、もう一人が物理学者であり、マンデルブロ集合にキャリアを捧げました。それは彼らにとって、現代の芸術哲学、新しい数学における実験の役割の正当化、複雑なシステムを大衆に提示する方法など、無限のアイデアを秘めていました。彼らは光沢のあるカタログや書籍を出版し、コンピュータ画像のギャラリー展示を持って世界中を旅しました。 リヒターは、物理学から化学、そして生化学を経て複雑なシステムの研究に取り組み、生物学的経路における振動を研究していました。免疫システムや酵母による糖のエネルギーへの変換といった現象に関する一連の論文の中で、彼は振動が通常静的と見なされるプロセスのダイナミクスを支配することが多いことを発見しました。生きたシステムはリアルタイムでの検査が容易ではないため、これは良い理由です。リヒターは、大学の機械工房で特注された、よく油を差した二重振り子を窓辺に固定していました。時折、彼はそれを回転させ、コンピュータでも再現できるカオス的な非リズムを生み出しました。初期条件への依存は非常に敏感で、1マイル離れた場所の雨滴の重力が、50回から60回の回転、約2分の間に運動を混乱させることがありました。彼の多色グラフィック画像は、この二重振り子の位相空間の周期性とカオスの混在した領域を示し、同じグラフィック技術を使って、金属の理想化された磁化領域やマンデルブロ集合の探求にも応用しました。 同僚のペイトゲンにとって、複雑性の研究は、単に問題を解決するのではなく、科学に新しい伝統を創造する機会を提供しました。「このような全く新しい分野では、今日考え始めることができ、良い科学者であれば数日、1週間、あるいは1ヶ月のうちに興味深い解決策を見つけることができるかもしれません」とペイトゲンは言いました。このテーマは構造がありません。「構造のあるテーマでは、何が知られているのか、何が未知なのか、すでに試みられたがどこにもつながらなかったことが分かっています。そこでは、問題として知られている問題に取り組まなければなりません。そうでなければ迷子になります。しかし、問題として知られている問題は難しいものでなければなりません。そうでなければ、すでに解決されているはずです。」 ペイトゲンは、実験を行うためにコンピュータを使用することに対する数学者たちの不安をあまり共有していませんでした。 確かに、すべての結果は最終的には標準的な証明方法によって厳密に示されなければならず、そうでなければ数学とは言えません。グラフィックス画面で画像を見ることは、その存在を定理や証明の言語で保証するものではありません。しかし、その画像が利用できること自体が数学の進化を変えるのに十分でした。ペイトゲンは、コンピュータによる探求が数学者により自然な道を選ぶ自由を与えていると信じていました。一時的に、数学者は厳密な証明の要求を保留することができました。彼は、物理学者ができるように、実験が導く先にどこへでも行くことができたのです。計算の数値的な力と直感への視覚的な手がかりは、有望な道筋を示唆し、数学者を盲目的な行き止まりから救ってくれました。そして、新しい道が見つかり、新しい対象が特定された後、数学者は標準的な証明に戻ることができました。「厳密さは数学の強さです」とペイトゲンは言いました。「私たちが絶対に保証された思考の流れを続けることができるということ—数学者はそれを手放したくないのです。しかし、今は部分的に理解できる状況を見て、将来の世代には厳密に理解できるかもしれません。厳密さは必要ですが、今できないからといって何かを放棄するほどではありません。」 1980年代には、家庭用コンピュータが算術を扱う能力が向上し、集合のカラフルな画像を作成するのに十分な精度を持つようになりました。ホビー愛好家たちは、これらの画像をさらに大きく拡大して探求することで、スケールが拡大する生々しい感覚を得ることができました。もし集合が惑星サイズの物体として考えられるなら、個人用コンピュータはその全体を示したり、都市のサイズの特徴や建物のサイズ、部屋のサイズ、本のサイズ、文字のサイズ、細菌のサイズ、原子のサイズを示すことができました。そのような画像を見た人々は、すべてのスケールに似たパターンがあることに気づきましたが、各スケールは異なっていました。そして、これらの微細な風景は、同じ数行のコンピュータコードによって生成されていました。 境界は、マンデルブロ集合プログラムが最も多くの時間を費やし、すべての妥協を行う場所です。そこで、100回、1,000回、10,000回の反復が突破できない場合、プログラムは依然としてある点が集合の内部にあるかどうかを絶対に確信することはできません。百万回目の反復が何をもたらすかは誰にもわかりません。そのため、最も印象的で深く拡大された集合の画像を生成するプログラムは、重いメインフレームコンピュータや並列処理に特化したコンピュータで実行され、数千の個別の脳が同じ算術を同期して実行していました。境界は、点が集合の引力から逃れるのが最も遅い場所です。まるで、ゼロにある引力と、実質的には無限の距離で集合を取り囲む引力との間でバランスを取っているかのようです。科学者たちがマンデルブロ集合自体から実際の物理現象を表現する新しい問題に移ると、集合の境界の特性が前面に出てきました。 動的システムにおける二つ以上のアトラクターの境界は、材料の破壊から意思決定に至るまで、多くの一般的なプロセスを支配するように見えるしきい値として機能します。このようなシステムの各アトラクターには、川が流域を持つように、それぞれの「盆地」が存在します。そして、各盆地には境界があります。1980年代初頭の影響力のあるグループにとって、最も有望な新しい数学と物理学の分野は、フラクタル盆地の境界の研究でした。この動的システムの分野は、システムの最終的で安定した挙動を記述することではなく、競合する選択肢の間でシステムがどのように選択するかに関心を持っていました。ローレンツの古典的なモデルのようなシステムには、1つのアトラクターしかなく、システムが落ち着くときに支配的な挙動を示し、それはカオス的なアトラクターです。他のシステムは、非カオス的な定常状態の挙動を持つことがありますが、複数の可能な定常状態を持つこともあります。フラクタル盆地の境界の研究は、いくつかの非カオス的な最終状態のいずれかに到達できるシステムの研究であり、どの状態に到達するかを予測する方法についての疑問を提起しました。カオスにその名を与えたジェームズ・ヨークは、フラクタル盆地の境界の調査を先駆けて行い、想像上のピンボールマシンを提案しました。ほとんどのピンボールマシンと同様に、スプリング付きのプランジャーがあります。プランジャーを引き戻して放すことで、ボールをプレイエリアに送り出します。このマシンには、ボールに追加のエネルギーを与えるゴム製のエッジや電気バウンサーがある傾斜のある風景があります。このキックは重要です。エネルギーが単に滑らかに減衰するわけではないからです。簡単のために、このマシンには底にフリッパーはなく、ただ二つの出口ランプがあります。ボールはどちらか一方のランプから出なければなりません。これは決定論的なピンボールです—マシンを揺らすことはできません。ボールの行き先を制御するのは唯一のパラメータで、それはプランジャーの初期位置です。マシンが配置されていて、プランジャーを短く引くと必ずボールが右側のランプから出る一方、長く引くと必ず左側のランプから出ると想像してみてください。その間では、ボールは通常のエネルギッシュで騒がしく、変動する寿命のある方法でバンパーからバンパーへと跳ね返りながら、最終的にどちらかの出口を選ぶことになります。次に、プランジャーの各可能な初期位置の結果をグラフにしてみましょう。そのグラフはただの線です。右側の出口に至る位置には赤い点を、左側には緑の点をプロットします。初期位置に応じて、これらのアトラクターについて何がわかるでしょうか？境界はフラクタル集合であることがわかります。必ずしも自己相似ではありませんが、無限に詳細です。線の一部の領域は純粋な赤または緑であり、他の領域は拡大すると、緑の中に新たな赤の領域や、赤の中に緑の領域が現れます。つまり、あるプランジャーの位置では、わずかな変化が影響を与えないこともあります。しかし、他の位置では、任意に小さな変化が赤と緑の違いを生むことになります。 第二の次元を加えるということは、第二のパラメータ、つまり第二の自由度を加えることを意味していました。例えば、ピンボールマシンを考えると、プレイングスロープの傾きを変えることの影響を考慮することができます。そうすると、エンジニアたちが敏感でエネルギーに満ちた実際のシステムの安定性を制御する責任を負う際に悪夢を引き起こすような、出入りの複雑さが見えてきます。例えば、電力網や原子力発電所など、1980年代にはカオスにインスパイアされた研究の対象となったものです。パラメータAのある値に対して、パラメータBは安心感のある秩序だった行動を生み出し、安定性のある領域が形成されることがあります。エンジニアたちは、彼らの線形思考に基づいた研究やグラフを作成することができました。しかし、近くには、パラメータBの重要性を変えるような別のパラメータAの値が潜んでいるかもしれません。ヨークは会議でフラクタルの盆地境界の画像を示すために立ち上がりました。いくつかの画像は、強制的に振動する振り子の挙動を表しており、最終的に二つの状態のいずれかに至ることができます。強制振り子は、彼の聴衆がよく知っているように、日常生活の中でさまざまな形を持つ基本的な振動子です。「誰も私が振り子を選んでシステムを操作したとは言えない」とヨークは陽気に言いました。「これは自然界全体で見られるものです。しかし、その挙動は文献で見るものとは異なります。それは野生のフラクタル的な挙動です。」その画像は、まるでキッチンのボウルがバニラとチョコレートのプリンを完全に混ぜ合わせる過程で何度かはねたかのように、白と黒の幻想的な渦を描いていました。このような画像を作成するために、彼のコンピュータは1,000×1,000の点のグリッドをスキャンし、それぞれが振り子の異なる初期位置を表し、結果をプロットしました：黒か白か。これらは引力の盆地であり、ニュートンの運動方程式によって混ぜ合わされ、折りたたまれたもので、結果的には境界が最も重要な要素となりました。通常、プロットされた点の75％以上が境界上に位置しています。 「動的システムの長期的な挙動がカオス的でない場合でも、カオスは一つの安定した挙動と別の安定した挙動の境界で現れることがあります。多くの場合、動的システムには複数の平衡状態があり、振り子がその基部に置かれた二つの磁石のいずれかで停止することができます。それぞれの平衡はアトラクターであり、二つのアトラクターの間の境界は複雑でありながら滑らかであることもあれば、複雑でありながら滑らかでないこともあります。白と黒の高度にフラクタル的な混ざり合いは、振り子の位相空間図です。このシステムは二つの可能な定常状態のいずれかに到達することが確実です。いくつかの初期条件では、結果は非常に予測可能であり、黒は黒、白は白です。しかし、境界付近では予測が不可能になります。研究者やエンジニアにとって、これらの画像には教訓があり、警告が含まれていました。 複雑なシステムの行動範囲は、しばしば限られたデータから推測しなければなりませんでした。システムが通常通りに機能し、狭いパラメータの範囲内に留まっているとき、エンジニアたちは観察を行い、あまり変わらない行動を外挿できることを期待しました。しかし、フラクタルの盆地境界を研究している科学者たちは、平穏と大惨事の境界が誰も想像していなかったほど複雑であることを示しました。「東海岸全体の電力網は振動するシステムであり、ほとんどの時間は安定しています。これを揺らしたときに何が起こるのかを知りたいのです」とヨークは言いました。「境界がどのようなものかを知る必要があります。しかし、実際には彼らはその境界がどのようなものか全く分かっていません。」 フラクタルの盆地境界は、理論物理学の深い問題に取り組んでいました。相転移は閾値の問題であり、ペイトゲンとリヒターは、材料における磁化と非磁化という、最もよく研究された相転移の一種を見ました。彼らの描く境界の画像は、奇妙に美しい複雑さを示し、カリフラワーの形状が次第に絡み合ったノブや溝を持つようになっていきました。パラメータを変え、詳細の拡大率を上げると、ある画像はますますランダムに見えるようになり、突然、驚くべき領域の中心に、つぼみで飾られた馴染みのある扁平な形が現れました。それはマンデルブロ集合であり、すべての触手とすべての原子が正確に配置されていました。これは普遍性の別の指標でした。「おそらく、私たちは魔法を信じるべきかもしれません」と彼らは書きました。 マイケル・バーンズリーは異なる道を選びました。彼は自然の画像、特に生物によって生成されるパターンについて考えました。彼はジュリア集合を使って実験し、他のプロセスを試み、常により大きな変動性を生み出す方法を探していました。最終的に、彼は自然の形状をモデル化する新しい技術の基盤としてランダム性に目を向けました。彼がその技術について書いたとき、彼はそれを「反復関数系によるフラクタルのグローバルな構築」と呼びましたが、話すときには「カオスゲーム」と呼びました。 カオスゲームを素早くプレイするには、グラフィックス画面とランダム数生成器を備えたコンピュータが必要ですが、原則として紙とコインでも同じように機能します。まず、紙のどこかにスタート地点を選びます。どこでも構いません。次に、表のルールと裏のルールの2つを考えます。ルールは、1つの点を別の点に移動させる方法を示します。「北東に2インチ移動する」や「中心に25パーセント近づく」といった具合です。さあ、コインを投げてポイントをマークし始めます。コインが表のときは表のルールを使い、裏のときは裏のルールを使います。最初の50ポイントを捨てると、まるでブラックジャックのディーラーが新しい配札で最初の数枚を埋めるように、カオスゲームはランダムな点のフィールドを生成するのではなく、ゲームが進むにつれてますます鮮明に明らかになる形を生み出します。 バーンズリーの中心的な洞察は次の通りです： ジュリア集合やその他のフラクタル形状は、決定論的なプロセスの結果として正しく捉えられる一方で、ランダムなプロセスの限界としても同様に有効な存在を持つということです。彼は比喩的に、部屋の床にチョークで描かれたイギリスの地図を想像することを提案しました。測量士が標準的な道具を使ってこれらの複雑な形状、つまりフラクタルの海岸線を持つ形状の面積を測るのは難しいでしょう。しかし、もし一粒ずつ米粒を空中に投げ、ランダムに床に落ちるのを許し、地図の中に落ちた粒の数を数えるとします。時間が経つにつれて、その結果は形状の面積に近づいていきます—これはランダムプロセスの限界です。動的な観点から見ると、バーンズリーの形状はアトラクターであることが証明されました。カオスゲームは、特定の画像のフラクタル特性、つまり主要な画像の小さなコピーから構成される特性を利用しました。ランダムに反復される一連のルールを記述する行為は、形状に関する特定の全体的な情報を捉え、ルールの反復はスケールに関係なくその情報を再現しました。ある意味で、形状がフラクタルであればあるほど、適切なルールはシンプルになります。バーンズリーはすぐに、マンデルブロの本にある今やクラシックなフラクタルをすべて生成できることを発見しました。マンデルブロの技法は、無限の構築と洗練の連続でした。コッホの雪の結晶やシェルピンスキーのガスケットの場合、線分を取り除き、指定された図形に置き換えます。しかし、カオスゲームを使用することで、バーンズリーはぼんやりとしたパロディから始まり、徐々に鮮明になる画像を作成しました。洗練のプロセスは必要ありませんでした：最終的な形状を何らかの形で体現する単一のルールセットだけが必要でした。バーンズリーと彼の同僚たちは、キャベツや型、泥の画像を生み出す制御不能なプログラムに着手しました。重要な質問は、そのプロセスを逆転させる方法でした：特定の形状が与えられたとき、どのようにルールセットを選ぶかです。その答えは、彼が「コラージュ定理」と呼んだもので、説明が非常に単純すぎて、聞き手は時々何らかのトリックがあるのではないかと思ったほどです。再現したい形状の図を描くことから始めます。バーンズリーは、長年のシダ愛好家であるため、最初の実験の一つに黒いスプリーンワートのシダを選びました。そして、コンピュータ端末とマウスをポインティングデバイスとして使用し、元の形状の上に小さなコピーを重ねていきます。必要に応じて、雑に重なっても構いません。非常にフラクタルな形状は、自身のコピーで簡単にタイル状に配置でき、あまりフラクタルでない形状はそう簡単にはいきませんが、ある程度の近似レベルではすべての形状をタイル状に配置することができます。カオスゲームでは、新しい点はランダムに落ちますが、徐々にシダの画像が浮かび上がります。必要なすべての情報は、いくつかのシンプルなルールにエンコードされています。「もし画像が複雑であれば、ルールも複雑になるだろう」とバーンズリーは言いました。 「一方で、もしその対象が隠れたフラクタルの秩序を持っているなら、そしてベノワの観察によれば自然界の多くにはこの隠れた秩序が存在するのだが、いくつかのルールを使ってそれを解読することが可能になるだろう。したがって、このモデルはユークリッド幾何学で作られたモデルよりも興味深い。なぜなら、葉の端を見たときに直線が見えないことを私たちは知っているからだ。」彼が子供の頃から持っていたシダの本に載っている画像と完璧に一致する最初のシダを、小型のデスクトップコンピュータで作り出した。「それは驚くべき画像で、すべての面において正確だった。生物学者なら誰でもそれを特定するのに問題はないだろう。」 ある意味で、バーンズリーは自然が独自のカオスゲームを行っているに違いないと主張した。「1つのシダをエンコードする胞子の中には限られた情報しかない」と彼は言った。「したがって、シダが成長する際の複雑さには限界がある。シダを説明するための同等の簡潔な情報を見つけられるのは驚くべきことではない。逆であれば驚くべきだ。」 しかし、偶然は必要なのだろうか？ハバードもまた、マンデルブロ集合と生物学的情報のエンコーディングの類似点について考えたが、そうしたプロセスが確率に依存する可能性を示唆されると不快感を示した。「マンデルブロ集合にはランダム性はない」とハバードは言った。「私が行うことには何のランダム性もない。ランダム性の可能性が生物学に直接関係するとは思わない。生物学においてランダム性は死であり、カオスも死だ。すべては高度に構造化されている。植物をクローンする際、枝が出る順序は全く同じだ。マンデルブロ集合は非常に正確なスキームに従い、何も偶然に任せてはいない。誰かが実際に脳の組織の仕組みを解明する日が来れば、彼らは驚くべきことに、脳を構築するための非常に精密なコーディングスキームが存在することを発見するだろう。生物学におけるランダム性の概念は単なる反射に過ぎない。」 しかし、バーンズリーの技術においては、偶然は単なる道具として機能する。結果は決定論的で予測可能だ。コンピュータの画面上で点が点滅する際、次の点がどこに現れるかを誰も予測できない。それは機械の内部コインの裏表に依存している。しかし、光の流れは常にリン光で形を刻むために必要な範囲内に留まる。したがって、偶然の役割は幻想である。「ランダム性は赤いニシンだ」とバーンズリーは言った。「それはフラクタルオブジェクト上に存在する特定の不変測度の画像を得るために中心的な役割を果たす。しかし、オブジェクト自体はランダム性に依存していない。確率1で、常に同じ絵を描くことができる。『それは深い情報を提供し、ランダムなアルゴリズムでフラクタルオブジェクトを探ることだ。私たちが新しい部屋に入るとき、目がその中をある順序で動き回るが、それはランダムだと考えても良い。そうして私たちはその部屋の良いイメージを得る。部屋はただそれだけのものであり、オブジェクトは私が何をしようとも存在する。』マンデルブロ集合も同様に存在する。」 それは、ペイトゲンとリヒターがそれを芸術形式に変える前、ハバードとドゥアディがその数学的本質を理解する前、さらにはマンデルブロがそれを発見する前から存在していました。科学が複素数の枠組みや反復関数の概念を創造した瞬間から、それは存在していたのです。そして、それは明らかにされるのを待っていました。あるいは、自然が単純な物理法則によって自己を組織し始めた時点で、すでに存在していたのかもしれません。それは無限の忍耐で繰り返され、どこでも同じように現れました。 マンデルブロ集合のプログラムには、いくつかの基本的な要素が必要です。主なエンジンは、出発点となる複素数に算術ルールを適用する命令のループです。マンデルブロ集合の場合、そのルールは次のようになります：Z = Z² + c、ここでZはゼロから始まり、cはテストされる点に対応する複素数です。まず0を取り、それを自分自身で掛け、出発点の数を足します。次に、その結果（出発点の数）を自分自身で掛け、再び出発点の数を足します。そして新しい結果を取り、それを自分自身で掛け、出発点の数を足します。複素数の算術は簡単です。複素数は2つの部分で表記されます。例えば、2 + 3i（複素平面上の2東、3北の点のアドレス）です。複素数のペアを加えるには、実部を足して新しい実部を得て、虚部を足して新しい虚部を得ます： 2 + 3i + 9 - 2i = 11 + i 2つの複素数を掛けるには、一方の数の各部分を他方の各部分と掛け合わせ、4つの結果を足し合わせます。iが自分自身と掛けると-1になるため、虚数の元の定義により、結果の一つの項が別の項に収束します。 (2 + 3i) × (4 + 3i) = 8 + 6i + 12i + 9(-1) = -5 + 12i このループから抜け出すために、プログラムは累積合計を監視する必要があります。もし合計が無限大に向かって進み、平面の中心からどんどん遠ざかる場合、元の点は集合に属しません。また、累積合計が実部または虚部のいずれかで2を超えたり-2未満になった場合、それは確実に無限大に向かって進んでいます—プログラムは次に進むことができます。しかし、プログラムが2を超えることなく計算を何度も繰り返す場合、その点は集合の一部です。繰り返す回数は拡大率によります。個人用コンピュータでアクセス可能なスケールでは、100回または200回が十分であり、1,000回は安全です。 プログラムは、グリッド上の数千の点それぞれに対してこのプロセスを繰り返さなければなりません。拡大率を調整できるスケールで行います。そして、プログラムはその結果を表示しなければなりません。集合内の点は黒で色付けされ、他の点は白で色付けされます。また、より鮮やかな画像を求める場合、白い点は色のグラデーションに置き換えることができます。例えば、10回の繰り返しで計算が終了した場合、プログラムは赤い点をプロットするかもしれません。20回の繰り返しではオレンジの点、40回の繰り返しでは黄色の点、という具合です。色やカットオフポイントの選択は、プログラマーの好みに応じて調整できます。 色彩は、セットの外側に広がる地形の輪郭を浮かび上がらせる。ダイナミカルシステムズコレクティブ。革命的な分断を越えたコミュニケーションは、必然的に部分的なものになる。—トーマス・S・クーン サンタクルーズは、カリフォルニア大学システムの中で最も新しいキャンパスで、サンフランシスコの南に1時間の距離にある物語のような風景の中に作られた。人々は時々、ここは大学というよりも国立公園のようだと言った。建物はレッドウッドの間にひっそりと佇み、当時の精神に則って、計画者たちはすべての木を残そうと努力した。小道があちこちに伸びていた。キャンパス全体は丘の上にあり、時折、モントレーバイのきらめく波を見下ろすことができた。サンタクルーズは1966年に開校し、数年のうちに一時的にカリフォルニアのキャンパスの中で最も選抜性が高くなった。学生たちは、ノーマン・O・ブラウン、グレゴリー・ベイトソン、ハーバート・マルクーゼといった知的アヴァンギャルドのアイコンたちとこの学校を結びつけていた。彼らはここで講義を行い、トム・レアーが歌った。学校の大学院はゼロからのスタートで、あいまいな展望を抱えて始まり、物理学も例外ではなかった。教員は約15人の物理学者で構成されており、エネルギッシュでほとんどが若く、サンタクルーズに惹かれる明るい非協調者たちに適していた。彼らは当時の自由思想のイデオロギーに影響を受けていたが、同時に物理学者たちは南のカリフォルニア工科大学を見つめ、基準を確立し、真剣さを示す必要があることを理解していた。 その真剣さに疑いの余地がなかった大学院生がロバート・ステットソン・ショーだった。彼はボストン出身のひげを生やしたハーバード大学の卒業生で、医者と看護師の6人兄弟の長男で、1977年には31歳になるところだった。彼は他の大学院生より少し年上で、ハーバードでのキャリアは軍務、共同生活、その他の即興的な経験のために何度も中断されていた。彼はなぜサンタクルーズに来たのか分からなかった。キャンパスを見たことはなかったが、レッドウッドの写真や新しい教育哲学を試みるという言葉が載ったパンフレットを見たことはあった。ショーは静かで、力強い意味で内気だった。彼は優秀な学生で、超伝導に関する博士論文を完成させるまであと数ヶ月というところまで来ていた。彼が物理学棟の下でアナログコンピュータで遊んでいることを、誰も特に気にしていなかった。 物理学者の教育は、メンターとその弟子たちのシステムに依存している。確立された教授たちは、実験室の作業や面倒な計算を手伝う研究助手を得る。その見返りに、大学院生やポスドクは教授の助成金の一部や出版クレジットを得る。良いメンターは、学生が管理可能で実りのある問題を選ぶ手助けをする。もしその関係が繁栄すれば、教授の影響力は弟子が就職するのを助けることになることが多い。彼らの名前は永遠に結びつくことになるだろう。 科学がまだ存在しない時、教える準備ができている人はほとんどいない。しかし、1977年にはカオス理論のメンターは存在しなかった。カオスに関する授業はなく、非線形研究や複雑系の研究センターもなく、カオスの教科書も、カオスに関する学術誌すらなかった。サンタクルーズの宇宙論者で相対性理論の専門家であるウィリアム・バークは、ボストンのホテルのロビーで、友人の天体物理学者エドワード・A・スピーゲルと午前1時に出会った。彼らは一般相対性理論に関する会議に参加していた。「やあ、ローレンツアトラクタを聞いていたところなんだ」とスピーゲルが言った。スピーゲルは、ハイファイセットに接続された即席の回路を使って、このカオスの象徴をループするスライドホイッスルのアンチメロディに変換していた。彼はバークをバーに連れて行き、説明を始めた。スピーゲルはローレンツを個人的に知っており、1960年代からカオスについて知っていた。彼は星の運動モデルにおける不規則な振る舞いの手がかりを追求することを仕事にしており、フランスの数学者たちとも連絡を取り合っていた。最終的に、コロンビア大学の教授として、彼は宇宙における乱流—「宇宙の不整脈」—を天文学の研究の焦点にした。彼は新しいアイデアで同僚たちを魅了する才能があり、夜が更けるにつれてバークも魅了された。バークはそういったことにオープンだった。彼はアインシュタインの物理学への逆説的な贈り物の一つ、時空の布を通る重力波の概念を研究することで名声を得ていた。それは非常に非線形な問題であり、流体力学における厄介な非線形性に関連する不具合があった。また、適切に抽象的で理論的でもあったが、バークは地に足のついた物理学も好んでおり、一時はビールグラスの光学に関する論文を発表したこともあった。どれだけ厚いガラスにしても、ビールの見た目が満杯に見えるかという内容だった。彼は物理学を現実だと考える少し古風な人間だと言っていた。さらに、彼はロバート・メイの「Nature」に掲載された論文を読み、単純な非線形システムについての教育をもっと求める切実な訴えに共感し、彼自身も計算機でメイの方程式をいくつかの時間をかけて遊んでみた。だから、ローレンツアトラクタは興味深い響きだった。彼はそれを聞くつもりはなかった。彼はそれを見たかった。サンタクルーズに戻ると、彼はロブ・ショーに、3つの微分方程式を走り書きした紙を渡した。「これをアナログコンピュータに入れてもらえるか？」コンピュータの進化の中で、アナログ機械は盲目的な路地を代表していた。物理学の部門には属さず、サンタクルーズにそのようなものが存在するのは純粋な偶然だった。サンタクルーズの最初の計画には工学部が含まれていたが、工学部がキャンセルされた時には、熱心な購買担当者がすでにいくつかの機器を購入していた。デジタルコンピュータは、オフまたはオン、ゼロまたは一、ノーまたはイエスの回路から構築されていた。 プログラマーが求めた質問に対する正確な答えは、コンピュータ革命を支配した技術の小型化と加速に対して、はるかに適応しやすいものでした。デジタルコンピュータで一度行ったことは、同じ結果を得るために再び行うことができ、原則として他のどのデジタルコンピュータでも実行可能でした。一方、アナログコンピュータは設計上、あいまいでした。その基本要素は「はい」または「いいえ」のスイッチではなく、抵抗器やコンデンサーのような電子回路で構成されており、これは固体素子が普及する前のラジオで遊んだことのある人にはすぐに馴染みのあるものでした。サンタクルーズにあった機械は、シストロン・ドナーという重くて埃まみれのもので、前面には古い電話交換機で使われるパッチパネルがありました。アナログコンピュータのプログラミングは、電子部品を選び、パッチパネルにコードを差し込むことが必要でした。さまざまな回路の組み合わせを構築することで、プログラマーは工学問題に適した方法で微分方程式のシステムをシミュレートします。たとえば、自動車のサスペンションをスプリング、ダンパー、質量でモデル化して、最も快適な乗り心地を設計したいとします。回路内の振動は、物理システムの振動に対応させることができます。コンデンサーはスプリングの代わりになり、インダクターは質量を表します。計算は正確ではなく、数値計算は回避されます。その代わりに、金属と電子でできたモデルがあり、非常に速く、何よりも簡単に調整可能です。ノブを回すだけで、スプリングを強くしたり摩擦を弱くしたりすることができます。そして、オシロスコープの画面上で結果がリアルタイムで変化する様子を観察できます。超伝導研究室の上階で、ショーは論文作業の終わりに向かって漫然と進んでいましたが、彼はシストロン・ドナーで遊ぶ時間をますます増やしていました。彼は簡単なシステムの位相空間ポートレートを見られるところまで進んでおり、周期的な軌道やリミットサイクルの表現を観察していました。もし彼がストレンジアトラクターの形でカオスを見たことがあったとしても、彼はそれを認識していなかったに違いありません。彼に渡されたローレンツ方程式は、彼がいじっていたシステムと同じくらい複雑ではありませんでした。適切なコードを接続し、ノブを調整するのに数時間しかかかりませんでした。数分後、ショーは超伝導の論文を決して完成させることはないと確信しました。彼はその地下室で数晩を過ごし、オシロスコープの緑の点が画面上を飛び回り、ローレンツアトラクターの特徴的なフクロウのマスクを何度も描く様子を見ていました。その形の流れは網膜に留まり、ちらちらとした、ひらひらとしたもので、ショーの研究が示したどの物体とも異なっていました。それは独自の生命を持っているように見えました。決して繰り返されないパターンで動く炎のように、心を捉えました。アナログコンピュータの不正確さと完全には再現できない特性は、ショーにとって有利に働きました。 彼は、初期条件に対する敏感な依存性をすぐに理解し、それがエドワード・ローレンツに長期的な天気予報の無意味さを納得させたことを知りました。彼は初期条件を設定し、スタートボタンを押すと、アトラクターが動き出しました。そして、同じ初期条件を再度設定しました—物理的に可能な限り近く—すると、軌道は以前のコースから楽しく逸れていきましたが、最終的には同じアトラクターにたどり着きました。子供の頃、ショーは科学がどのようなものかについて幻想を抱いていました—ロマンチックに未知の世界へと飛び込むことです。これは、彼の幻想に応えるような探求の一種でした。低温物理学は、いじり好きの視点から見ると楽しいもので、配管や大きな磁石、液体ヘリウムやダイヤルがたくさんありました。しかし、ショーにとっては、どこにも導いてくれないものでした。すぐに彼はアナログコンピュータを上の階に移動させ、その部屋は超伝導のためには二度と使われることはありませんでした。「これらのノブに手を置くだけで、突然、あなたはこの別の世界を探検していることになります。そこではあなたは最初の旅行者の一人で、息をするために浮上したくないのです」と、ローレンツアトラクターの動きを見に初期の頃に立ち寄った数学の教授ラルフ・アブラハムは言いました。彼はスティーブ・スメールと共にバークレーの最も輝かしい初期の時代を過ごしていたため、ショーの遊び心の重要性を理解できる数少ないサンタクルーズの教員の一人でした。彼の最初の反応は、表示の速さに対する驚きでした—ショーは、さらに速く動かないように追加のコンデンサーを使っていることを指摘しました。アトラクターも頑丈でした。アナログ回路の不正確さがそれを証明しました—ノブの調整や微調整はアトラクターを消失させることはなく、ランダムなものに変えることもありませんでしたが、徐々に意味を持つようにそれを変えたり曲げたりしました。「ロブは、少しの探求で全ての秘密が明らかになるという自発的な体験をしました」とアブラハムは言いました。「重要な概念—リャプノフ指数やフラクタル次元—は自然に思いつくものでした。あなたはそれを見て、探求を始めるのです。」これは科学なのでしょうか？確かに、これは数学ではありませんでした。このコンピュータ作業には形式主義や証明がなく、アブラハムのような人々からの同情的な励ましがあっても、それは変わりませんでした。物理学の教員たちも、これが物理学である理由を見出すことはありませんでした。何であれ、それは観衆を引き寄せました。ショーは通常、ドアを開けており、物理学部の入り口がちょうど廊下の向かいにあったため、通行人はかなりの数でした。しばらくすると、彼は仲間を得ることになりました。「ダイナミカルシステムズコレクティブ」と名乗るグループ—他の人々は時々「カオス・カバール」と呼んでいました—は、ショーを静かな中心として依存していました。彼は学問の市場で自分のアイデアを提案することに対してある種の内気さを抱えていましたが、幸運なことに彼の新しい仲間たちはそのような問題を抱えていませんでした。彼らは、一方で、認識されていない科学を探求するための計画のないプログラムを実行するためのショーの安定したビジョンにしばしば戻ってきました。 ドイン・ファーマーは、背が高く、角ばった体形で、砂色の髪を持つテキサス出身の男で、グループの最も雄弁なスポークスマンとなった。1977年、彼は24歳で、エネルギーと熱意に満ちたアイデアの機械のような存在だった。彼に会った人々は、最初は彼がただの口先だけの男ではないかと疑うこともあった。ノーマン・パッカードは、彼より3歳若く、同じニューメキシコ州のシルバーシティで育った幼なじみで、ファーマーがルーレットのゲームに運動の法則を適用する計画に全エネルギーを注ぐために1年間の休暇を取るちょうどその秋、サンタクルーズに到着した。この事業は真剣である一方、突飛なものであった。ファーマーと、変わりゆく仲間の物理学者やプロのギャンブラー、そしてその周辺の人々は、10年以上にわたりルーレットの夢を追い続けた。ファーマーはロスアラモス国立研究所の理論部門に参加した後も、その夢を諦めなかった。彼らは傾きや軌道を計算し、カスタムソフトウェアを作成しては書き直し、靴にコンピュータを埋め込み、ギャンブルカジノに神経をすり減らしながら突入した。しかし、計画通りにいくことはなかった。集団のメンバーは、ショーを除いて全員がルーレットにエネルギーを注ぎ、プロジェクトは彼らに動的システムの迅速な分析において異常な訓練を与えたが、サンタクルーズの物理学部の教員たちがファーマーが科学を真剣に受け止めているかどうかを安心させることにはほとんど寄与しなかった。グループの4人目のメンバーは、ジェームズ・クルッチフィールドで、最年少で唯一のカリフォルニア出身者だった。彼は背が低く、がっしりとした体格で、スタイリッシュなウィンドサーフィン愛好者であり、集団にとって最も重要なのは、計算の直感的な達人であった。クルッチフィールドは学部生としてサンタクルーズに来て、ショーのプレカオス超伝導実験のラボアシスタントとして働き、「丘を越えて」とサンタクルーズで言われるサンノゼのIBM研究所に通勤するために1年を費やし、1980年まで実際には物理学部の大学院生としては参加しなかった。その頃には、彼はショーの研究室に2年間も居続け、動的システムを理解するために必要な数学を急いで学んでいた。グループの他のメンバーと同様に、彼も学部の標準的な進路を離れていた。1978年の春には、学部がショーが超伝導の論文を放棄することを完全に信じるようになった。彼は完成に非常に近づいていた。どれほど退屈であったとしても、教員たちは彼が形式的な手続きを急いで終わらせ、博士号を取得して現実の世界に進むことができると考えていた。カオスに関しては、学問的な適性の問題があった。サンタクルーズには、この名もなき分野の研究を監督できる資格を持つ者はいなかった。誰もこの分野で博士号を取得したことはなかった。確かに、この種の専門性を持つ卒業生のための仕事は存在しなかった。また、資金の問題もあった。サンタクルーズの物理学は、他のアメリカの大学と同様に、主に国立科学財団や連邦政府の他の機関からの研究助成金によって教員に資金提供されていた。 海軍、空軍、エネルギー省、中央情報局は、流体力学、空気力学、エネルギー、または情報に即座に応用されることを必ずしも気にせず、純粋な研究のために膨大な資金を投入していました。大学の物理学者は、研究助手の給料や実験室の設備を賄うのに十分な資金を得ることができました。大学院生たちは彼の助成金を利用して、彼の研究に参加していました。彼は彼らのコピー代や会議への移動費、夏の間の生活費まで支払っていました。そうでなければ、学生は経済的に困窮してしまうのです。これが、ショー、ファーマー、パッカード、クルッチフィールドが自らを切り離したシステムでした。 ある種の電子機器が夜間に消えていくことが増えると、ショーの以前の低温実験室でそれらを探すのが賢明だと考えられるようになりました。時折、集団のメンバーが大学院生協から100ドルを借りることができたり、物理学科がその金額を捻出する方法を見つけたりしました。プロッターやコンバーター、電子フィルターが次第に集まっていきました。廊下の向こうにある粒子物理学のグループは、廃棄される運命にあった小型のデジタルコンピュータを持っており、それがショーの実験室に運ばれました。ファーマーは特にコンピュータの使用時間を確保する専門家となりました。ある夏、彼はコロラド州ボルダーにある国立大気研究センターに招待され、そこで巨大なコンピュータが全球気象モデルの研究を扱っていました。彼がこれらの機械から高価な時間を吸い上げる能力は、気候学者たちを驚かせました。 サンタクルーズの人々の工夫する感性は、彼らにとって大いに役立ちました。ショーは「ガジェット志向」で育ちました。パッカードはシルバーシティで少年時代にテレビを修理していました。クルッチフィールドは、コンピュータプロセッサの論理が自然言語である最初の世代の数学者の一人でした。物理学棟自体は、日陰のレッドウッドの環境の中で、どこにでもある物理学棟のように、セメントの床と壁が常に再塗装を必要とする普遍的な雰囲気を持っていましたが、混沌としたグループが占有した部屋は、独自の雰囲気を発展させ、紙の山やタヒチの島民の写真が壁に飾られ、最終的には奇妙なアトラクターの印刷物が並ぶようになりました。ほぼいつでも、夜の方が朝より安全な選択肢でしたが、訪問者はグループのメンバーが回路を再配置したり、パッチコードを引き抜いたり、意識や進化について議論したり、オシロスコープの表示を調整したり、ただ光る緑の点が光の曲線を描くのを見つめたりしているのを見ることができました。その軌道は生き物のようにちらちらと揺れ動いていました。 「私たち全員を引きつけたのは、決定論を持ちながらも本当に決定論ではないという考えでした」とファーマーは言いました。「私たちが学んできたすべての古典的な決定論的システムがランダム性を生み出すことができるというアイデアは魅力的でした。それがどのように機能するのかを理解したいという衝動に駆られました。『そのような啓示を理解するには、典型的な物理学のカリキュラムで6年か7年も洗脳されていなければなりません。あなたは…』」 古典的なモデルでは、すべてが初期条件によって決定されると教えられ、量子力学的なモデルでは、物事は決定されるものの、初期情報をどれだけ集められるかに制限があることがわかります。非線形という言葉は、教科書の後ろの方でしか目にしませんでした。物理学の学生は数学の授業を受け、最後の章では非線形方程式について扱いますが、通常はその部分を飛ばしてしまいます。もし飛ばさなかったとしても、彼らがすることは非線形方程式を線形方程式に還元するだけで、結局は近似解しか得られませんでした。それはただのフラストレーションの演習でした。「私たちは、非線形性がモデルに与える実際の違いについての概念を持っていませんでした。方程式が一見ランダムに跳ね回るというアイデアは、非常に興味深いものでした。『このランダムな動きはどこから来ているのか？方程式の中には見当たらない。』それは、何もないところから何かが生まれるような感じでした。」 クルッチフィールドは言いました。「ここには、現在の枠組みには収まらない物理的経験の全く新しい領域があるということに気づいたのです。なぜそれが私たちの教育の一部ではなかったのか？私たちは身の回りの世界を見渡す機会がありました。それはとても平凡でありながら素晴らしい世界で、何かを理解することができたのです。」 彼らは自らを魅了し、教授たちを驚かせました。決定論、知性の本質、生物進化の方向性についての問いに飛びついたのです。「私たちを結びつけていたのは、長期的なビジョンでした」とパッカードは言いました。「古典物理学で徹底的に分析された通常の物理システムを考えたとき、パラメータ空間で一歩離れるだけで、これまでの膨大な分析が適用できない何かに行き着くということが私たちには衝撃的でした。カオスの現象は、ずっと昔に発見されていたかもしれません。しかし、それは、通常の運動の動力学に関する膨大な研究がその方向に導かなかったためでもあります。しかし、ただ見るだけで、そこにあるのです。物理学や観察に導かれることを許し、どのような理論的な絵を描けるかを考えることが重要だということを実感しました。長い目で見れば、複雑な動力学の探求は、本当に複雑な動力学を理解するための入り口になると考えました。」 ファーマーは言いました。「哲学的なレベルでは、自由意志を定義するための操作的な方法として私に響きました。それは、自由意志と決定論を調和させることを可能にするものでした。システムは決定論的ですが、次に何をするかはわかりません。同時に、私は常に、世界の重要な問題は、生命や知性における組織の創造に関係していると感じていました。しかし、それをどうやって研究するのでしょうか？生物学者たちがやっていることは、非常に応用的で具体的に見えました。化学者たちは確かにそれをやっていませんでしたし、数学者たちも全くやっていませんでした。そして、物理学者たちもそれを行うことはありませんでした。」 私は常に、自己組織化の自発的な出現が物理学の一部であるべきだと感じていました。「ここには二つの側面を持つコインがありました。ここには秩序があり、そこからランダム性が生じ、さらに一歩進むと、ランダム性には独自の秩序が存在していました。」 ショーと彼の同僚たちは、自分たちの生の熱意を科学的なプログラムに変えなければなりませんでした。彼らは答えられるべき質問、そして答える価値のある質問を考えなければなりませんでした。彼らは理論と実験を結びつける方法を模索しました。そこには埋めるべきギャップがあると感じていたのです。彼らが始める前に、何が知られていて何が知られていないのかを学ぶ必要があり、これ自体が大きな挑戦でした。特に新しいテーマが既存のサブディシプリンを越えて飛び出すとき、科学におけるコミュニケーションが断片的に進む傾向が彼らの妨げとなりました。しばしば、彼らは自分たちが新しい領域にいるのか古い領域にいるのか全く分かりませんでした。彼らの無知に対する貴重な解毒剤は、ジョセフ・フォードでした。フォードはジョージア工科大学でカオスの提唱者として知られていました。彼はすでに非線形ダイナミクスが物理学の未来であると決めており、その未来全体を見据えて、学術論文に関する情報の集約所として自らを位置づけていました。彼の専門は非散逸的カオス、つまり天体システムや粒子物理学のカオスでした。彼はソビエト学派の研究に関する非常に親密な知識を持ち、この新しい事業の哲学的精神を共有する人々とのつながりを探すことを自らの使命としました。彼はどこにでも友人がいました。非線形科学に関する論文を送った科学者は、フォードの増え続ける要約リストに自分の研究がまとめられることになりました。サンタクルーズの学生たちはフォードのリストについて知り、論文の事前出版コピーをリクエストするためのポストカードを作成しました。すぐに事前印刷物が殺到しました。彼らは、奇妙なアトラクターについて多くの種類の質問ができることに気づきました。それらの特徴的な形状は何か？トポロジーの構造は何か？その幾何学は関連する動的システムの物理学について何を明らかにするのか？最初のアプローチは、ショーが始めた実践的な探求でした。数学的文献の多くは構造に直接関わっていましたが、数学的アプローチはショーには詳細すぎると感じられました。まだ木々が多すぎて森が見えないのです。彼は文献を読み進める中で、数学者たちが自らの伝統によって新しい計算ツールを持たず、軌道構造の特有の複雑さに埋もれてしまっていると感じました。数学者たちは、物理学者の視点から見れば、実世界のシステムを確実に制御する「曖昧さ」に特に関心を持っていなかったのです。ショーはオシロスコープで個々の軌道を見るのではなく、軌道が埋め込まれたエンベロープを見ていました。彼がつまみを優しく回すと、そのエンベロープが変化しました。彼は数学的トポロジーの言葉で折り目やねじれを厳密に説明することはできませんでした。 彼は次第に、彼らを理解しているように感じ始めた。物理学者は測定を行いたいと思っている。これらの捉えどころのない動く画像の中に、何を測定するものがあるのだろうか？ショーや他の研究者たちは、奇妙なアトラクターを魅力的にする特別な特性を特定しようとした。初期条件への敏感な依存性—近くの軌道が互いに引き離される傾向。これが、ローレンツが決定論的な長期天気予報が不可能であることを認識させた特性だった。しかし、こうした特性を測るためのキャリパーはどこにあるのだろうか？予測不可能性自体は測定できるのだろうか？この問いの答えは、ロシアの概念であるリャプノフ指数にあった。この数値は、予測不可能性のような概念に対応する位相的特性を測る手段を提供した。システム内のリャプノフ指数は、アトラクターの位相空間における伸び、収縮、折りたたみの相反する効果を測定する方法を提供した。これにより、システムの安定性または不安定性につながるすべての特性の全体像が示された。ゼロより大きい指数は伸びを意味し、近くの点が離れていくことを示す。ゼロより小さい指数は収縮を意味する。固定点アトラクターの場合、すべてのリャプノフ指数は負であり、引力の方向は最終的な定常状態に向かって内向きであった。周期的軌道の形をしたアトラクターは、ちょうどゼロの指数を一つ持ち、他の指数は負であった。奇妙なアトラクターは、少なくとも一つの正のリャプノフ指数を持たなければならないことが分かった。サンタクルーズの学生たちはこのアイデアを発明したわけではなかったが、彼らはリャプノフ指数を測定し、他の重要な特性と関連付ける方法を学び、最も実用的な形でこのアイデアを発展させた。彼らはコンピュータアニメーションを使って、動的システムにおける秩序と混沌の共鳴を示す映画を制作した。彼らの分析は、あるシステムが一方向に無秩序を生み出しながら、別の方向では整然とした方法を維持できることを鮮やかに示した。ある映画では、奇妙なアトラクター上の初期条件を表す近くの点の小さなクラスターが、時間とともにシステムが進化する中でどうなるかを示していた。クラスターは広がり始め、焦点を失っていった。それは点になり、次に塊になった。特定の種類のアトラクターでは、その塊はすぐに全体に広がる。こうしたアトラクターは混合に優れていた。しかし、他のアトラクターでは、広がりは特定の方向にしか起こらなかった。塊はバンドになり、一つの軸に沿っては混沌としており、別の軸に沿っては秩序だった。まるでシステムが秩序ある衝動と無秩序な衝動を同時に持ち、それらが分離しているかのようだった。一方の衝動がランダムな予測不可能性を引き起こす一方で、もう一方は正確な時計のように時間を刻んでいた。両方の衝動は定義され、測定可能だった。混沌とした混合。一つの塊は急速に混合し、もう一つの塊は中心に少し近いだけで、ほとんど混合しなかった。ジュリオ・M・オッティーノらによる実際の流体を用いた実験では、そのプロセスが明らかになった。 混合は自然界や産業において広く存在するものの、依然として十分に理解されていない現象であり、混合はカオスの数学と密接に結びついていることが明らかになりました。そのパターンは、ストレッチと折りたたみを示し、スメールのウマの地図に戻ることにつながりました。サンタクルーズのカオス研究における最も特徴的な印象は、1940年代後半にベル電話研究所の研究者クロード・シャノンによって発明された、数学と哲学の一部である情報理論に関わるものでした。シャノンは自らの研究を「通信の数学的理論」と呼びましたが、それは情報と呼ばれる特別な量に関するものであり、そのため「情報理論」という名前が定着しました。この理論は電子時代の産物でした。通信回線やラジオ送信はある特定のものを運んでおり、コンピュータはすぐにパンチカードや磁気シリンダーにこの同じものを保存することになるのですが、その「もの」は知識でも意味でもありませんでした。その基本単位はアイデアや概念、さらには必ずしも言葉や数字でもありませんでした。この「もの」は意味のあるものでも無意味なものでもあり得ましたが、エンジニアや数学者はそれを測定し、伝送し、その正確性をテストすることができました。「情報」という言葉は適切なものでしたが、人々はそれが事実、学び、知恵、理解、啓発といった通常の意味合いを持たない専門的な価値中立的な用語であることを忘れない必要がありました。ハードウェアは理論の形を決定しました。情報が新たにビットとして指定された二進法のオン・オフスイッチに保存されるため、ビットは情報の基本的な測定単位となりました。技術的な観点から見ると、情報理論はランダムエラーの形でのノイズがビットの流れにどのように干渉するかを把握するための手段となりました。それは、通信回線やコンパクトディスク、あるいは言語、音、画像を符号化するあらゆる技術の必要な伝送容量を予測する方法を提供しました。また、エラーを修正するためのさまざまな手法の効果を計算するための理論的手段を提供しました。たとえば、いくつかのビットを他のビットのチェックとして使用することです。これは「冗長性」という重要な概念に力を与えました。シャノンの情報理論において、普通の言語はメッセージを伝えるために厳密には必要ない音や文字の形で50％以上の冗長性を含んでいます。これはよく知られた考えであり、口ごもりやタイプミスのある世界での通常のコミュニケーションは冗長性に依存しています。「もしあなたがこのメッセージを読めるなら…」という有名な速記トレーニングの広告はその点を示しており、情報理論によってそれを測定することが可能になりました。冗長性はランダムからの予測可能な逸脱です。普通の言語における冗長性の一部はその意味にあり、その部分は人々の言語や世界に対する共有知識に依存しているため、定量化するのが難しいです。これは人々がクロスワードパズルを解いたり、文の最後の欠けた言葉を埋めたりすることを可能にする部分です。しかし、他の種類の冗長性は数値的な測定により適しやすいものです。 統計的に見ると、英語の中で「e」という文字が出現する確率は、26分の1よりもはるかに高いです。さらに、文字は孤立した単位として数える必要はありません。英語のテキストの中に「t」という文字があることを知っていると、次に「h」や「o」が来る可能性を予測するのに役立ちますし、2文字を知っているとさらに予測がしやすくなります。このように、さまざまな2文字や3文字の組み合わせが言語に現れる統計的傾向は、その言語の特性を捉えるのに大いに役立ちます。3文字の可能なシーケンスの相対的な可能性に基づいてのみ導かれたコンピュータは、無作為に生成されたナンセンスの流れを作り出すことができ、それは明らかに英語のナンセンスとして認識されます。暗号学者たちは、単純なコードを解読する際にこのような統計的パターンを長い間利用してきました。通信技術者たちは、データを圧縮する技術を考案する際にこれらのパターンを使用し、冗長性を取り除いて伝送ラインやストレージディスクのスペースを節約しています。シャノンにとって、こうしたパターンを見る正しい方法は次のようなものでした：通常の言語のデータストリームは、無作為なものよりも少ない。各新しいビットは、前のビットによって部分的に制約を受けるため、各新しいビットは実際の情報の価値よりもやや少ない情報を持つことになります。この定式化には逆説的なヒントが漂っています。データストリームがより無作為であればあるほど、各新しいビットによって伝達される情報は増えます。コンピュータ時代の初期における技術的な適合性を超えて、シャノンの情報理論は控えめな哲学的地位を得ました。また、シャノンの分野を超えた人々にとってこの理論が魅力的である理由の一部は、単語「エントロピー」の選択に起因しています。ウォーレン・ウィーバーが情報理論の古典的な解説の中で述べたように、「通信理論におけるエントロピーの概念に出会ったとき、彼はかなり興奮する権利を持っている—それが基本的で重要な何かを掴んでいるかもしれないと疑う権利を持っている」と言えます。エントロピーの概念は熱力学から来ており、そこでは第二法則の補助的な役割を果たします。これは、宇宙やその中の孤立したシステムが、増大する無秩序の状態に向かう不可避の傾向を示しています。プールを障壁で半分に分け、一方を水で、もう一方をインクで満たし、すべてが静まるのを待ち、障壁を取り除くと、分子のランダムな動きによって、最終的にインクと水は混ざり合います。この混合は決して逆戻りすることはなく、宇宙の終わりまで待ってもそうです。これが、第二法則が時間を一方向の通りにする物理学の一部とされる理由です。エントロピーは、第二法則の下で増加するシステムの特性—混合、無秩序、無作為性—を示す名前です。この概念は直感的には理解しやすいですが、実際の状況で測定するのは難しいです。2つの物質の混合のレベルを信頼できる方法でテストするにはどうすればよいでしょうか？サンプル中の各分子を数えることを想像することはできます。しかし、もしそれらが「はい-いいえ-はい-いいえ-はい-いいえ-はい-いいえ」と配置されていたらどうでしょうか？その場合、エントロピーは高いとは言えません。 偶数の分子だけを数えることもできるが、もし配置が「はい-いいえ-いいえ-はい—はい-いいえ-いいえ-はい」だったらどうだろう？秩序は、単純なカウントアルゴリズムでは捉えきれない方法で侵入してくる。そして情報理論においては、意味や表現の問題がさらなる複雑さをもたらす。例えば、次のような配列は、モールス信号やシェイクスピアに詳しい観察者にとっては秩序があるように見えるかもしれないが、実際にはそうではないかもしれない。奇妙なアトラクターの位相的に歪んだパターンについてはどうだろう？ロバート・ショーにとって、奇妙なアトラクターは情報のエンジンだった。彼の最初で最も壮大な構想において、カオスは物理科学に戻る自然な方法を提供し、情報理論が熱力学から引き出したアイデアを新たな形で再活性化させた。奇妙なアトラクターは、秩序と無秩序を融合させ、システムのエントロピーを測定するという問題に挑戦的なひねりを加えた。奇妙なアトラクターは効率的なミキサーとして機能し、予測不可能性を生み出し、エントロピーを高めた。そしてショーの見解では、彼らは存在しなかった情報を創造した。 ある日、ノーマン・パッカードは『サイエンティフィック・アメリカン』を読んでいると、ルイ・ジャコ競技会と呼ばれるエッセイコンテストの広告を見つけた。これはかなり突飛なもので、宇宙の構造についての私的理論を育んだフランスの資産家によって贈られた賞金が魅力的だった。ジャコのテーマに関するエッセイを募集していたが、それが何であるかは不明だった。（ファーマーは「クレイジーな手紙の山のように聞こえた」と言った。）しかし、審査員はフランスの科学界から集められた印象的なパネルであり、賞金も魅力的だった。パッカードはその広告をショーに見せた。締切は1978年の元日だった。今や、集団はビーチの近くにある大きな古いサンタクルーズの家で定期的に集まっていた。その家にはフリーマーケットで集めた家具やコンピュータ機器が積もり、ほとんどがルーレット問題に使われていた。ショーはそこにピアノを置いており、バロック音楽を演奏したり、クラシックと現代音楽を融合させた即興演奏をしていた。彼らの会合では、物理学者たちはアイデアを出し合い、実用性のふるいを通してそれをフィルタリングし、文献を読み、自分たちの論文を考案するという作業スタイルを発展させていった。最終的に、彼らは合理的に効率的なラウンドロビン方式で学術記事を共同執筆することを学んだが、最初の論文はショーのものであり、彼が生み出す数少ない論文の一つだった。彼はその執筆を自分だけのものにし、いつものように遅れてしまった。1977年12月、ショーはサンタクルーズを出発し、カオスに特化したニューヨーク科学アカデミーの初会合に参加するために向かった。彼の超伝導の教授が旅費を出してくれ、ショーは招待されずに、彼が書き物でしか知らなかった科学者たちの話を直接聞くために到着した。デイビッド・ルエル、ロバート・メイ、ジェームズ・ヨーク。ショーはこれらの人々に圧倒され、バルビゾンホテルの天文学的な35ドルの部屋代にも驚いた。講演を聞きながら、彼は揺れ動いていた。 彼は、自分が無知のうちにこれらの男性たちがかなり詳細に考え出したアイデアを再発明しているのではないかという思いと、自分には重要な新しい視点を提供できるのではないかという思いの間で揺れていた。彼は、情報理論に関する論文の未完成の草稿を、紙くずに手書きで書き留めたものを持参し、ホテルや地元の修理店からタイプライターを借りようと試みたが、うまくいかなかった。結局、彼はそのフォルダーを持ち帰ることになった。後に友人たちが詳細を尋ねると、彼はエドワード・ローレンツを称えるディナーがハイライトだったと語った。ローレンツは、長年逃れていた認知をようやく受けることになったのだ。ローレンツが妻の手を恥ずかしそうに握りながら部屋に入ってくると、科学者たちは立ち上がって拍手を送った。ショーは、気象学者がどれほど恐れているように見えたかに驚いた。数週間後、両親がバケーションハウスを持っているメイン州への旅行中に、彼はついにジャコットコンペティションに論文を郵送した。新年は過ぎていたが、地元の郵便局長が寛大にも郵便物の日付を遡って記入してくれた。その論文は、難解な数学と投機的な哲学を組み合わせ、ショーの兄クリスによる漫画のようなイラストが添えられたもので、名誉ある言及を受けた。ショーは、パリに行ってその栄誉を受け取るための旅費を賄えるほどの賞金を受け取った。それは小さな成果だったが、グループと学部との関係が厳しい時期に訪れたもので、彼らは外部からの信頼性の証を必死に求めていた。ファーマーは天体物理学を諦め、パッカードは統計力学を放棄し、クルッチフィールドはまだ大学院生とは呼べない状況だった。学部は事態が制御不能になっていると感じていた。「奇妙なアトラクター、カオス的な振る舞い、情報の流れ」という論文は、その年にプレプリント版として流通し、最終的には約1,000部に達した。これは、情報理論とカオスを結びつけるための初めての骨の折れる試みだった。ショーは古典力学のいくつかの仮定を影から引き出した。自然のシステムにおけるエネルギーは、日常の物体が数えられ測定できるマクロスケールと、無数の原子がランダムに動いているミクロスケールの二つのレベルで存在する。ショーが指摘したように、ミクロスケールに存在する総エネルギーはマクロスケールのエネルギーを上回ることもあるが、古典的なシステムではこの熱運動は無関係であり、孤立していて利用できない。スケール同士は相互に通信しない。「古典力学の問題を解くために温度を知る必要はない」と彼は言った。しかし、ショーはカオス的および近カオス的なシステムがマクロスケールとミクロスケールのギャップを埋めると考えていた。カオスは情報の創造であった。水が障害物を流れる様子を想像することができる。すべての流体力学者や急流カヌーの愛好者が知っているように、水が十分に速く流れると、下流に渦が生じる。ある速度では、渦はその場に留まる。さらに高い速度では、渦は移動する。 実験者は、そのようなシステムからデータを抽出するために、速度プローブなどさまざまな方法を選ぶことができますが、なぜシンプルな方法を試してみないのでしょうか？障害物のすぐ下流にポイントを選び、一定の時間間隔で渦が右にあるか左にあるかを尋ねるのです。もし渦が静的であれば、データの流れは次のようになります：左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-左-。しばらくすると、観察者は新しいデータがシステムについての新しい情報を提供していないと感じ始めます。あるいは、渦が周期的に前後に動いているかもしれません：左-右-左-右-左-右-左-右-左-右-左-右-左-右-左-右-。最初はシステムが一段階面白く見えるものの、すぐに驚きを提供しなくなります。しかし、システムがカオス的になると、その予測不可能性によって、安定した情報の流れが生成されます。各新しい観察は新しいビットです。これは、システムを完全に特徴づけようとする実験者にとって問題となります。「彼は決して部屋を出ることができない」とショーは言いました。「流れは継続的な情報源となるのです。」 この情報はどこから来るのでしょうか？それは、ミクロスケールの熱浴、無数の分子がランダムな熱力学的ダンスをしているからです。乱流がエネルギーを大きなスケールから小さなスケールへと渦の連鎖を通じて伝達するように、情報も小さなスケールから大きなスケールへと伝達されます。とにかく、これがショーと彼の同僚たちがそのように説明し始めた方法でした。そして、情報を上方に伝達するチャネルは奇妙なアトラクターであり、初期のランダム性を拡大します。これはバタフライ効果が小さな不確実性を大規模な気象パターンに拡大するのと同じです。問題はその程度でした。ショーは、無意識のうちに彼らの研究の一部を複製した後、再びソビエトの科学者たちが先にその研究を行っていたことを発見しました。A. N. コルモゴロフとヤーシャ・シナイは、システムの「単位時間あたりのエントロピー」が位相空間における表面の伸びや折りたたみにどのように適用されるかについて、いくつかの示唆に富んだ数学を考案していました。この技術の概念的な核心は、初期条件のセットの周りに任意の小さなボックスを描くことにありました。まるで風船の側面に小さな四角を描くように。そして、さまざまな拡張やねじれがボックスに与える影響を計算します。例えば、ある方向に伸びる一方で、別の方向では狭いままであるかもしれません。面積の変化は、システムの過去に関する不確実性の導入、すなわち情報の獲得または喪失に対応しました。情報が予測不可能性のためのしゃれた言葉に過ぎない限り、この概念はルエルのような科学者たちが展開していたアイデアと一致していました。しかし、情報理論の枠組みは、サンタクルーズのグループが通信理論家によって十分に調査された数学的推論の体系を採用することを可能にしました。 外部ノイズを本来決定論的なシステムに加える問題は、動力学の分野では新しい概念でしたが、通信の分野では十分に知られているものでした。しかし、これらの若い科学者たちにとっての本当の魅力は、数学だけではありませんでした。彼らが情報を生成するシステムについて語るとき、彼らは世界におけるパターンの自発的生成について考えていました。「複雑な動力学の頂点には、生物進化のプロセスや思考過程があります」とパッカードは言いました。「直感的に言えば、これらの究極的に複雑なシステムが情報を生成しているという明確な感覚があります。数十億年前にはただの原形質の塊がありましたが、今、数十億年後には私たちがここにいます。つまり、私たちの構造の中に情報が創造され、蓄積されているのです。一人の人間の心が幼少期から成長する過程において、情報は単に蓄積されるだけでなく、以前には存在しなかったつながりから生成されることも明らかです。」これは、冷静な物理学者の頭を混乱させるような話でした。しかし、彼らはまず「 tinkerer（いじくり回す人）」であり、次に哲学者だったのです。彼らは、よく知っている奇妙なアトラクタから古典物理学の実験への橋を架けることができるのでしょうか？右左右右左右左左左右というのが予測不可能で情報を生成していると言うのは簡単ですが、実際のデータの流れを取り、リャプノフ指数やエントロピー、次元を測定するのは全く別の話です。それでも、サンタクルーズの物理学者たちは、年長の同僚たちよりもこれらのアイデアに対してより快適に感じていました。彼らは昼夜を問わず奇妙なアトラクタと共に生活することで、日常生活の中での揺れ動く現象にそれを認識できると自信を持つようになりました。彼らはカフェで遊ぶゲームを持っていました。「最寄りの奇妙なアトラクタはどれくらい遠いのか？」と尋ねるのです。それは、ガタガタ音を立てる自動車のフェンダーでしょうか？穏やかな風の中で不規則にひらひらする旗でしょうか？揺れる葉っぱでしょうか？「正しい比喩を持たない限り、何かを見ることはできません」とショーはトーマス・S・クーンの言葉を引用しました。やがて、彼らの相対主義者の友人ビル・バークは、自分の車のスピードメーターが奇妙なアトラクタの非線形的な動きでガタガタしていると確信するようになりました。そして、ショーは数年にわたって取り組む実験プロジェクトを決め、どんな物理学者でも想像できるような素朴な動的システム、つまり水が滴る蛇口を選びました。多くの人は、典型的な水滴の蛇口を絶え間ない周期的なものと考えますが、実際にはそうではないことが実験の瞬間に明らかになります。「これは、予測可能な挙動から予測不可能な挙動に移行するシステムの簡単な例です」とショーは言いました。「少し水を強めると、パタパタ音が不規則な状態になるのが見えます。実際には、短時間を超えると予測可能なパターンではありません。したがって、蛇口のような単純なものでも、永遠に創造的なパターンを生成することができるのです。」組織を生成するものとして、滴る蛇口はあまり扱うものを提供しません。 それはただの水滴を生成するだけで、各水滴は前のものとほぼ同じです。しかし、カオスの初学者にとって、この水滴の落ちる蛇口には特定の利点がありました。誰もがそのイメージを持っています。データの流れは、時間で測定された単一の点のリズミカルなドラムビートのように、一次元的です。サンタクルーズのグループが後に探求したシステム、例えば人間の免疫システムや、スタンフォード線形加速器センターで衝突する粒子ビームの性能を不可解に低下させていた問題のあるビーム-ビーム効果などには、これらの特性は見られませんでした。リブチャバーやスウィニーのような実験者は、やや複雑なシステムの一つの点にプローブを任意に配置することで一次元のデータストリームを得ました。しかし、水滴の落ちる蛇口では、データはその一本の線だけです。そして、それは連続的に変化する速度や温度ではなく、ただ水滴の落下時間のリストに過ぎません。こうしたシステムに対して攻撃を組織するよう求められた場合、伝統的な物理学者はできるだけ完全な物理モデルを作成することから始めるかもしれません。水滴の生成と切り離しを支配するプロセスは理解可能ですが、見た目ほど単純ではありません。一つの重要な変数は流量です。（これはほとんどの流体力学的システムに比べて遅くなければなりません。ショーは通常、1秒あたり1から10滴の落下率を見ており、これは30から300ガロン/二週間の流量を意味します。）他の変数には流体の粘度や表面張力が含まれます。蛇口から垂れ下がる水滴は、切り離されるのを待っている間、複雑な三次元の形状をとります。この形状の計算だけでも、ショーが言ったように「最先端のコンピュータ計算」でした。さらに、その形状は静的ではありません。水で満たされる水滴は、表面張力の小さな弾性袋のようで、あちらこちらに振動しながら質量を増し、壁を伸ばし、臨界点を超えて切り離されます。滴の問題を完全にモデル化しようとする物理学者は、適切な境界条件を持つ非線形偏微分方程式のセットを書き、それを解こうとすると、深い藪に迷い込んでしまうでしょう。別のアプローチは、物理学を忘れ、データだけを見て、まるでそれがブラックボックスから出てきたかのように扱うことです。水滴の間隔を表す数字のリストが与えられた場合、カオスダイナミクスの専門家は何か有用なことを見つけられるでしょうか？実際、そうしたデータを整理し、物理学に逆戻りするための方法が考案できることが分かり、これらの方法はカオスを現実の問題に適用する上で重要になりました。しかし、ショーはこれらの極端な立場の中間から始め、完全な物理モデルの一種の風刺を作成しました。水滴の形状や三次元の複雑な動きを無視し、彼は水滴の物理を大まかに要約しました。彼は、ばねからぶら下がる重りを想像しました。そして、その重りが時間とともに徐々に増加していくと考えました。 春が伸びるにつれて、重りは次第に下にぶら下がっていきました。あるポイントに達すると、重りの一部が切り離されることになります。シャウは恣意的に、その切り離される量は、重りがカットオフポイントに達したときの降下速度に厳密に依存すると考えました。そしてもちろん、残った重りはバネの特性に従って跳ね返り、大学院生が標準的な方程式を使ってモデル化する振動を伴います。このモデルの興味深い特徴、つまり唯一の興味深い特徴であり、混沌とした振る舞いを可能にする非線形のひねりは、次の滴がバネの特性と徐々に増加する重りとの相互作用に依存していることでした。下に跳ね返ることで重りがカットオフポイントに早く到達するかもしれませんし、上に跳ね返ることでプロセスがわずかに遅れることもあります。実際の蛇口では、滴の大きさはすべて同じではありません。その大きさは流れの速度と跳ね返りの方向の両方に依存します。もし滴が下に動き始めている場合、早く切り離されるでしょう。もし跳ね返りの最中であれば、切り離される前にもう少し水を溜めることができるのです。シャウのモデルは、ポアンカレやローレンツが示したように、混沌を生み出すために必要な最小限の三つの微分方程式でまとめられるほど粗雑でした。しかし、それは実際の蛇口と同じくらいの複雑さを生み出すのでしょうか？そして、その複雑さは同じ種類のものでしょうか？こうしてシャウは物理学棟の実験室に座り、大きなプラスチックの水槽を頭上に置き、チューブが高品質のハードウェアストアの真鍮ノズルに繋がっている状態になりました。滴が落ちるたびに光ビームを遮り、隣の部屋にあるマイクロコンピュータがその時間を記録しました。一方、シャウはアナログコンピュータ上で三つの恣意的な方程式を動かし、架空のデータの流れを生成していました。ある日、彼は教員向けに「擬似コロキウム」と呼ばれるプレゼンテーションを行いました。大学院生は正式なコロキウムを行うことが許可されていなかったため、クルッチフィールドがそう呼んだのです。シャウは、金属の板の上でリズムを刻む蛇口のテープを再生しました。そして、彼のコンピュータはクリスプなシンコペーションで「カチカチカチ」と音を立て、耳にパターンを明らかにしました。彼はこの一見無秩序なシステムの深い構造を聴衆に伝え、前後から同時に問題を解決しました。しかし、さらに進むためには、グループは実験から得られた生データを取り出し、混沌を特徴づける方程式や奇妙なアトラクタに逆算する方法が必要でした。より複雑なシステムでは、一つの変数を別の変数に対してプロットし、温度や速度の変化を時間の経過に関連付けることが想像できます。しかし、滴る蛇口はただの時間の系列しか提供しませんでした。そこでシャウは、サンタクルーズグループの最も巧妙で持続的な実用的貢献の一つである、見えない奇妙なアトラクタの位相空間を再構築する技術を試みました。この方法は、あらゆるデータの系列に適用できるものでした。 シャウは、滴る水道のデータを使って、二次元のグラフを作成しました。x軸は一対の水滴の間の時間間隔を、y軸は次の時間間隔を表しています。例えば、最初の水滴と二番目の水滴の間に150ミリ秒が経過し、その後二番目と三番目の水滴の間にも150ミリ秒が経過した場合、彼は150-150の位置に点をプロットします。それが全てです。滴る水が規則的であれば、つまり水がゆっくり流れ、「水時計の状態」にあるときは、グラフは適度に退屈なものになります。すべての点が同じ場所に集まるため、グラフは単一の点、あるいはほぼ単一の点になります。実際、コンピュータの滴る水道と本物の滴る水道の最初の違いは、本物の方がノイズの影響を受けやすく、非常に敏感であることです。「この装置は優れた地震計のようだ」とシャウは皮肉を込めて言いました。「小さなスケールから大きなスケールまでノイズを引き上げるのが非常に効率的なんです。」シャウは、物理学の廊下に人が少ない夜にほとんどの作業を行うことになりました。ノイズのために、理論が予測した単一の点ではなく、少しぼやけた塊が見えることになります。流量が増加すると、システムは周期的な二重分岐を経ます。水滴はペアで落ち、ある間隔が150ミリ秒で、次の間隔が80ミリ秒になることもあります。したがって、グラフには150-80の中心にある一つのぼやけた塊と、80-150の中心にあるもう一つのぼやけた塊が表示されます。本当の試練は、パターンがカオス的になるときに訪れます。もし本当にランダムであれば、点はグラフ全体に散らばり、一つの間隔と次の間隔との間に関係は見つからないでしょう。しかし、データの中に奇妙なアトラクターが隠れている場合、それはぼやけたものが識別可能な構造に集約されることで現れるかもしれません。しばしば、構造を見るためには三次元が必要ですが、それは問題ではありません。この技術は、高次元のグラフ作成に簡単に一般化できます。間隔nを間隔n+1に対してプロットする代わりに、間隔nを間隔n+1、さらに間隔n+2に対してプロットすることができます。これはトリック、つまりギミックです。通常、三次元のグラフはシステム内の三つの独立変数の知識を必要としますが、このトリックは一つの変数の代わりに三つの変数を提供します。これは、これらの科学者たちが、見かけの無秩序の中に秩序が深く根付いていると信じていることを反映しています。実験者がどの物理変数を測定すべきか知らなかったり、直接測定できなかったりしても、秩序は何らかの形で表現される方法を見つけるだろうと考えているのです。ファーマーが言ったように、「変数を考えると、その進化は相互作用している他の変数の影響を受けなければなりません。それらの値は、そのものの歴史の中に何らかの形で含まれているはずです。何らかの形でその痕跡が残っているはずです。」シャウの滴る水道の場合、画像はその点を示しています。特に三次元では、パターンが現れ、制御不能な空中文字を書く飛行機が残した煙のループのような軌跡に似ています。 ショーは実験データのプロットを、彼のアナログコンピュータモデルによって生成されたデータと照合することができました。主な違いは、実際のデータは常にノイズによってぼやけていることでした。それでも、構造は明確でした。サンタクルーズのグループは、テキサス大学オースティン校に移った経験豊富な実験家ハリー・スウィニーなどと協力し、さまざまなシステムからストレンジアトラクターを取り出す方法を学びました。それは、データを十分な次元の位相空間に埋め込むことに関する問題でした。やがて、デビッド・ルエルと共にストレンジアトラクターを発明したフロリス・タケンスが、実データの流れからアトラクターの位相空間を再構築するためのこの強力な技術に数学的な基盤を独自に提供しました。無数の研究者がすぐに発見したように、この技術は単なるノイズとカオスを区別します。新しい意味でのカオスとは、単純なプロセスによって生み出された秩序ある無秩序です。本当にランダムなデータは、定義されていない混沌の中に広がっています。しかし、カオス—決定論的でパターンのあるもの—はデータを目に見える形に引き寄せます。無秩序のすべての可能な経路の中で、自然はほんの数つを好みます。 反逆者から物理学者への移行はゆっくりとしたものでした。時折、学生の一人がカフェで座っていたり、実験室で作業していると、自分たちの科学的な幻想が終わっていないことに驚きを抑えなければならない瞬間がありました。「神様、まだこれをやっていて、まだ意味があるんだ」とジム・クルッチフィールドが言うように。私たちはまだここにいます。どこまで進むのでしょうか？彼らの主な支持者は、数学科のスメールの弟子ラルフ・エイブラハムと、物理学科のビル・バークでした。バークは、少なくともこの機器に対する集団の主張を守るために「アナログコンピュータの大統領」に自ら就任しました。他の物理学科の教員は、より困難な立場に置かれていました。数年後、一部の教授は、集団が学科からの無関心や反対を克服することを強いられたことを激しく否定しました。集団は、カオスに遅れて転向した人々による修正主義的歴史と見なしたことに対して、同様に激しく反応しました。「私たちにはアドバイザーがいなかったし、何をすべきかを教えてくれる人もいなかった」とショーは言いました。「私たちは何年も対立的な立場にあり、今もそうです。サンタクルーズでは一度も資金を得たことがありません。私たちの誰もが、かなりの期間無給で働き、全体を通して非常に限られた資金で運営されていました。知的な指導やその他の指導もありませんでした。」 しかし、彼らの見解では、教員は実質的な科学には至らないように思える長期間の研究を容認し、さらには助長していました。ショーの超伝導の論文指導教員は、ショーが低温物理から逸れた後も、1年ほど彼を給与で支え続けました。カオス研究を止めるように命じられたことは決してありませんでした。最悪の場合、教員は善意の discouragement（抑制的な態度）に達しました。集団の各メンバーは、時折、心を開いた話をするために呼び出されました。 彼らは警告を受けた。たとえ何とか博士号を正当化する方法が見つかったとしても、存在しない分野で学生たちが仕事を見つける手助けをすることは誰にもできないだろう、と。教員たちは「これは一時的な流行かもしれない」と言い、その後どうなるのかと続けた。しかし、サンタクルーズの丘のレッドウッドのシェルターの外では、混沌が独自の科学的な基盤を築いており、ダイナミカルシステムズ・コレクティブもそれに加わらざるを得なかった。 ある年、ミッチェル・ファイゲンバウムが講演ツアーに訪れ、彼の普遍性に関する画期的な発見を説明した。彼の講演はいつも難解な数学的内容で、再正規化群理論は、これらの学生たちが学んでいない凝縮物理学の難解な一部だった。それに加えて、コレクティブは繊細な一次元のマップよりも実際のシステムに興味を持っていた。一方、ドイン・ファーマーは、バークレーの数学者オスカー・E・ランフォード三世がカオスを探求していると聞き、話をしに行った。ランフォードは礼儀正しく聞いていたが、ファーマーを見て「私たちには共通点がない」と言った。彼はファイゲンバウムを理解しようとしていたのだ。なんて致命的なんだ！この人は視野が狭いのか？ファーマーは思った。「彼は小さな軌道を見ていた。一方で私たちは情報理論の深遠さに取り組んでいて、カオスを分解し、何がそれを動かしているのかを探り、メトリックエントロピーとリャプノフ指数をより統計的な尺度に関連付けようとしていた。」 ファーマーとの会話の中で、ランフォードは普遍性を強調せず、後になってファーマーはその重要な点を見逃していたことに気づいた。「それは私の naïveté だった」とファーマーは言った。「普遍性の概念は単なる素晴らしい結果ではなかった。ミッチェルの研究は、失業中の臨界現象の専門家たちを活用するための技術でもあった。『それまでのところ、非線形システムはケースバイケースで扱わなければならないように思われていた。私たちはそれを定量化し、説明するための言語を考え出そうとしていたが、すべてをケースバイケースで扱わなければならないように思えた。私たちはシステムをクラスに分けて、そのクラス全体に有効な解を記述する方法が見つからなかった。普遍性とは、そのクラスのすべてに対して定量的に同じ特性を見つけることを意味していた。予測可能な特性。それが本当に重要だった理由だ。』 さらに、社会学的な要因がさらなる燃料を注いでいた。ミッチェルは彼の結果を再正規化の言葉で表現した。彼は臨界現象の専門家たちが使いこなしていたすべての機械を取り入れた。彼らは興味深い問題が残っていないように思えて苦労していた。彼らは自分たちの技術を適用できる何かを探していた。そして突然、ファイゲンバウムがこの技術の非常に重要な応用を持って現れた。それはまったく新しいサブディシプリンを生み出した。 しかし、サンタクルーズの学生たちは独自の印象を残し始めていた。 その学部内で、彼らの名声は1978年にラグナビーチで開催された中間冬季会議でのサプライズ登場をきっかけに高まり始めました。この会議は、ゼロックスのパロアルト研究所とスタンフォード大学のベルナルド・フーバーマンによって組織されました。彼らは招待されていなかったものの、集団はそれでも参加することに決め、ショーの1959年製フォード・ランチスタイルのステーションワゴン「クリームドリーム」に乗り込んで向かいました。念のため、グループは巨大なテレビモニターやビデオテープなどの機材を持参しました。招待された講演者が直前にキャンセルしたため、フーバーマンはショーにその代わりを頼みました。タイミングは完璧でした。カオスは流行語となっていましたが、会議に参加していた物理学者の多くはその意味を理解していませんでした。そこでショーは、位相空間におけるアトラクターについて説明を始めました。まずは固定点（すべてが停止する場所）、次にリミットサイクル（すべてが振動する場所）、そしてストレンジアトラクター（それ以外のすべて）についてです。彼はビデオテープのコンピュータグラフィックスを使って実演しました。「視覚と聴覚の補助具が私たちに優位性を与えました」と彼は言いました。「点滅する光で彼らを催眠状態にすることができました。」彼はローレンツアトラクターと水道の水滴についても説明しました。形状がどのように引き伸ばされ、折りたたまれるのか、そしてそれが情報理論の大きな観点で何を意味するのかを解説しました。さらに、最後にパラダイムの変化についても少し触れました。この講演は大成功を収め、聴衆の中にはサンタクルーズ大学の教員も数名おり、同僚の目を通して初めてカオスを目にしました。 1979年、グループ全体はニューヨーク科学アカデミーの第2回カオス会議に参加者として出席しました。この時、カオスの分野は急成長していました。1977年の会議はローレンツのもので、専門家が数十人参加していましたが、今回の会議はファイゲンバウムのもので、科学者たちは数百人も集まりました。2年前、ロブ・ショーが人々のドアの下に置くための論文を作成するためにタイプライターを探していた頃とは違い、ダイナミカルシステム集団は急速に論文を生産する仮想印刷所となり、常に共同著者として発表していました。しかし、集団は永遠に続くことはできませんでした。科学の現実に近づくにつれて、解体の危機も近づいていました。ある日、ベルナルド・フーバーマンから電話がかかってきました。彼はロブ・ショーを探していましたが、クランチフィールドに繋がりました。フーバーマンはカオスに関する簡潔で明確な論文のための共同執筆者を必要としていました。集団の最年少メンバーであるクランチフィールドは、自分が単なる「ハッカー」と見なされることを心配しながらも、サンタクルーズ大学の教員が常に正しかったことに気づき始めていました。つまり、各学生はいつか個人として評価されることになるのです。さらに、フーバーマンは学生たちが欠けている物理学の専門知識を持っており、特に与えられた作品から最大限の成果を引き出す方法を知っていました。 彼は疑念を抱いていた。彼らの実験室を見たからだ。「すべてが非常に曖昧で、ソファやビーンバッグがあって、まるでタイムマシンに足を踏み入れたようだった。1960年代のフラワーチルドレンの世界に戻ったかのようだった。」しかし、彼はアナログコンピュータが必要だった。実際、クラッチフィールドは数時間で彼の研究プログラムを動かすことに成功した。しかし、集団には問題があった。「みんな参加したがっている」とクラッチフィールドはある時点で言い、ハブermanは絶対にダメだと言った。「クレジットだけの問題ではない、責任の問題だ。もし論文が間違っていたら、集団を責めるのか？私は集団の一員ではない。」彼はクリーンな仕事をするために一人のパートナーを望んでいた。その結果、ハブermanが期待していた通りのものが得られた。それは、物理学の画期的な発見を報告するためのアメリカの一流ジャーナル『Physical Review Letters』に掲載された初めてのカオスに関する論文だった。科学的な政治の観点から見ても、これは重要な成果だった。「私たちにとってはかなり明白なことだった」とクラッチフィールドは言った。「しかし、ベルナルドが理解していたのは、それが大きな影響を持つということだった。」 これはグループが現実の世界に同化する始まりでもあった。ファーマーは怒り、クラッチフィールドの脱退を集団精神の侵害と見なした。クラッチフィールドはグループの外に出たのは彼だけではなかった。すぐにファーマー自身やパッカードも、ハブerman、スウィニー、ヨークといった確立された物理学者や数学者と協力するようになった。サンタクルーズで生まれたアイデアは、現代の動的システムの研究の枠組みの中で確固たるものとなった。物理学者が大量のデータを持ってその次元やエントロピーを調査したいとき、適切な定義や作業技術は、シストロン・ドナーのアナログコンピュータでプラグをつなぎ直し、オシロスコープを見つめていた時代に生み出されたものかもしれなかった。気候専門家たちは、世界の大気や海洋のカオスが無限次元を持つのか、伝統的な動的システムの研究者が仮定するように、あるいは低次元のストレンジアトラクターに従うのかについて議論していた。株式市場データを分析する経済学者たちは、次元が3.7や5.3のアトラクターを見つけようとした。次元が低いほど、システムは単純になる。多くの数学的な特異性を整理し、理解する必要があった。フラクタル次元、ハウスドルフ次元、リャプノフ次元、情報次元—これらのカオスシステムの測定の微妙さは、ファーマーとヨークによって最もよく説明された。アトラクターの次元は「その特性を特徴づけるために必要な知識の第一段階」であり、「アトラクター上の点の位置を特定の精度内で指定するために必要な情報量」を示す特徴だった。サンタクルーズの学生たちと彼らの年長の協力者たちの方法は、これらのアイデアをシステムの他の重要な測定と結びつけた。予測可能性の減衰率、情報の流れの速度、混合を生み出す傾向などだ。時には、これらの方法を使う科学者たちがデータをプロットし、小さな箱を描き、それぞれの箱の中のデータポイントの数を数えることになることもあった。 それでも、このように一見粗雑な技術が、初めて混沌としたシステムを科学的理解の範囲内に引き寄せた。フラフラと揺れる旗やガタガタと音を立てるスピードメーターの中に奇妙なアトラクターを探すことを学んだ科学者たちは、物理学の現在の文献の中で決定論的カオスの症状を見つけることに力を入れた。説明のつかないノイズ、驚くべき変動、規則性と不規則性の混在—これらの現象は、粒子加速器やレーザー、ジョセフソン接合を使った実験者たちの論文に現れた。カオスの専門家たちはこれらの症状を自分たちのものとし、未だに理解していない人々に対して「あなたの問題は私たちの問題です」と言わんばかりだった。「ジョセフソン接合オシレーターに関するいくつかの実験では、熱的変動では説明できない顕著なノイズ上昇現象が明らかになった」と論文は始まる。 集団が去る頃には、サンタクルーズの教員の中にもカオスに興味を持つ者が現れた。しかし、他の物理学者たちは振り返ってみると、サンタクルーズが非線形ダイナミクスに関する国家的な研究センターを始める機会を逃したと感じていた。1980年代初頭、集団のメンバーたちは卒業し、それぞれの道を歩み始めた。ショーは1980年に博士論文を完成させ、ファーマーは1981年、パッカードは1982年に卒業した。クルッチフィールドの論文は1983年に発表され、タイプされたページと、すでに物理学や数学のジャーナルに発表された11本の論文が混在した印刷物だった。彼はカリフォルニア大学バークレー校に進学し、ファーマーはロスアラモスの理論部門に加わった。パッカードとショーはプリンストンの高等研究所に参加した。クルッチフィールドはビデオフィードバックループを研究し、ファーマーは「ファットフラクタル」に取り組み、人間の免疫システムの複雑なダイナミクスをモデル化した。パッカードは空間的カオスと雪の結晶の形成を探求した。ただショーだけは主流に加わることに消極的なようだった。彼自身の影響力のある遺産は、パリへの旅をもたらした1本の論文と、滴る水道栓についての論文の2本だけで、これが彼のサンタクルーズでの研究を要約していた。何度か、彼は科学を完全に辞める寸前まで行った。友人の一人が言ったように、彼は揺れ動いていた。 内なるリズム 科学は説明しようとはせず、解釈しようともほとんどせず、主にモデルを作る。モデルとは、特定の言葉による解釈を加えることで観察された現象を記述する数学的構造を指す。このような数学的構造の正当性は、あくまでそれが機能することが期待されるという点にのみある。—ジョン・フォン・ノイマン ベルナルド・フーバーマンは、さまざまな理論的および実験的生物学者、純粋数学者、医師、精神科医からなる聴衆を見渡し、コミュニケーションの問題を抱えていることに気づいた。 彼は1986年、ニューヨーク科学アカデミー、国立精神衛生研究所、海軍研究所のさまざまな後援のもとで開催された、生物学と医学におけるカオスに関する初の大規模な会議で、異例の集まりでの異例の講演を終えたばかりだった。ワシントン近郊の国立衛生研究所にある広々としたマズール講堂で、ハブermanは長年のカオス専門家たちの顔を多く見かけたが、知らない顔もたくさんあった。経験豊富な講演者なら、聴衆のいらだちを予想することができた。会議の最終日であり、昼食の時間が迫っていたからだ。アルゼンチンから移住してきた、しゃれた黒髪のカリフォルニア人であるハブermanは、サンタクルーズの仲間たちとのコラボレーション以来、カオスへの興味を持ち続けていた。彼はゼロックス社のパロアルト研究所の研究員だったが、時には企業の使命に属さないプロジェクトにも手を出しており、ここでの生物学会議ではその一つ、統合失調症患者の不規則な眼球運動のモデルについて説明を終えたところだった。 精神科医たちは何世代にもわたって統合失調症を定義し、患者を分類しようと奮闘してきたが、この病気は治療するのと同じくらい説明するのが難しい。ほとんどの症状は心と行動に現れる。しかし、1908年以降、科学者たちはこの病気の身体的な現れを知っており、それは統合失調症患者だけでなく、その親族にも影響を及ぼすようだ。患者がゆっくりと揺れる振り子を見ようとすると、彼らの目はその滑らかな動きを追うことができない。通常、目は非常に優れた器官であり、健康な人の目は動く対象に無意識のうちにロックオンし、動く画像は網膜上で静止したままになる。しかし、統合失調症患者の目は小刻みに不規則に動き、ターゲットをオーバーシュートしたりアンダーシュートしたりして、常に余計な動きの霧を生み出す。なぜそうなるのかは誰にもわからない。 生理学者たちは長年にわたり膨大なデータを蓄積し、不規則な眼球運動のパターンを示す表やグラフを作成してきた。彼らは一般的に、これらの変動は目の筋肉を制御する中枢神経系からの信号の変動に起因すると考えていた。騒がしい出力は騒がしい入力を意味し、統合失調症患者の脳に影響を与える何らかのランダムな乱れが目に現れているのではないかと推測されていた。しかし、物理学者であるハブermanはそうは考えず、控えめなモデルを作成した。彼は目のメカニクスについて最も単純な形で考え、方程式を書き下ろした。振り子の振幅に関する項、振動数に関する項、目の慣性に関する項、減衰や摩擦に関する項、そして目がターゲットにロックオンするための誤差修正に関する項があった。ハブermanが聴衆に説明したように、その結果得られた方程式は、側面に揺れる曲がった溝の中を転がるボールという類似の機械的システムを表している。 横の動きは振り子の動きに対応し、トラフの壁は誤差修正機能に相当し、ボールを中心に戻そうとします。現在の標準的な方程式の探求スタイルに従い、ハブermanはコンピュータ上で数時間にわたりモデルを実行し、さまざまなパラメータを変更し、その結果の挙動をグラフ化しました。彼は秩序と混沌の両方を見つけました。ある領域では、目は滑らかに追跡されましたが、非線形性の度合いが増すと、システムは急速な周期倍増の過程を経て、医学文献で報告されている混沌と区別がつかないような不規則な状態を生み出しました。このモデルにおける不規則な挙動は、外部の信号とは何の関係もありませんでした。それは、システム内の非線形性が過剰であることの避けられない結果でした。聞いていた医師の中には、ハブermanのモデルが統合失調症に対する妥当な遺伝モデルに一致するように思えた人もいました。非線形性は、弱いか強いかによってシステムを安定させるか、または混乱させるかのいずれかであり、これは単一の遺伝的特性に対応するかもしれません。一人の精神科医は、この概念を痛風の遺伝学に例えました。そこでは、尿酸のレベルが高すぎると病的な症状が現れます。他の医師たちは、ハブermanよりも臨床文献に詳しく、統合失調症患者だけではなく、さまざまな神経学的患者においても目の動きの問題が見られることを指摘しました。周期的な振動、非周期的な振動、あらゆる種類の動的挙動が、混沌のツールを使ってデータを再検討する人なら誰でも見つけることができました。しかし、新たな研究の道が開けるのを見た科学者がいる一方で、ハブermanがモデルを大幅に単純化しているのではないかと疑う科学者もいました。質問の時間になると、彼らの苛立ちとフラストレーションが溢れ出しました。「私の問題は、モデル化において何があなたを導いているのかということです」と一人の科学者が言いました。「なぜ、これらの特定の非線形動力学の要素、すなわちこれらの分岐や混沌とした解を探すのですか？」ハブermanは一瞬考えました。「ああ、そうですか。では、私は本当にこの目的を述べるのに失敗しました。このモデルはシンプルです。誰かが私に来て、これを見ているので、何が起こると思いますかと言います。そこで私は、可能な説明は何かと尋ねます。すると彼らは、頭の中で非常に短い時間に変動している何かしか思いつかないと言います。そこで私は、私はある種の混沌の専門家であり、書き下ろせる最も単純な非線形追跡モデルには、これらの事象の詳細に関係なく、一般的な特徴があることを知っています。だからそれを行うと、人々は、ああ、それは非常に興味深い、これはシステム内の内因的な混沌かもしれないとは考えたことがなかったと言います。「このモデルには、私が擁護できる神経生理学的データは何もありません。私が言っているのは、最も単純な追跡は、誤りを犯してゼロに向かう傾向があるということだけです。 私たちの目の動き方は、まるでアンテナが飛行機を追跡するようなものです。このモデルは、あらゆるものに応用できます。」 その場にいた別の生物学者がマイクを取り、ハブermanのモデルの単純さにまだ苛立っていました。彼は、実際の目では4つの筋肉制御システムが同時に働いていると指摘しました。彼は、彼が考える現実的なモデル化についての高度な技術的説明を始めました。例えば、目は過剰にダンピングされているため、質量項は無視されると説明しました。「さらに複雑な点が一つあります。それは、質量の量が回転速度に依存するということです。目が非常に速く加速すると、質量の一部が遅れてついてくるのです。目の中のゼリーは、外側のケースが非常に速く回転するときに遅れます。」 一時停止。ハブermanは言葉を失いました。ついに、カオスに長い間興味を持つ精神科医のアーノルド・マンデルがマイクを取りました。「見てください、精神科医として解釈をしたいと思います。今見たのは、低次元のグローバルシステムで作業している非線形動力学者が、数学的ツールを使っている生物学者と話をする時に起こることです。実際にシステムには普遍的な特性があり、最も単純な表現に組み込まれているという考えは、私たち全員を疎外します。だから、質問は『統合失調症のサブタイプは何か？』『4つの眼球運動システムがある』『実際の物理的構造の観点からのモデル化は何か、そしてそれは分解し始める』ということです。実際のところ、私たち医師や科学者は、すべての50,000の部分を学ぶ中で、実際に運動の普遍的な要素が存在する可能性を嫌っています。そして、ベルナルドが一つ提案すると、見てください、何が起こるか。」 ハブermanは言いました。「それは5年前に物理学で起こりましたが、今では彼らは確信しています。」 選択肢は常に同じです。モデルをより複雑にして現実に忠実にするか、あるいはシンプルにして扱いやすくするかです。完璧なモデルが現実を完璧に表現するものであると信じるのは、最も naïve な科学者だけです。そんなモデルは、描かれた都市と同じ大きさと詳細さを持つ地図と同じ欠点を持ちます。すべての公園、すべての通り、すべての建物、すべての木、すべての穴ぼこ、すべての住人、そしてすべての地図を描いた地図です。もしそんな地図が可能であれば、その特異性は目的を打ち消すことになります：一般化し、抽象化することです。地図製作者は、クライアントが選ぶ特徴を強調します。目的が何であれ、地図とモデルは世界を模倣するだけでなく、できるだけ簡略化しなければなりません。サンタクルーズの数学者ラルフ・アブラハムにとって、良いモデルは、いわゆるガイア仮説の提唱者であるジェームズ・E・ラブロックとリン・マーギュリスの「デイジーワールド」です。このモデルでは、生命に必要な条件が生命自身によって創造され、維持される自己持続的な動的フィードバックのプロセスが描かれています。デイジーワールドは、ガイアの最も単純な想像可能なバージョンであり、あまりにも単純すぎて愚かに見えるかもしれません。 「三つのことが起こる」とアブラハムは言った。「白いデイジー、黒いデイジー、そして植えられていない砂漠。三つの色：白、黒、赤。これが私たちの惑星について何を教えてくれるのか？それは温度調節がどのように生まれるかを説明している。なぜこの惑星が生命にとって良い温度なのかを説明している。デイジーの世界モデルはひどいモデルだが、地球上で生物学的な恒常性がどのように創造されたかを教えてくれる。」 白いデイジーは光を反射し、惑星を冷やす。黒いデイジーは光を吸収し、アルベド（反射率）を下げることで惑星を温める。しかし、白いデイジーは「暖かい天候を望む」ため、温度が上昇するにつれて優先的に繁栄する。黒いデイジーは涼しい天候を望む。これらの特性は一連の微分方程式で表現でき、デイジーの世界はコンピュータ上で動かすことができる。さまざまな初期条件が平衡吸引点に導くが、それは必ずしも静的な平衡ではない。「これは概念モデルの数学的モデルに過ぎず、それが求められているものだ。生物学的または社会的システムの高忠実度モデルは必要ない」とアブラハムは言った。「アルベドを入力し、初期の植え付けを行い、数十億年の進化を見守るだけだ。そして子供たちを教育して、惑星の取締役会のより良いメンバーになれるようにする。」 複雑な動的システムの模範であり、多くの科学者にとって、複雑性へのアプローチの試金石は人間の体である。物理学者が研究対象として利用できる物体の中で、マクロスケールからミクロスケールまでの反対のリズムの動きのカオスを提供するものはない：筋肉の動き、流体の動き、電流の動き、繊維の動き、細胞の動き。物理システムの中で、これほどまでに執拗な還元主義に適したものはない：各器官は独自の微細構造と化学を持ち、学生の生理学者は部位の命名に何年も費やす。しかし、これらの部分がどれほど把握しにくいか！最も具体的には、体の一部は肝臓のような明確に定義された器官であることもあれば、血管系のように固体と液体の空間的に挑戦的なネットワークであることもある。また、免疫系のように、リンパ球やT4メッセンジャーを持つ、侵入する生物についてのデータを符号化し解読するためのミニチュア暗号機のように、目に見えない集合体であることもある。このようなシステムをその解剖学や化学の詳細な知識なしに研究することは無駄であるため、心臓専門医は心室筋組織を通るイオン輸送について学び、脳専門医はニューロンの発火に関する電気的な特性を学び、眼科専門医は各眼筋の名前、位置、目的を学ぶ。1980年代には、カオスが新しい生理学の形を生み出し、数学的なツールが科学者たちに局所的な詳細に依存せずにグローバルな複雑なシステムを理解する手助けをするという考えに基づいていた。研究者たちはますます体を動きと振動の場として認識し、その多様な鼓動を聞く方法を開発していった。 彼らは、凍結した顕微鏡スライドや日常の血液サンプルでは見えないリズムを発見しました。呼吸器疾患における混沌を研究し、赤血球と白血球の制御におけるフィードバックメカニズムを探求しました。癌専門医たちは、細胞成長のサイクルにおける周期性や不規則性について推測しました。精神科医たちは、抗うつ薬の処方に対する多次元的アプローチを模索しました。しかし、この新しい生理学の台頭において、驚くべき発見が一つの臓器に集中しました。それは心臓であり、その活発なリズムは、安定しているか不安定であるか、健康的か病的であるかにかかわらず、生命と死の違いを正確に測定していました。デイヴィッド・ルエルもまた、心臓の混沌について考察するために形式主義から逸脱しました。「私たち全員にとって重要な動的システムです」と彼は書きました。「正常な心拍は周期的ですが、心室細動のような多くの非周期的病態が死の安定状態に至ります。現実的な数学モデルを用いたコンピュータ研究から大きな医療的利益が得られる可能性があるようです。」 アメリカとカナダの研究チームはこの課題に取り組みました。心拍の不規則性は、すでに発見され、調査され、孤立化され、分類されていました。訓練を受けた耳には、数十の不規則なリズムを区別することができます。訓練を受けた目には、心電図の鋭いパターンが不規則なリズムの原因や深刻さに関する手がかりを提供します。素人でも、さまざまな不整脈に対する豊富な名称から問題の複雑さを感じ取ることができます。異所性拍動、電気交互、トルサード・ド・ポワンなどがあります。高グレードのブロックや逃避リズムもあります。心房性または心室性、純粋または変調されたパラシストールも存在します。ウェンケバッハリズム（単純または複雑）や頻脈もあります。生存の見込みに最もダメージを与えるのは心室細動です。このリズムの命名は、部位の命名と同様に医師を安心させます。それは、問題のある心臓を診断する際の特異性を許し、問題に対してある程度の知性を働かせることを可能にします。しかし、混沌のツールを使う研究者たちは、伝統的な心臓病学が不規則な心拍について誤った一般化を行っていることを発見しました。彼らは、表面的な分類を用いて深い原因を隠していることに気づきました。彼らは動的な心臓を発見しました。ほとんどの場合、彼らのバックグラウンドは普通ではありませんでした。モントリオールのマギル大学のレオン・グラスは、物理学と化学を学び、数や不規則性に興味を持ち、液体中の原子運動に関する博士論文を完成させた後、不規則な心拍の問題に取り組みました。彼は言いました。「専門家は、短い心電図のストリップを見て多くの異なる不整脈を診断します。これは医師によってパターン認識の問題として扱われ、彼らが実践や教科書で以前に見たパターンを特定することに関わっています。」 彼らはこれらのリズムのダイナミクスを詳細に分析しているわけではありません。ダイナミクスは、教科書を読むだけでは誰もが想像する以上に豊かです。」ハーバード医科大学で、ボストンのベス・イスラエル病院の不整脈研究所の共同所長であるアリー・L・ゴールドバーガーは、心臓研究が生理学者、数学者、物理学者の間の協力の新たな境界を示していると考えていました。「私たちは新たなフロンティアに立っており、新しい現象のクラスが存在しています」と彼は言いました。「分岐や行動の急激な変化を見ると、従来の線形モデルではそれを説明するものはありません。明らかに新しいクラスのモデルが必要であり、物理学がそれを提供してくれるようです。」ゴールドバーガーや他の科学者たちは、科学的な言語や制度的な分類の壁を乗り越えなければなりませんでした。彼が感じたかなりの障害は、多くの生理学者が数学に抱く不快な反感でした。「1986年には生理学の本にフラクタルという言葉は見つからないでしょう」と彼は言いました。「1996年には、フラクタルなしの生理学の本は見つからないと思います。」 心臓の鼓動を聞く医師は、流体が流体に、流体が固体に、固体が固体にぶつかる音を聞きます。血液は、後ろの収縮する筋肉によって圧迫されながら、部屋から部屋へと流れ、前方の壁を引き伸ばします。繊維質の弁は、逆流に対して音を立てて閉じます。筋肉の収縮自体は、複雑な三次元の電気活動の波に依存しています。心臓の動作の一部をモデル化するだけでもスーパーコンピュータに負担をかけるでしょうし、全体の絡み合ったサイクルをモデル化することは不可能です。ボーイングの航空機の翼やNASAのエンジンフローを設計する流体力学の専門家にとっては自然なコンピュータモデリングも、医療技術者にとっては異質な実践です。 例えば、試行錯誤は、今や自然の弁が摩耗した人々の命を延ばす金属やプラスチック製の人工心臓弁の設計を支配しています。工学の歴史の中で、自然の心臓弁、薄くて柔軟な、半透明の三つの小さなパラシュートのようなカップの配置には特別な場所が与えられるべきです。血液を心臓のポンプ室に入れるために、弁は優雅に道を譲らなければなりません。心臓が血液を前方に押し出す際に逆流を防ぐためには、弁は圧力の下で満たされ、閉じなければならず、しかも漏れたり破れたりせずに、20億回から30億回行わなければなりません。人間のエンジニアはそれほどうまくいっていません。人工弁は、一般的には配管工から借りたもので、「ボールインケージ」のような標準的なデザインが動物で高いコストをかけてテストされています。漏れやストレス故障の明らかな問題を克服することは十分に難しかったのです。別の問題を解決するのがどれほど難しいかを予測できた人はほとんどいませんでした。 心臓内の血流パターンを変えることで、人工弁は乱流と停滞の領域を作り出します。血液が停滞すると血栓が形成され、血栓が剥がれて脳に移動すると脳卒中を引き起こします。このような血栓形成は、人工心臓の開発における致命的な障壁でした。1980年代半ばになって、ニューヨーク大学のクーラン研究所の数学者たちが新しいコンピューターモデリング技術をこの問題に適用することで、心臓弁の設計は利用可能な技術を最大限に活用し始めました。彼らのコンピューターは、心臓が鼓動する様子を二次元の動画像として鮮明に再現しました。血液の粒子を表す数百の点が弁を通り抜け、心臓の弾性壁を引き伸ばし、渦を巻く流れを生み出します。数学者たちは、心臓が標準的な流体の流れの問題に対して全く新しい複雑さを加えることを発見しました。なぜなら、現実的なモデルは心臓壁自体の弾性を考慮しなければならないからです。血液は、飛行機の翼の上を流れる空気のように硬い表面を流れるのではなく、心臓の表面を動的かつ非線形に変化させます。さらに微妙で、はるかに致命的なのは、不整脈の問題です。心室細動は、アメリカ合衆国だけでも毎年数十万人の突然死を引き起こしています。その多くのケースでは、心室細動には特定の、よく知られた引き金があります。それは動脈の閉塞であり、ポンプとしての筋肉の死を引き起こします。コカインの使用、神経的ストレス、低体温なども、心室細動を引き起こす要因となることがあります。しかし、多くの場合、心室細動の発症は謎のままです。心室細動の発作を乗り越えた患者に直面した医師は、原因の証拠として損傷を見たいと考えます。見た目には健康な心臓を持つ患者は、実際には新たな発作を起こす可能性が高いのです。心室細動の心臓を表す古典的な比喩があります。それは「ミミズの袋」です。心臓の筋肉組織は、収縮と弛緩を繰り返すのではなく、無秩序にうねり、血液をポンプすることができません。正常に鼓動する心臓では、電気信号が心臓の三次元構造を通って調和のとれた波として伝わります。信号が到達すると、各細胞が収縮します。その後、各細胞は重要な不応期のために弛緩し、その間は早期に再び刺激を受けることはできません。心室細動の心臓では、波が崩れてしまいます。心臓は常に全てが収縮しているわけでも、全てが弛緩しているわけでもありません。心室細動の一つの難解な特徴は、心臓の個々の構成要素が正常に機能していることが多いということです。しばしば、心臓のペースメーカーのノードは定期的な電気的な拍動を送り続けます。個々の筋肉細胞も適切に反応します。各細胞は刺激を受け取り、収縮し、刺激を伝え、次の刺激を待つために弛緩します。解剖の結果、筋肉組織に損傷が全く見られないこともあります。これが、混沌の専門家たちが新しいグローバルなアプローチが必要だと考えた理由の一つです。心室細動の心臓の部分は機能しているように見えるのに、全体としては致命的に狂ってしまうのです。 フィブリレーションは複雑なシステムの障害であり、精神障害もまた—化学的な根源があるかどうかにかかわらず—複雑なシステムの障害です。心臓は自らフィブリレーションを止めることはありません。この種の混沌は安定しています。心臓を安定した状態に戻すためには、除細動器からの電気ショック—動力学者が大きな摂動と認識するショック—が必要です。全体として、除細動器は効果的です。しかし、その設計は人工心臓弁の設計と同様に、多くの推測を必要としました。「そのショックのサイズと形状を決定する作業は、厳密に経験的なものでした」と理論生物学者のアーサー・T・ウィンフリーは言います。「それに関する理論は存在しませんでした。今では、いくつかの仮定が正しくないことが明らかになっています。除細動器は、その効率を何倍も改善し、成功の可能性を大幅に高めるために根本的に再設計できるようです。」他の異常な心拍リズムに対しては、さまざまな薬物療法が試みられましたが、これも主に試行錯誤に基づいています—ウィンフリーが言うように「黒い技術」です。心臓のダイナミクスに関する確かな理論的理解がなければ、特定の薬の効果を予測するのは難しいのです。「過去20年間で、膜生理学の詳細や心臓のすべての部分の膨大な複雑さの正確な動作について多くのことが明らかにされました。その重要な部分は良好な状態にあります。しかし、見落とされているのは、すべてがどのように機能するかについての全体的な視点を得ることです。」 ウィンフリーは、誰も大学に行かなかった家族に生まれました。彼は「適切な教育を受けていなかったことから始まった」と言います。彼の父は、生命保険業界の底辺から副社長の地位まで昇進し、家族をほぼ毎年東海岸を上下に移動させ、ウィンフリーは高校を卒業するまでに12校以上に通いました。彼は、世界の面白いことは生物学と数学に関係しているという感覚を持ち、それらの二つの科目の標準的な組み合わせでは面白さを十分に表現できないという感覚を抱くようになりました。そこで、彼は標準的なアプローチを取らないことに決めました。コーネル大学で工学物理学の5年間のコースを受講し、応用数学や実践的な実験室技術を学びました。軍産複合体に雇われる準備を整えた後、彼は生物学の博士号を取得し、実験と理論を新しい方法で結びつけることに努めました。彼はジョンズ・ホプキンズ大学で始めましたが、教員との対立から離れ、プリンストン大学に進み、そこでの教員との対立から再び離れ、最終的にはシカゴ大学で教えているときに遠隔でプリンストンの学位を授与されました。ウィンフリーは、生物学の世界において稀有なタイプの思考者であり、生理学的問題に対する彼の研究に幾何学的な感覚を強く持ち込んでいます。彼は1970年代初頭に生物学的ダイナミクスの探求を始めました。 生物時計、すなわちサーカディアンリズムを研究する中で、ウィンフリーはこの問題を数学的な思考スタイルで考えるべきだと考えました。彼は「非線形ダイナミクスの知識が頭にあったので、この問題は質的な観点から考えることができ、そう考えるべきだと気づいた」と述べています。生物時計のメカニズムについては誰も正確にはわかっていませんでした。そこで、二つの選択肢がありました。一つは、生化学者が時計のメカニズムを解明するのを待ち、その後に既知のメカニズムから行動を導き出そうとすること。もう一つは、複雑系理論や非線形・位相的ダイナミクスの観点から時計の働きを研究し始めることです。ウィンフリーは後者を選びました。 彼の研究室には、蚊が入ったケージがたくさんありました。キャンプをしたことがある人なら誰でも予想できるように、蚊は毎晩薄暗くなると活発になります。研究室では、温度と光を一定に保ち、昼夜の影響を遮断しているため、蚊は24時間ではなく23時間の内部サイクルを持っていることがわかりました。23時間ごとに、特に強い活発さで飛び回ります。屋外で彼らが時間を守るのは、毎日受ける光の刺激によって時計がリセットされるからです。ウィンフリーは、蚊に人工的な光を当て、その量を慎重に調整しました。これらの刺激は次のサイクルを進めたり遅らせたりし、その効果を光のタイミングに対してプロットしました。そして、関与する生化学を推測する代わりに、彼は問題を位相的に考察しました。つまり、データの質的な形状に注目し、定量的な詳細には目を向けませんでした。 彼は驚くべき結論に達しました。それは、幾何学の中に特異点が存在し、他のすべての点とは異なる点があるというものでした。その特異点を見つめながら、彼は特定のタイミングでの光のバーストが蚊の生物時計、あるいは他の生物時計を完全に破壊するだろうと予測しました。この予測は驚くべきものでしたが、ウィンフリーの実験はそれを裏付けました。「真夜中に蚊に特定の数の光子を与えると、その特にタイミングの良い刺激が蚊の時計を止めてしまいます。彼はその後、不眠症になり、うとうとしたり、しばらくブンブン飛んだりしますが、それはすべてランダムで、あなたが見ている限り続けるか、別の刺激を与えるまで続きます。彼にとっては永遠の時差ボケです。」 1970年代初頭、ウィンフリーのサーカディアンリズムに対する数学的アプローチはあまり一般的な関心を呼び起こさず、数ヶ月間小さなケージに閉じ込められることに抵抗を示す種に対してこの実験技術を拡張するのは難しかったです。人間の時差ボケや不眠症は、依然として生物学における未解決の問題のリストに残っています。どちらも最悪の詐欺行為を引き起こし、無駄な薬や民間療法を生み出します。 研究者たちは、人間の被験者に関するデータを集めました。通常は学生や退職した人々、あるいは脚本を完成させるために数百ドルの報酬を受け入れる劇作家たちが対象でした。彼らは「時間隔離」の中で生活することに同意しました。そこでは日光も温度変化も時計も電話もありません。人間には睡眠と覚醒のサイクル、そして体温のサイクルがあり、どちらもわずかな変動の後に自己修復する非線形の振動子です。隔離された環境では、毎日のリセット刺激がないため、体温のサイクルは約25時間の周期で、低温は睡眠中に発生するようです。しかし、ドイツの研究者たちの実験では、数週間後に睡眠と覚醒のサイクルが体温のサイクルから切り離され、不規則になることがわかりました。人々は20時間や30時間も起き続け、その後10時間や20時間眠ることがありました。被験者たちは、自分の日が長くなっていることに気づかず、言われても信じようとしませんでした。しかし、1980年代中頃になって初めて、研究者たちはウィンフリーの体系的アプローチを人間に適用し始めました。最初の被験者は、明るい光の前で夕方に刺繍をする高齢の女性でした。彼女のサイクルは急激に変化し、彼女はまるでオープンカーで走っているかのように素晴らしい気分だと報告しました。一方、ウィンフリーは心臓のリズムに関する研究に移っていました。 化学的混沌。同心円状に外向きに広がる波や、さらには螺旋状の波は、広く研究されている化学反応であるベロズフ・ジャボトスキー反応における混沌の兆候でした。数百万のアメーバの皿でも同様のパターンが観察されています。アーサー・ウィンフリーは、こうした波が心筋を流れる電気活動の波に類似していると理論化しました。定期的または不規則に発生するその波です。実際、彼は「移った」とは言わなかったでしょう。ウィンフリーにとって、それは同じテーマであり、異なる化学、同じダイナミクスでした。しかし、彼は夏の休暇中に親族の一人と、プールで泳いでいるときに目撃した二人の突然死を無力に見て以来、心臓に特別な関心を抱くようになりました。リラックスとストレス、加速と減速を経て、人生の中でずっと安定していたリズムが、なぜ突然制御不能で致命的な無効状態に陥るのでしょうか？ ウィンフリーは、1914年に28歳だった初期の研究者ジョージ・マインズの話をしました。モントリオールのマギル大学の彼の研究室で、マインズは心臓に小さな、正確に調整された電気インパルスを送ることができる小型装置を作りました。「マインズが人間を対象にした実験を始める時が来たと決めたとき、彼は最も手に入りやすい実験対象、つまり自分自身を選びました」とウィンフリーは書いています。「その日の午後6時ごろ、清掃員が研究室が異常に静かだと思い、部屋に入ってきました。マインズは、実験台の下に横たわり、ねじれた電気機器に囲まれていました。壊れた装置が彼の胸に心臓の上に取り付けられ、近くには別の装置がありました。」 心臓の弱々しい鼓動を記録していた。彼は意識を取り戻すことなく亡くなった。」小さな、しかし正確にタイミングされたショックが心臓をフィブリレーションに陥れることができると推測することはできる。実際、ミーンズも彼の死の直前にそれを推測していた。他のショックは次の拍動を早めたり遅らせたりすることができるが、それはサーカディアンリズムと同様である。しかし、心臓と生物時計の間には、単純化されたモデルでも無視できない違いがある。それは、心臓には空間における形状があるということだ。手のひらに持つことができ、三次元を通して電気的な波を追跡することができる。しかし、それを実現するには独創性が必要だ。デューク大学医療センターのレイモンド・E・アイデカーは、1983年に『サイエンティフィック・アメリカン』でウィンフリーの論文を読み、非線形ダイナミクスとトポロジーに基づいてフィブリレーションを誘発し、停止させるための4つの具体的な予測に注目した。アイデカーはそれを本当に信じていなかった。それはあまりにも投機的に思え、心臓専門医の視点から見ると非常に抽象的だった。しかし、3年以内にその4つはすべてテストされ、確認され、アイデカーは心臓に対するダイナミカルアプローチを発展させるために必要な豊富なデータを集めるための高度なプログラムを実施していた。ウィンフリーが言ったように、それは「心臓のサイクロトロンに相当するもの」だった。 従来の心電図は、粗い一次元の記録しか提供しない。心臓手術中、医師は電極を取り、心臓のさまざまな場所に移動させ、10分間で50か60の部位をサンプリングすることで、ある種の合成画像を作成することができる。しかし、フィブリレーション中にはこの技術は無用である。心臓はあまりにも速く変化し、震えるからだ。アイデカーの技術は、リアルタイムのコンピュータ処理に大きく依存しており、128の電極を網状に配置し、心臓に靴下のようにかぶせるというものであった。電極は、各波が筋肉を通過する際の電圧場を記録し、コンピュータは心臓の地図を生成した。アイデカーの即時の意図は、ウィンフリーの理論的アイデアをテストすることを超えて、フィブリレーションを停止させるために使用される電気デバイスを改善することだった。緊急医療チームは、重篤な患者の胸部に強い直流ショックを与えるために、標準的な除細動器を携帯している。実験的に、心臓専門医たちは特にリスクが高いと考えられる患者の胸腔内に縫い込む小型の埋め込みデバイスを開発しているが、そのような患者を特定することは依然として課題である。ペースメーカーよりやや大きい埋め込み型除細動器は、安静に待機し、安定した心拍を聞きながら、電気のバーストを放出する必要が生じるまで待機する。アイデカーは、除細動器の設計を高価な推測ゲームから科学へと変えるために必要な物理的理解を組み立て始めた。 「なぜカオスの法則が、相互に接続された分岐繊維を形成する細胞や、カルシウム、カリウム、ナトリウムのイオンを輸送するという特異な組織を持つ心臓に適用されるのか？」それがマギル大学とマサチューセッツ工科大学の科学者たちを悩ませていた問いだった。 レオン・グラスと彼の同僚であるマイケル・ゲバラ、アルビン・シュライアーは、マギル大学で非線形ダイナミクスの短い歴史の中で最も話題にされた研究の一つを行いました。彼らは、7日齢の鶏の胚から得た微小な心筋細胞の塊を使用しました。直径1/200インチのこれらの細胞の球体は、皿に置かれて一緒に振動させると、外部のペースメーカーなしで自発的に1秒ごとに拍動を始めました。この脈動は顕微鏡を通して明確に観察できました。次のステップは、外部のリズムを適用することでした。マギル大学の科学者たちは、微小電極を通じてこれを行いました。微細な先端を持つガラスの細いチューブを細胞の一つに挿入し、そのチューブを通して電気的なポテンシャルを流すことで、細胞を刺激しました。この刺激は強さやリズムを自由に調整できるものでした。彼らは1981年に『サイエンス』誌で次のように研究結果をまとめました。「数学的研究や物理科学の実験で以前に見られたエキゾチックな動的挙動は、生物的オシレーターが周期的に摂動されるときに一般的に存在する可能性があります。」彼らは周期倍増を観察しました。刺激が変化するにつれてビートパターンが分岐し、再び分岐する様子です。ポアンカレマップやサークルマップを作成し、間欠性やモデルロッキングを研究しました。「刺激と小さな鶏の心臓の間には、多くの異なるリズムが確立されることができます」とグラスは言いました。「非線形数学を用いることで、異なるリズムとその順序をかなりよく理解することができます。現在、心臓病専門医の教育にはほとんど数学が含まれていませんが、私たちがこれらの問題を見ている方法は、将来的に人々がこれらの問題を考える際の方法になるでしょう。」 一方、ハーバード大学とマサチューセッツ工科大学の健康科学と技術の共同プログラムにおいて、心臓病専門医で物理学者のリチャード・J・コーエンは、犬を使った実験で周期倍増の一連のパターンを発見しました。コンピューターモデルを使用して、彼は電気的活動の波前が組織の島で分解するという一つの妥当なシナリオをテストしました。「これはフェイゲンバウム現象の明確な例です」と彼は言いました。「特定の条件下で、規則的な現象がカオス的になります。そして、心臓の電気的活動は、カオス的な挙動を発展させる他のシステムと多くの類似点を持っていることがわかります。」 マギル大学の科学者たちは、異常な心拍に関する古いデータにも戻りました。あるよく知られた症候群では、異常な異所性拍動が正常な洞拍動と交互に現れます。グラスと彼の同僚たちは、異所性拍動の間の洞拍動の数を数えながらパターンを調べました。ある人々では、その数は変動しますが、なぜか常に奇数でした：3、5、7など。他の人々では、正常な拍動の数は常に2、5、8、11...のように特定の数列の一部でした。「人々はこれらの奇妙な数秘術的観察を行っていますが、そのメカニズムは非常に理解しにくいのです」とグラスは述べました。 「これらの数字にはしばしば何らかの規則性が見られますが、同時に大きな不規則性も存在します。この業界のスローガンの一つは『混沌の中の秩序』です。」伝統的に、心房細動に関する考え方は二つの形を取ってきました。一つの古典的な考え方は、心筋内の異常な中心からの二次的なペースメーカー信号が主信号と対立するというものでした。これらの小さな異所性中心は、不快な間隔で波を発し、その相互作用と重なりが収縮の波を乱すと考えられてきました。マギル大学の研究者たちの研究は、外部のパルスと心組織に内在するリズムとの相互作用から、さまざまな動的な異常が生じることを示すことで、この考え方を支持しました。しかし、なぜ二次的なペースメーカー中心がそもそも発生するのかは、依然として説明が難しいままでした。 もう一つのアプローチは、電気的波の発生ではなく、心臓を通じて地理的にどのように伝導されるかに焦点を当てており、ハーバード大学とMITの研究者たちはこの伝統に近い立場を取りました。彼らは、波が狭い円を描いて回転する異常が「再入」と呼ばれる現象を引き起こし、一部の領域が新しい拍動を早すぎるタイミングで開始することで、心臓が調和の取れたポンピングを維持するために必要な静かな間隔を確保できなくなることを発見しました。非線形ダイナミクスの手法を強調することで、両グループの研究者たちは、あるパラメータの小さな変化—例えばタイミングや電気伝導性の変化—が、健康なシステムを質的に新しい挙動に導く分岐点を越えさせる可能性があることを認識しました。また、心臓の問題をグローバルに研究するための共通の基盤を見出し、以前は無関係と考えられていた障害を結びつけ始めました。さらに、ウィンフリーは、異なる焦点を持ちながらも、異所性拍動の学派と再入学派の両方が正しいと信じていました。彼のトポロジー的アプローチは、これら二つの考え方が同一である可能性を示唆しました。「動的な事象は一般的に直感に反するものであり、心臓も例外ではありません」とウィンフリーは述べました。心臓専門医たちは、この研究が心房細動のリスクがある人々を科学的に特定し、除細動装置を設計し、薬を処方する方法につながることを期待していました。ウィンフリーもまた、こうした問題に対するグローバルな数学的視点が、アメリカではほとんど存在しない理論生物学という分野を育むことを望んでいました。 現在、一部の生理学者は動的疾患について語っています：システムの障害、調整や制御の崩壊です。「通常は振動するシステムが振動を停止したり、新たで予期しない方法で振動を始めたり、通常は振動しないシステムが振動を始める」といった定義があります。これらの症候群には、呼吸障害が含まれます：息切れ、ため息、チェイン・ストークス呼吸、そして乳児の無呼吸—これは突然死症候群と関連しています。 動的な血液障害、特に白血病の一種を含む状態では、白血球、赤血球、血小板、リンパ球のバランスが乱れます。一部の科学者は、統合失調症自体もこのカテゴリーに属する可能性があり、いくつかの形のうつ病も同様であると推測しています。しかし、生理学者たちは、混沌を健康の一形態として捉え始めています。フィードバックプロセスにおける非線形性が調整と制御に寄与することは、長い間理解されてきました。簡単に言えば、わずかな刺激を受けた線形プロセスは、わずかに軌道を外れたまま留まる傾向があります。一方、同じ刺激を受けた非線形プロセスは、元の状態に戻る傾向があります。17世紀のオランダの物理学者クリスチャン・ハイゲンスは、振り子時計と古典的な力学の科学を発明する手助けをした人物であり、この調整の一つの偉大な例に偶然出会ったとされています。ある日、ハイゲンスは壁に並べられた一組の振り子時計が、完璧に合唱のように同期して振れていることに気づきました。彼は、その時計がそれほど正確であるはずがないことを知っていました。当時利用可能だった振り子の数学的な記述では、この不思議な秩序の伝播を説明することはできませんでした。ハイゲンスは、正しくも、時計が木を通じて伝わる振動によって調整されていると推測しました。この現象は、ある規則的なサイクルが別のサイクルにロックされるもので、現在では「エントレインメント」または「モードロッキング」と呼ばれています。モードロッキングは、月が常に地球を向いている理由や、一般的に衛星がその軌道周期の整数比（1対1、2対1、3対2など）で回転する傾向がある理由を説明します。比率が整数に近いと、衛星の潮汐引力における非線形性がそれをロックする傾向があります。モードロッキングは電子機器全般で発生し、例えばラジオ受信機が周波数に小さな変動があっても信号をロックできるようにします。モードロッキングは、心臓細胞や神経細胞などの生物学的オシレーターを含むオシレーターのグループが同期して機能する能力を説明します。自然界での素晴らしい例は、交尾期間中に木に集まる東南アジアのホタルの一種で、数千匹が一度に素晴らしいスペクトルの調和で点滅します。このような制御現象において重要な問題はロバスト性です：システムが小さな衝撃にどれだけ耐えられるかということです。同様に、生物学的システムにおいては柔軟性も重要です：システムがさまざまな周波数でどれだけ機能できるかということです。単一のモードにロックされることは、変化に適応できなくなることを意味する場合があります。生物は急速かつ予測不可能に変化する状況に応じて反応しなければなりません。心拍や呼吸のリズムは、最も単純な物理モデルの厳密な周期性にロックされることはできず、体の他の微妙なリズムについても同様です。 一部の研究者、特にハーバード医科大学のアリー・ゴールドバーガーは、健康なダイナミクスはフラクタルな物理構造によって特徴づけられると提案しました。これは、肺の気管支の分岐ネットワークや心臓の伝導繊維のように、幅広いリズムを可能にするものです。ロバート・ショーの議論を考慮しながら、ゴールドバーガーは次のように述べました。「スケールされた広帯域スペクトルに関連するフラクタルプロセスは『情報が豊富』です。それに対して、周期的な状態は狭帯域スペクトルを反映し、単調で繰り返しのシーケンスによって定義され、情報内容が枯渇しています。」彼と他の生理学者たちは、こうした障害の治療は、システムのスペクトルリザーブ、つまり多様な周波数にわたって変動する能力を広げることに依存するかもしれないと示唆しました。 サンディエゴの精神科医でありダイナミストのアーノルド・マンデルは、統合失調症患者の眼球運動に関してベルナルド・フーバーマンを擁護し、さらに生理学におけるカオスの役割について踏み込んだ意見を述べました。「数学的病理、すなわちカオスが健康であり、数学的健康、つまりこの種の構造の予測可能性と微分可能性が病気である可能性はあるのでしょうか？」マンデルは1977年に、脳内の特定の酵素における「特異な挙動」を発見し、それが非線形数学の新しい手法によってのみ説明できることを認識しました。彼は、静的な構造を描くのではなく、生物学者はそのような分子を相転移が可能なダイナミカルシステムとして理解すべきだと主張しました。彼自身が言ったように、彼は熱心な支持者であり、彼の主な関心はすべての中で最もカオス的な器官にありました。「生物学において平衡に達すると、あなたは死んでいる」と彼は言いました。「もしあなたの脳が平衡系かどうか尋ねたら、数分間象を考えないように頼むだけで、それが平衡系ではないことがわかります。」 カオス的な調和。異なるリズム、例えばラジオ周波数や惑星の軌道の相互作用は、特別なバージョンのカオスを生み出します。以下のページには、3つのリズムが組み合わさったときに生じる「アトラクター」のコンピュータ画像が掲載されています。カオス的な流れ。粘性流体を通して引かれた棒は、単純で波状の形を生じます。何度も引かれると、より複雑な形が現れます。マンデルにとって、カオスの発見は精神障害の治療における臨床アプローチのシフトを示唆しています。客観的な基準で見れば、現代の「精神薬理学」、すなわち不安や不眠症から統合失調症そのものまでを治療するための薬の使用は、失敗と評価されるべきです。治癒する患者はほとんどいません。精神病の最も激しい症状は制御可能ですが、長期的な結果については誰も知りません。マンデルは、最も一般的に使用される薬剤について同僚たちに冷酷な評価を提供しました。統合失調症患者に処方されるフェノチアジンは、根本的な障害を悪化させます。 三環系抗うつ薬は「気分の変動率を高め、長期的には再発する精神病的エピソードの数を増加させる」と言われています。マンドール氏は、実際に医療的成功を収めているのはリチウムだけであり、それも一部の障害に限られると述べました。彼が考える問題は概念的なものでした。この「最も不安定で、動的で、無限次元の機械」を治療するための従来の方法は、線形で還元主義的でした。「根底にあるパラダイムはこうです：一つの遺伝子 ~ 一つのペプチド > 一つの酵素 ~ 一つの神経伝達物質 > 一つの受容体 > 一つの動物行動 > 一つの臨床症候群 > 一つの薬 > 一つの臨床評価尺度。これは精神薬理学におけるほぼすべての研究と治療を支配しています。50以上の神経伝達物質、数千の細胞タイプ、複雑な電磁現象、そしてタンパク質から脳波までのすべてのレベルでの連続的な不安定性に基づく自律的な活動が存在するにもかかわらず、脳は依然として化学的なポイント・ツー・ポイントの交換機として考えられています。」非線形ダイナミクスの世界に触れたことのある人にとって、その反応は「なんてナイーブなんだ」としか言えませんでした。マンドール氏は同僚たちに、心のような複雑なシステムを支える流動的な幾何学を理解するよう促しました。多くの他の科学者たちも、人工知能の研究にカオスの形式主義を適用し始めました。例えば、魅力の盆地の間を彷徨うシステムのダイナミクスは、記号や記憶をモデル化する方法を探している人々にとって魅力的でした。アイデアをぼんやりとした境界を持つ領域として考える物理学者は、別々でありながら重なり合い、磁石のように引き寄せ合いながらも解放するイメージに自然と向かうでしょう。「魅力の盆地」を持つ位相空間のイメージが浮かび上がります。このようなモデルは、安定性のポイントと不安定性が混在し、変化する境界を持つ領域を持つという正しい特徴を備えているように思えました。そのフラクタル構造は、アイデア、決定、感情、そして意識の他のすべての産物が花開く心の能力にとって非常に中心的な、無限に自己参照的な特性を提供しました。カオスがあろうとなかろうと、真剣な認知科学者たちはもはや心を静的な構造としてモデル化することはできません。彼らは、神経細胞から上に向かう階層的なスケールを認識し、流体の乱流や他の複雑な動的プロセスに特有の微視的スケールと巨視的スケールの相互作用の機会を提供しています。無形の中に生まれるパターン：それが生物学の基本的な美しさであり、基本的な謎です。生命は無秩序の海から秩序を引き出します。量子の先駆者であり、生物学的な推測に非専門家として踏み込んだ数人の物理学者の一人であるエルヴィン・シュレーディンガーは、40年前にこう述べました。「生物は自らに『秩序の流れ』を集中させる驚くべき贈り物を持ち、したがって原子の混沌に崩壊することから逃れることができる。」シュレーディンガーにとって、物理学者として、生きた物質の構造は彼の同僚たちが研究している物質とは異なることは明らかでした。生命の基本的な構成要素—それはまだDNAとは呼ばれていませんでした—は非周期的な結晶でした。「物理学では、これまで私たちは周期的な結晶のみを扱ってきました。」 謙虚な物理学者の心には、これらは非常に興味深く複雑な対象であり、無生物の自然が彼の知恵を試す最も魅力的で複雑な物質構造の一つを成している。しかし、非周期的な結晶と比べると、これらはかなり平凡で退屈に見える。その違いは、壁紙とタペストリーの違い、パターンの規則的な繰り返しと、アーティストの創造物の豊かで一貫した変化の違いのようなものである。物理学者たちは壁紙を理解することしか学んでこなかった。彼らが生物学にほとんど貢献できなかったのも不思議ではない。シュレーディンガーの見解は異例であった。生命が秩序と複雑さの両方を持つというのは自明の理であり、その特別な特性の源として非周期性を捉えることは神秘的な境地に近かった。シュレーディンガーの時代には、数学や物理学はこの考えを支持する真の根拠を提供していなかった。生命の構成要素としての不規則性を分析するための道具は存在しなかった。しかし、今ではその道具が存在する。 混沌とその先へ 「混沌の構成要素の分類、ここで試みられるのはそれ以下のものではない。」 —ハーマン・メルヴィル『白鯨』 20年前、エドワード・ローレンツは大気について考え、ミシェル・エノンは星々について、ロバート・メイは自然のバランスについて考えていた。ブノワ・マンデルブロは無名のIBMの数学者で、ミッチェル・ファイゲンバウムはニューヨーク市立大学の学部生、ドイン・ファーマーはニューメキシコで育つ少年だった。ほとんどの実践的な科学者たちは複雑性について一連の信念を共有していた。彼らはその信念を非常に強く抱いていたため、言葉にする必要すらなかった。後になって初めて、これらの信念が何であるかを言葉にし、検証することが可能になった。単純なシステムは単純な方法で振る舞う。振り子のような機械装置、小さな電気回路、池の中の理想化された魚の集団—これらのシステムが完全に理解され、完全に決定論的な法則に還元できる限り、その長期的な振る舞いは安定して予測可能である。複雑な振る舞いは複雑な原因を意味する。機械装置、電気回路、野生動物の集団、流体の流れ、生物の器官、粒子ビーム、大気の嵐、国家経済—目に見えて不安定で予測不可能、あるいは制御不能なシステムは、多数の独立した要素によって支配されるか、ランダムな外部の影響を受けている必要がある。異なるシステムは異なる振る舞いをする。人間の神経細胞の化学を研究するキャリアを持ちながら記憶や知覚について何も学ばなかった神経生物学者、風洞を使って空力問題を解決しながら乱流の数学を理解しなかった航空機設計者、購買決定の心理を分析しながら大規模なトレンドを予測する能力を得られなかった経済学者—こうした科学者たちは、自分たちの専門分野の構成要素が異なることを知り、数十億のこれらの構成要素から成る複雑なシステムもまた異なるに違いないと当然のこととして受け入れていた。しかし、今ではすべてが変わった。 この20年間の間に、物理学者、数学者、生物学者、天文学者たちは、代替的な考え方のセットを創造しました。単純なシステムが複雑な振る舞いを生み出し、複雑なシステムが単純な振る舞いを引き起こします。そして最も重要なのは、複雑性の法則は普遍的に適用され、システムを構成する原子の詳細には全く関心を持たないということです。粒子物理学者や神経科学者、さらには数学者といった多くの実践的な科学者にとって、この変化はすぐには重要ではありませんでした。彼らは自分の専門分野の研究課題に取り組み続けました。しかし、彼らは「カオス」と呼ばれる何かを意識していました。彼らは、いくつかの複雑な現象が説明されていることを知っており、他の現象は突然新しい説明を必要とするように思えることも理解していました。化学反応を研究する科学者や、3年間のフィールド実験で昆虫の個体数を追跡する科学者、海洋温度の変動をモデル化する科学者は、予期しない変動や振動の存在に対して従来の方法で反応することができませんでした。つまり、それらを無視することはできなかったのです。ある者にとっては、それが問題を引き起こしました。一方で、実際的に考えると、連邦政府や企業の研究施設からこの微妙に数学的な科学に対する資金が得られることを彼らは知っていました。ますます多くの科学者が、カオスが古いデータを新たに活用するための新しい方法を提供することに気づきました。デスクの引き出しに忘れ去られていたデータは、あまりにも不規則だったために無視されていたのです。ますます多くの科学者が、科学の分野の区分が自分たちの仕事の妨げであると感じ、全体から切り離された部分を研究することの無意味さを実感していました。彼らにとって、カオスは科学における還元主義的なプログラムの終焉を意味していました。理解できないこと、抵抗、怒り、受け入れ。カオスを最も長く推進してきた人々は、これらすべてを目の当たりにしました。ジョセフ・フォードはジョージア工科大学で、1970年代に熱力学のグループに講義を行い、ダフィング方程式という摩擦の影響を受ける単純な振動子のための有名な教科書モデルにカオス的な振る舞いがあることを言及したことを思い出しました。フォードにとって、ダフィング方程式にカオスが存在することは興味深い事実であり、彼が真実だと知っていることの一つでしたが、それが『Physical Review Letters』に掲載されるまでには数年が経過しました。しかし、彼は古生物学者たちの集まりに恐竜に羽毛があったと伝えたかのようでした。彼らはもっとよく知っていました。「私がそう言ったとき？ なんてこった、聴衆は上下に跳ね始めました。『私の父はダフィング方程式で遊んでいたし、祖父もダフィング方程式で遊んでいた。あなたが話しているようなことは誰も見たことがない。』自然が複雑であるという考えに対して本当に抵抗に直面しました。私が理解できなかったのは、その敵意でした。」アトランタのオフィスで快適に過ごし、外では冬の太陽が沈んでいる中、フォードは「カオス」と明るい色で描かれた大きなマグカップからソーダを飲みました。 彼の若い同僚、ロナルド・フォックスは、息子のためにApple IIコンピュータを購入した後、自身の転機について語った。当時、自己を尊重する物理学者がそのようなものを仕事のために買うことはなかった。フォックスは、ミッチェル・ファイゲンバウムがフィードバック関数の挙動を導く普遍的な法則を発見したと聞き、Appleのディスプレイ上でその挙動を視覚化する短いプログラムを書くことに決めた。彼は画面に描かれるすべてを目にした—ピッチフォーク分岐、安定した線が二つに、次に四つ、そして八つに分かれる様子、混沌の出現、そしてその中にある驚くべき幾何学的な規則性。「数日でファイゲンバウムの全てを再現できる」とフォックスは言った。コンピュータを使った自己学習は、書かれた議論に疑問を持つかもしれない他の人々をも納得させた。ある科学者たちはそのようなプログラムでしばらく遊んだ後、やめてしまったが、他の人々は変わらざるを得なかった。フォックスは、標準的な線形科学の限界を常に意識していた一人だった。彼は、難しい非線形問題を習慣的に脇に置いてきたことを知っていた。実際、物理学者はいつも「これは特別関数のハンドブックに行く問題だ。そこには行きたくないし、機械を使ってそれをやるつもりもない。私はそれに対してあまりにも洗練されている」と言ってしまうのだった。「非線形性の一般的なイメージは、多くの人々の注意を引いた—最初はゆっくりだったが、次第に増えていった」とフォックスは言った。「それを見たすべての人にとって、実を結んだ。今、あなたは以前に見たどんな問題でも、どの科学の分野にいても、再び見ることができる。非線形になったために見るのをやめた場所があったが、今はそれを見る方法がわかり、戻ってくることができる。」 フォードは言った。「ある分野が成長し始めるのは、何らかの集団がそれが彼らに何かを提供すると思うからだ—研究を修正すれば、大きな報酬が得られるかもしれない。私にとって混沌は夢のようなものだ。もしこのゲームに参加すれば、母なる鉱脈を見つける可能性がある。」 それでも、誰もその言葉自体について完全には合意できなかった。コーネル大学の白ひげの数学者で詩人のフィリップ・ホームズは言った。「特定の（通常は低次元の）動的システムの複雑で非周期的な引き寄せる軌道。」中国の物理学者ハオ・バイリンは、混沌に関する多くの歴史的論文を一つの参考文献にまとめた。「周期性のない一種の秩序。」そして、「数学者、物理学者、流体力学者、生態学者、その他多くの人々が重要な貢献をした急速に拡大している研究分野。」さらに、「新たに認識された普遍的な自然現象のクラス。」ロングアイランドのブルックヘブン国立研究所の応用数学者H・ブルース・スチュワートは言った。「単純な決定論的（時計仕掛けのような）システムにおける、明らかにランダムな再発行動。」イェール大学の理論物理学者ロデリック・V・ジェンセンは、量子混沌の可能性を探求している。「決定論的で非線形の動的システムの不規則で予測不可能な挙動。」 サンタクルーズの集団に所属するジェームズ・クルッチフィールドは、「正の有限メトリックエントロピーを持つダイナミクス」について語ります。数学的な言葉で言えば、これは情報を生み出す（小さな不確実性を増幅する）行動を指しますが、全く予測不可能ではありません。一方、混沌の自称伝道者であるフォードは、「ついに秩序と予測可能性の束縛から解放されたダイナミクス…システムが自らのすべてのダイナミカルな可能性をランダムに探求できるようになった…刺激的な多様性、選択の豊かさ、機会の豊饒」と述べています。 ジョン・ハバードは、反復関数とマンデルブロ集合の無限のフラクタルの野生さを探求し、混沌という言葉は彼の研究には不適切だと考えました。なぜなら、それはランダム性を暗示するからです。彼にとって、自然の中の単純なプロセスが、ランダム性なしに壮大な複雑さの構造を生み出すというメッセージが最も重要でした。非線形性とフィードバックには、人間の脳と同じくらい豊かな構造を符号化し、展開するためのすべての必要なツールが含まれていました。 アーサー・ウィンフリーのような他の科学者たちは、生物システムのグローバルトポロジーを探求し、混沌という言葉は狭すぎると感じていました。それは単純なシステム、フェイゲンバウムの一次元マップやルエルの二次元または三次元（およびその一部）の奇妙なアトラクターを暗示していました。ウィンフリーは、低次元の混沌は特別なケースだと考えており、多次元の複雑性の法則に興味を持っていました。そして、彼はそのような法則が存在すると確信していました。宇宙の多くの部分は、低次元の混沌の範疇を超えているように思えました。 『ネイチャー』誌では、地球の気候が奇妙なアトラクターに従っているかどうかについての議論が続いていました。経済学者たちは株式市場のトレンドに認識可能な奇妙なアトラクターを探していましたが、これまでのところ見つけられていませんでした。動力学者たちは、混沌のツールを使って完全に発達した乱流を説明しようと期待していました。現在シカゴ大学にいるアルバート・リブチャバーは、1977年の彼の小さなセルの何千倍も大きな液体ヘリウムボックスを使って、乱流の研究に優れた実験スタイルを向けていました。そのような実験が、空間と時間の両方で流体の無秩序を解放し、単純なアトラクターを見つけることができるかどうかは誰にもわかりませんでした。物理学者のベルナルド・フーバーマンは、「もしあなたが乱流の川を持ち、その中にプローブを入れて『見て、ここに低次元の奇妙なアトラクターがある』と言ったら、私たちは皆帽子を脱いで見るでしょう」と言いました。 混沌は、これらの科学者たちが共通の事業のメンバーであると信じさせるアイデアの集合でした。物理学者であれ生物学者であれ数学者であれ、彼らは単純で決定論的なシステムが複雑さを生み出すことができると信じていました。伝統的な数学では扱いきれないほど複雑なシステムでも、単純な法則に従うことができると考え、どの分野であれ、彼らの仕事は複雑さそのものを理解することだと認識していました。 「再び熱力学の法則を見てみましょう」と、ガイア仮説の著者であるジェームズ・E・ラブロックは書いています。「一見すると、これはダンテの地獄の門の掲示のように読めます…」しかし、第二法則は、科学からの技術的な悪いニュースの一つであり、非科学的な文化にしっかりと根付いています。 すべてのものは無秩序に向かって進んでいきます。エネルギーをある形から別の形に変換する過程では、必ず一部が熱として失われます。完璧な効率は不可能です。宇宙は一方通行の道です。エントロピーは常に宇宙の中で、またその中の仮想的な孤立系においても増加しなければなりません。どのように表現されようとも、第二法則は異議を唱える余地のないルールです。熱力学においてはそれが真実です。しかし、第二法則は科学から遠く離れた知的領域で独自の存在を持ち、社会の崩壊や経済の衰退、礼儀の崩壊、そしてその他の堕落したテーマの変種に対する責任を負っています。これらの第二次的な比喩的な形態は、今や特に誤解を招いているように思えます。我々の世界では、複雑さが繁栄しており、自然の習性に関する一般的な理解を求める人々は、混沌の法則によってより良いサービスを受けることができるでしょう。結局のところ、宇宙が最大エントロピーの無特徴な熱浴の中で最終的な平衡に向かって流れていく中で、興味深い構造を創り出すことができるのです。熱力学の働きに関心を持つ思慮深い物理学者たちは、「目的のないエネルギーの流れがどのようにして生命や意識を世界に洗い流すことができるのか」という問いがどれほど不安を引き起こすものであるかを認識しています。問題をさらに複雑にするのは、エントロピーという滑りやすい概念です。これは熱と温度の観点から熱力学的な目的には reasonably well-defined ですが、無秩序の尺度としては非常に捉えにくいのです。物理学者たちは、水の中の秩序の度合いを測定するのにさえ苦労しています。水が氷に変わる際に結晶構造を形成し、その過程でエネルギーが失われていくのです。しかし、熱力学的エントロピーは、アミノ酸や微生物、自己複製する植物や動物、脳のような複雑な情報システムの形成における形と無形の変化の度合いを測る尺度としては全く役に立ちません。確かに、これらの進化する秩序の島々は第二法則に従わなければなりません。重要な法則、創造的な法則は他にあります。自然はパターンを形成します。あるものは空間的には秩序があるが時間的には無秩序であり、他のものは時間的には秩序があるが空間的には無秩序です。あるパターンはフラクタルであり、スケールにおいて自己相似の構造を示します。その他は定常状態や振動状態を生み出します。パターン形成は物理学や材料科学の一分野となり、科学者たちは粒子の集積、電気放電の破断した広がり、氷や金属合金における結晶の成長をモデル化することができるようになりました。そのダイナミクスは非常に基本的なものであり、空間と時間における形の変化です。しかし、これを理解するための道具がようやく整ったのです。今や物理学者に「なぜすべての雪の結晶が異なるのか？」と尋ねるのは妥当な質問です。氷の結晶は、対称性と偶然の見事な融合の中で乱流の空気中に形成され、六重の不確定性という特別な美しさを持っています。水が凍ると、結晶は先端を伸ばし、先端が成長し、その境界が不安定になり、新しい先端が側面から突き出てきます。 雪の結晶は驚くほど微妙な数学的法則に従っており、先端がどれくらいの速さで成長するか、どれほど細くなるか、またどのくらいの頻度で分岐するかを正確に予測することは不可能でした。何世代にもわたる科学者たちは、板状や柱状、結晶や多結晶、針状や樹枝状といった多様なパターンをスケッチし、カタログ化してきました。これらの論文では、結晶の形成を分類の問題として扱っていましたが、より良いアプローチがなかったためです。このような先端、すなわち樹枝状の成長は、現在では非常に非線形で不安定な自由境界問題として知られています。これは、モデルが動的に変化する複雑で波打つ境界を追跡する必要があることを意味します。 外側から内側に固化が進む場合、例えば氷のトレイのように、境界は一般的に安定して滑らかであり、その速度は壁が熱を引き離す能力によって制御されます。しかし、結晶が初期の種から外側に固化する場合、雪の結晶のように、湿った空気を通りながら水分子を取り込むと、このプロセスは不安定になります。境界の一部が隣接する部分よりも先に出ると、新しい水分子を取り込む上で有利になり、そのためにより速く成長します。これを「雷撃棒効果」と呼びます。新しい枝が形成され、さらにサブブランチが生まれます。 一つの難しさは、関与する多くの物理的力の中で、どれが重要でどれが無視できるかを決定することでした。科学者たちが長い間知っていた最も重要な要素は、水が凍るときに放出される熱の拡散です。しかし、熱の拡散の物理学だけでは、研究者が顕微鏡で雪の結晶を観察したり、実験室で成長させたりする際に見られるパターンを完全に説明することはできませんでした。最近、科学者たちは別のプロセス、すなわち表面張力を組み込む方法を見出しました。新しい雪の結晶モデルの核心は、安定性の力と不安定性の力との間の微妙なバランスという混沌の本質にあります。原子スケールの力と日常的なスケールの力との間の強力な相互作用が存在します。 パターン形成の研究は、フラクタル数学によって促進され、電気放電の雷のような経路や、ランダムに動く粒子のシミュレーションによる集積といった自然のパターンを結びつけました。熱の拡散が不安定性を生むのに対し、表面張力は安定性を生み出します。表面張力の引力は、物質が石鹸の泡の壁のような滑らかな境界を好むことを意味します。粗い表面を作るにはエネルギーが必要です。これらの傾向のバランスは結晶のサイズに依存します。拡散は主に大規模でマクロなプロセスですが、表面張力は微視的なスケールで最も強く働きます。従来、表面張力の効果は非常に小さいため、研究者たちは実用的な目的のためには無視できると考えていました。しかし、最も小さなスケールが重要であることが証明され、そこでの表面効果は固化する物質の分子構造に対して無限に敏感であることがわかりました。氷の場合、自然な分子対称性が成長の六つの方向に対する内在的な好みを与えています。 驚くべきことに、科学者たちは安定性と不安定性の混合がこの微小な好みを増幅し、雪の結晶を形成するほぼフラクタルなレース模様を作り出すことを発見しました。この数学は大気科学者からではなく、理論物理学者や金属工学者からもたらされました。金属では分子の対称性が異なり、それに伴って特性のある結晶も異なり、合金の強度を決定するのに役立ちます。しかし、数学は同じです。パターン形成の法則は普遍的です。初期条件に対する敏感な依存性は破壊するのではなく、創造するために働きます。成長する雪の結晶が地面に落ちるとき、通常は風に乗って1時間以上漂いながら、分岐する先端がその瞬間に行う選択は、温度や湿度、大気中の不純物の存在などに敏感に依存しています。単一の雪の結晶の六つの先端は、ミリメートルの空間内で同じ温度を感じ、成長の法則が純粋に決定論的であるため、ほぼ完璧な対称性を保ちます。しかし、乱流の空気の性質上、どんな二つの雪の結晶も非常に異なる経路をたどることになります。最終的な結晶は、経験したすべての変化する気象条件の歴史を記録し、その組み合わせは無限に近いかもしれません。 安定性と不安定性のバランス。液体が結晶化する際、成長する先端（複数露光の写真で示されている）が形成され、その境界が不安定になり、側枝を送り出します（左）。微妙な熱力学的プロセスを模倣したコンピュータシミュレーションは、実際の雪の結晶を再現します（上）。雪の結晶は非平衡現象であると物理学者たちは言います。彼らは、自然の一部から別の部分へのエネルギーの流れの不均衡の産物です。この流れが境界を先端に変え、先端を枝の配列に、そしてその配列をこれまで見たことのない複雑な構造に変えます。科学者たちは、この不安定性がカオスの普遍的な法則に従うことを発見し、同じ手法をさまざまな物理的および化学的問題に適用することに成功しました。そして、避けられないことに、彼らは次に生物学が来るのではないかと疑っています。コンピュータシミュレーションの樹状成長を見ながら、彼らの心の奥底には藻類や細胞壁、芽生えや分裂する生物が見えています。微小な粒子から日常的な複雑さまで、多くの道が今や開かれているように思えます。数学物理学において、フェイゲンバウムとその同僚の分岐理論はアメリカとヨーロッパで進展しています。理論物理学の抽象的な領域では、科学者たちは量子カオスという未解決の問題など、他の新しい問題を探求しています。量子力学は古典力学のカオス的現象を認めるのでしょうか？流体の動きの研究において、リブチャバーは巨大な液体ヘリウムボックスを構築し、ピエール・ホーエンベルクとギンター・アーラーは対流の奇妙な形の移動波を研究しています。 天文学の混沌において、専門家たちは予期しない重力の不安定性を利用して、隕石の起源を説明しています。これは、火星の遥か彼方から小惑星がカタパルトのように飛び出す現象を理解するためのものです。科学者たちは動的システムの物理学を用いて、人間の免疫システムを研究しています。この免疫システムは数十億の構成要素を持ち、学習、記憶、パターン認識の能力を備えています。また、彼らは進化を同時に研究し、普遍的な適応メカニズムを見つけることを期待しています。このようなモデルを作成する人々は、自己複製し、競争し、自然選択によって進化する構造をすぐに見出します。「進化はフィードバックを伴う混沌である」とジョセフ・フォードは言いました。宇宙は確かにランダム性と散逸から成り立っています。しかし、方向性を持ったランダム性は驚くべき複雑さを生み出すことができます。そして、ローレンツがずっと前に発見したように、散逸は秩序の担い手です。「神は宇宙にサイコロを振る」とフォードはアインシュタインの有名な問いに答えます。「しかし、それは偏ったサイコロです。そして、現在の物理学の主な目的は、それらがどのようなルールで偏っているのかを見つけ出し、私たち自身の目的のためにそれをどのように利用できるかを探ることです。」 このような考え方は、科学の共同の取り組みを前進させる助けとなります。しかし、どんな哲学も、証明も、実験も、科学が常に研究者に提供しなければならない作業の方法を揺るがすには十分ではないようです。いくつかの研究室では、従来の方法が行き詰まっています。クーンが言ったように、通常の科学は道を誤ります。機器が期待に応えられないこともあります。「専門職はもはや異常を回避できなくなった」のです。ある科学者にとって、混沌の考え方が広まることは、混沌の方法が必要不可欠になるまで実現しませんでした。各分野にはそれぞれの例があります。生態学の分野では、ウィリアム・M・シャッファーが、1950年代と60年代のこの分野の権威であるロバート・マッカーサーの最後の学生として訓練を受けました。マッカーサーは自然の概念を構築し、自然のバランスという考え方にしっかりとした基盤を与えました。彼のモデルは、均衡が存在し、植物や動物の個体群がそれに近い状態を保つと仮定していました。マッカーサーにとって、自然のバランスにはほとんど道徳的な特質があると言えます。彼のモデルにおける均衡状態は、食料資源の最も効率的な利用と最小限の浪費を伴います。自然は放っておけば良いものであると考えられていました。しかし、20年後、マッカーサーの最後の学生は、均衡感に基づく生態学は失敗する運命にあることを実感しました。従来のモデルはその線形的な偏りによって裏切られています。自然はもっと複雑です。彼は代わりに「興奮させると同時に少し脅威を感じる」混沌を見ています。混沌は生態学の最も持続的な前提を揺るがすかもしれないと彼は同僚に語ります。「生態学における基本的な概念は、嵐の激しさの前の霧のようなものです—この場合、完全で非線形の嵐です。」シャッファーは、麻疹や水痘などの小児疾患の疫学を探るために奇妙なアトラクターを使用しています。彼は、最初にニューヨーク市とボルチモアから、次にスコットランドのアバディーン、そしてイングランドとウェールズ全体からデータを収集しました。 彼は、減衰した駆動振り子に似た動的モデルを作成しました。このモデルでは、病気は毎年、学校に戻る子供たちの間で感染が広がることで駆動され、自然の抵抗によって減衰します。シャッファーのモデルは、これらの病気に対して驚くほど異なる挙動を予測しています。水痘は周期的に変動し、麻疹はカオス的に変動するはずです。実際、データはシャッファーの予測通りの結果を示しています。伝統的な疫学者にとって、麻疹の年間変動は説明がつかないものでした—ランダムで雑音が多いと感じられました。しかし、シャッファーは位相空間再構成の技術を用いて、麻疹が約2.5のフラクタル次元を持つ奇妙なアトラクタに従っていることを示しました。シャッファーはリャプノフ指数を計算し、ポアンカレ図を作成しました。「もっと重要なのは」とシャッファーは言いました。「その画像を見ると、すぐにわかります。そして、‘なんてこった、これは同じことだ’と言うのです。」アトラクタはカオス的ですが、モデルの決定論的な性質に照らして、ある程度の予測可能性が生まれます。麻疹の感染が高い年の後には、必ず急激な減少が続きます。中程度の感染の年の後は、レベルはわずかにしか変わりません。低い感染の年は最も予測不可能な結果をもたらします。シャッファーのモデルは、標準的な疫学では予測できなかった集団接種プログラムによる動態の減衰の結果も予測しました。集団的なスケールと個人的なスケールで、カオスのアイデアは異なる方法と理由で進展します。シャッファーにとって、他の多くの人々と同様に、伝統的な科学からカオスへの移行は予期せぬものでした。彼は1975年にロバート・メイの伝道的な訴えの完璧な標的でしたが、メイの論文を読み捨てました。彼は、実践的な生態学者が研究するようなシステムに対して、数学的なアイデアが非現実的だと考えていました。奇妙なことに、彼は生態学についてあまりにも多くのことを知っていたため、メイの主張を理解できませんでした。彼はこれらを一次元のマップだと思い、連続的に変化するシステムにどのような関連があるのか疑問に思いました。そこで、同僚が「ローレンツを読んでみて」と言いました。彼はその参考文献を紙に書き留めましたが、追求することはありませんでした。数年後、シャッファーはアリゾナ州ツーソンの外れの砂漠に住んでおり、夏にはその北にあるサンタカタリナ山脈で過ごしていました。そこは、砂漠の底が焼けるように暑い時でも、チャパラルの島々が存在する場所です。6月と7月の間、春の花の季節が終わり、夏の雨が降る前に、シャッファーと彼の大学院生たちは異なる種の蜂と花を追跡しました。この生態系は、年ごとの変動があっても測定が容易でした。シャッファーは、すべての茎にいる蜂を数え、花からピペットで花粉を採取して測定し、データを数学的に分析しました。マルハナバチはミツバチと競争し、ミツバチはカーペンタービーと競争し、シャッファーは個体数の変動を説明する説得力のあるモデルを作成しました。しかし1980年までに、彼は何かが間違っていることに気づきました。彼のモデルは破綻しました。実際、重要な要素は彼が見落としていた種、アリでした。 同僚たちは、異常な冬の天候や異常な夏の天候を疑っていた。シャファーは、モデルにさらに多くの変数を追加することで複雑化させることを考えたが、彼は深いフラストレーションを感じていた。大学院生たちの間では、シャファーとの夏の研究は厳しい仕事だという噂が広まっていた。そして、すべてが変わった。彼は、複雑な実験における化学的カオスに関するプレプリントを偶然見つけ、その著者たちがまさに自分の抱えていた問題、すなわち反応生成物の変動を監視することの不可能性を経験していると感じた。それは、アリゾナの山々での多様な種を監視することの不可能性と一致していた。しかし、彼らは彼が失敗したところで成功を収めていた。彼は位相空間の再構築について読み、ローレンツやヨーク、その他の研究者たちの著作も読み始めた。アリゾナ大学では「カオスの中の秩序」という講演シリーズが開催され、ハリー・スウィニーが講演に来た。スウィニーは実験について話すのが得意だった。彼が化学的カオスを説明し、奇妙なアトラクターの透明スライドを示しながら「これが実データです」と言ったとき、シャファーの背筋に寒気が走った。「突然、これが私の運命だと分かった」とシャファーは言った。彼にはサバティカル（研究休暇）の年が控えていた。彼は国立科学財団への資金申請を取り下げ、グッゲンハイムフェローシップに応募した。山の中では、季節とともにアリが変化し、蜂がダイナミックな buzzing の中で舞い飛んでいた。雲は空を滑るように流れていた。彼はもはや古い方法では働けなくなっていた。